Feynman QED Twelfth Lecture

\(\)

\(\textit{Twelfth Lecture}\)

第11講の結果である式 (11-6) と式 (11-7) を用いると, 低エネルギー近似 \((W-V)\ll 2mc^{2}\) が行える．それはオーダー \((v/c)^{4}\) までの項を残す近似である．近似式 \((1+x)^{-1}\approx 1-x\ \, (|x|< 1)\) を用いると,
\(
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^{2}}}
\def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
\def\mr#1{\mathrm{#1}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
\def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\def\half{\frac{1}{2}}
\newcommand\Braket[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
\)
\begin{align*}
\frac{c^{2}}{2mc^{2}+W-V}&=\frac{c^{2}}{2mc^{2}\left\{\ds{1+\frac{W-V}{2mc^{2}}}\right\}}
=\frac{1}{2m}\left(1+\frac{W-V}{2mc^{2}}\right)^{-1}\\
&\approx \frac{1}{2m}\left\{1-\frac{W-V}{2mc^{2}}\right\}
=\frac{1}{2m}-\frac{W-V}{(2mc)^{2}}
\tag{12-1}
\end{align*}
すると, 式 (11-7) は次となる：
\begin{align*}
(W-V)\psi_a &=\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}\,\frac{c^{2}}{2mc^{2}+W-V}\,\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}\,\psi_a\\
&= (\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\left\{\frac{1}{2m}-\frac{W-V}{4m^{2}c^{2}}\right\}
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\psi_a\\
&=\frac{1}{2m}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\psi_a
-\frac{1}{4m^{2}c^{2}}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\psi_a
\tag{12-2}
\end{align*}
他方, 規格化の必要条件 \(\displaystyle \int \bigl(\psi_a^{2}+\psi_b^{2}\bigr)\,dVol =1\) は, 式 (11-6) を

と近似することで次となる：
\begin{align*}
\int \bigl(\psi_a^{2}+\psi_b^{2}\bigr)\,dVol
&\approx \int \left(\psi^{*}_a\psi_a
+ \psi_a^{*}\frac{\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}}{2mc}\cdot\frac{\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}}{2mc}\psi_a\right)\,dVol\\
&=\int \psi^{*}_a\left(1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{4m^{2}c^{2}}\right)\psi_a\,dVol =1
\tag{12-3}
\end{align*}
次のような置換え

を用いると \(v^{2}/c^{2}\) のオーダーで
\begin{align*}
\chi^{*}\chi&=\psi_a^{*}\left(1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\right)
\left(1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\right)\psi_a
=\psi_a^{*}\left\{1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{4m^{2}c^{2}}
+\cancel{\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{64m^{4}c^{4}}}\right\}\psi_a \\
&\approx \psi_a^{*}\left\{1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{4m^{2}c^{2}}\right\}\psi_a
\end{align*}
となるので, 規格化積分の式 (12-3) は単純化することが出来て, 次のような表現となる：

この置換えは, 式 (12-2) のより分かり易い解釈も可能とする．式 (12-4) から \(\psi_a=\Omega^{-1}\chi\) である．「\(\mb{\pi}\) と \(V\) とは可換ではない!」ことに注意して, まず次式を近似する：
\begin{align*}
&\Omega(W-V)\,\chi=\Omega(W-V)\Omega\,\psi_a =\left(1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\right)(W-V)
\left(1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\right)\psi_a \\
&=(W-V)\psi_a +(W-V)\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\psi_a
+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}(W-V)\psi_a
+\cancel{\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}(W-V)\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\psi_a}\\
&\approx (W-V)\psi_a
+(W-V)\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\psi_a
+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}(W-V)\psi_a
\end{align*}
右辺第1項に式 (12-2) を用いると,
\begin{align*}
\Omega(W-V)\,\chi
&=\frac{1}{2m}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\psi_a
-\frac{1}{4m^{2}c^{2}}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\psi_a
+(W-V)\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\psi_a
+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}(W-V)\psi_a\\
&=\frac{1}{2m}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\psi_a
+\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}(W-V)-2(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})+(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\bigr]\psi_a
\end{align*}
この両辺に \(\Omega^{-1}\) を左から作用させる．右辺第1項では \(\Omega^{-1}\) と \((\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\) とは可換であることに注意し, 右辺第2項に作用する \(\Omega^{-1}\) はオーダーの関係から \(\Omega^{-1}\approx 1\) と近似してしまうと,
\begin{align*}
&\Omega^{-1}\Omega (W-V)\,\chi=(W-V)\,\chi \\
&\quad =\frac{1}{2m}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\Omega^{-1}\psi_a
+\Omega^{-1}\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}(W-V)-2(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})+(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\bigr]\psi_a\\
&\quad =\frac{1}{2m}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\Omega^{-1}\Omega^{-1}\chi
+\Omega^{-1}\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}(W-V)-2(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})+(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\bigr]\Omega^{-1}\chi\\
&\quad \approx \frac{1}{2m}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\Omega^{-2}\chi
+\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}(W-V)-2(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})+(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\bigr]\chi
\end{align*}
さらに, この第1項目は
\begin{align*}
\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\Omega^{-2}\chi
&=\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\left(1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\right)^{-2}\chi
\approx \frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}
\left(1-2\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\right)\chi \\
&=\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\chi-\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{8m^{3}c^{2}}\chi
\end{align*}
よって, 次の結果となる：
\begin{align*}
(W-V)\,\chi&=\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\chi-\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{8m^{3}c^{2}}\chi\\
&\quad +\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\left[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}(W-V)-2(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})+(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\right]\chi
\tag{12-5}
\end{align*}
式 (12-5) をより解釈し易い形に変換するには, 演算子代数の技法が使えるであろう．特に, 次の公式を思い出すべきである：
\begin{align*}
A^{2}B -2ABA +BA^{2}&=A(AB-BA)-(AB-BA)A\\
&=A[A,B]-[A,B]A=[A,[A,B]]
\tag{F1}
\end{align*}
そして \(\displaystyle\mb{\pi}=\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\) であり, また \(W\) は定数であることを考慮すると,
\begin{align*}
&\bigl[\mb{\sigma}\cdot\mb{A},(W-V)\bigr]=0,\quad \mb{p}W=-i\hbar\nabla W =0,\\
&\mb{\sigma}\cdot\mb{p}\,(W-V)=\mb{\sigma}\cdot\bigl[\mb{p}\,(W-V)\bigr]+(W-V)\,\mb{\sigma}\cdot\mb{p}
=\mb{\sigma}\cdot\mb{p}\,(-V)+(W-V)\,\mb{\sigma}\cdot\mb{p}
\end{align*}
従って,
\begin{align*}
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)-(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})
&=[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)]
=\left[\mb{\sigma}\cdot\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{\sigma}\cdot\mb{A},\,(W-V)\right]\\
&=\left[\mb{\sigma}\cdot\mb{p},\,(W-V)\right]
=\mb{\sigma}\cdot\mb{p}\,(W-V)-(W-V)\,\mb{\sigma}\cdot\mb{p}\\
&=\mb{\sigma}\cdot\mb{p}\,(-V)+(W-V)\,\mb{\sigma}\cdot\mb{p}-(W-V)\,\mb{\sigma}\cdot\mb{p}\\
&=-\mb{\sigma}\cdot\mb{p}V=-\mb{\sigma}\cdot(-i\hbar\nabla V)=i\hbar\mb{\sigma}\cdot\nabla V
\end{align*}
ここで \(V=e\phi\) とすると, 電磁気学の公式 \(\mb{E}=-\nabla \phi\) から \(e\mb{E}=-\nabla V\) である．従って, 次式が得られる：

前述の公式 (F1) に於いて \(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}=A\) そして \((W-V)=B\) とすると,
\begin{align*}
\Bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]\Bigr]
&=(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]
-\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr](\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\\
&=(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\bigl[-ie\hbar\mb{\sigma}\cdot\mb{E}\bigr]
-\bigl[-ie\hbar\mb{\sigma}\cdot\mb{E}\bigr](\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\\
&=-ie\hbar\Bigl\{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})-(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\Bigr\}
\tag{2}
\end{align*}
ここで \(\mb{\sigma}\) についての重要な公式

\begin{equation*}
(\mb{\sigma}\cdot\mb{a})(\mb{\sigma}\cdot\mb{b})=\mb{a}\cdot\mb{b}+i\mb{\sigma}(\mb{a}\times\mb{b})
\tag{F2}
\end{equation*}

を上式に用いる．演算子の後ろには \(\mb{x}\) の関数 \(\circ\) が存在することに注意すると,
\begin{align*}
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})
&=\mb{\pi}\cdot\mb{E}+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{\pi}\times\mb{E})\\
&=\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\cdot\mb{E}
+i\mb{\sigma}\cdot\left\{\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times\mb{E}\right\}\\
&=\mb{p}\cdot\mb{E}\circ -\frac{e}{c}\mb{A}\cdot\mb{E}+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}\times\mb{E}\circ)
-i\frac{e}{c}\mb{\sigma}\cdot(\mb{A}\times\mb{E})\\
&=(\mb{p}\cdot\mb{E})\circ + \mb{E}\cdot(\mb{p}\circ) -\frac{e}{c}\mb{A}\cdot\mb{E}
+i\mb{\sigma}\cdot\bigl\{(\mb{p}\times\mb{E})\circ -\mb{E}\times(\mb{p}\circ)\bigr\}
-i\frac{e}{c}\mb{\sigma}\cdot(\mb{A}\times\mb{E})\\
&=(\mb{p}\cdot\mb{E})\circ + \mb{E}\cdot(\mb{p}\circ) -\frac{e}{c}\mb{E}\cdot\mb{A}
+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}\times\mb{E})\circ-i\mb{\sigma}\cdot\bigl\{\mb{E}\times(\mb{p}\circ)
-\frac{e}{c}\mb{E}\times\mb{A}\bigr\}\\
&=(\mb{p}\cdot\mb{E})\circ +\mb{E}\cdot(\mb{\pi}\circ)+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}\times\mb{E})\circ
-i\mb{\sigma}\bigl\{\mb{E}\times(\mb{\pi}\circ)\bigr\},\\
(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})
&=\mb{E}\cdot\mb{\pi}+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})\\
&=\mb{E}\cdot(\mb{\pi}\circ)+i\mb{\sigma}\cdot\bigl\{\mb{E}\times(\mb{\pi}\circ)\bigr\},\\
\therefore\quad
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})&-(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})
=(\mb{p}\cdot\mb{E})-2i\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}\times\mb{E})
\tag{3}
\end{align*}
ここで, 磁場はほぼ定常であると仮定する．すると,

従って,

よって, 前式 (3) は,
\begin{align*}
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})-(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})
&=\mb{p}\cdot\mb{E}-2i\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})\\
&=-i\hbar\nabla\cdot\mb{E} -2i\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})
\tag{4}
\end{align*}
そして式 (2) は,
\begin{align*}
\left[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]\right]
&=-ie\hbar\Bigl\{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})-(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\Bigr\}\\
&=-ie\hbar\Bigl\{-i\hbar\nabla\cdot\mb{E} -2i\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})\Bigr\}\\
&=-e\hbar^{2}\nabla\cdot\mb{E}-2e\hbar\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})
\end{align*}
以上の結果から, 式 (12-5) は,
\begin{align*}
(W-V)\,\chi&=\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\chi
-\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{8m^{3}c^{2}}\chi\\
&\quad +\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\left[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,
\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]\right]\chi\\
&=\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\chi
-\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{8m^{3}c^{2}}\chi
-\frac{e}{8m^{2}c^{2}}\Bigl\{\hbar^{2}\nabla\cdot\mb{E}
+2\hbar\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})\Bigr\}\chi
\tag{5}
\end{align*}
更に, 公式 (F2) を用いる．\(\displaystyle \mb{\pi}=\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\) なので, この場合の \(\mb{\pi}\times\mb{\pi}\ne0\) に注意する：
\begin{align*}
\mb{\pi}\times\mb{\pi}&=\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
=\mb{p}\times\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{p}\times\mb{A}
-\frac{e}{c}\mb{A}\times\mb{p}+\left(\frac{e}{c}\right)^{2}\mb{A}\times{A}\\
&=-\frac{e}{c}\bigl\{\mb{A}\times\mb{p}+\mb{p}\times\mb{A}\bigr\}
=-\frac{e}{c}\bigl\{\mb{A}\times(-i\hbar\nabla)+(-i\hbar\nabla)\times\mb{A}\bigr\}\\
&=i\frac{e\hbar}{c}\bigl\{\mb{A}\times\nabla+\nabla\times\mb{A}\bigr\}
=i\frac{e\hbar}{c}\,\nabla\times\mb{A}=i\frac{e\hbar}{c}\,\mathrm{rot}\,\mb{A}
=i\frac{e\hbar}{c}\,\mb{H}
\end{align*}
従って,
\begin{align*}
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}&=(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})
=\mb{\pi}\cdot\mb{\pi}+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{\pi}\times\mb{\pi})\\
&=\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\cdot\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
+i\mb{\sigma}\cdot\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times \left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\\
&=\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}-\frac{e\hbar}{c}\mb{\sigma}\cdot\mb{H}
\end{align*}
また \((\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}\) についてはオーダーの関係から \(\mb{\pi}\sim \mb{p}\) として次とする：

よって, 式 (5) すなわち式 (12-5) は最終的に次の様に展開される：
\begin{align*}
W\chi &=V\chi +\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\chi
-\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{8m^{3}c^{2}}\chi
-\frac{e}{8m^{2}c^{2}}\Bigl\{\hbar^{2}\nabla\cdot\mb{E}
+2\hbar\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})\Bigr\}\chi \\
&=\Biggl[\underbrace{V}_{(1)} +\underbrace{\frac{1}{2m}\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}}_{(2)}
-\underbrace{\frac{e\hbar}{2mc}\mb{\sigma}\cdot\mb{H}}_{(3)}-\underbrace{\frac{\mb{p}^{4}}{8m^{3}c^{2}}}_{(4)}
-\underbrace{\frac{e\hbar^{2}}{8m^{2}c^{2}}\nabla\cdot\mb{E}}_{(5)}-\underbrace{\frac{e\hbar}{4m^{2}c^{2}}\mb{\sigma}\cdot
\mb{E}\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)}_{(6)}\,\Biggr]\chi
\tag{12-6}
\end{align*}
この形式では, 波動方程式は式 (12-6) の各項を別々に考えることで解釈できる．
項(1)は, 以前に登場した通常の「スカラーポテンシャルエネルギー」を与える．
項(2)は,「運動エネルギー」と解釈できる．
項(3)は,「パウリ-スピンの効果」であり, まさにパウリ方程式に出現した項である．
項(4)は,「運動エネルギーの相対論的補正」である．補正は次式に由来する：

この表式の最後の項が, 項 (4) に相当している．
項(5)と項(6)は,「スピン-軌道結合」を表現している．この解釈を理解するために, 式 (6) に於ける \(\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}\times\mb{E})\) 部分を考えてみる．逆2乗の場に於いては \(\displaystyle \mb{E}=\frac{Ze^{2}}{r^{2}}\frac{\mb{r}}{r}=\frac{Ze^{2}}{r^{3}}\mb{r}\) であるから, これは \(\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}\times\mb{r})/r^{3}\) に比例する．因子 \(\mb{r}\times\mb{p}\) は「角運動量」\(\mb{L}\) と解釈出来るので, 従って スピン-軌道結合 \((\mb{\sigma}\cdot\mb{L})/r^{3}=(2/\hbar)\mb{S}\cdot\mb{L}/r^{3}\sim\mb{S}\cdot\mb{L}\) を得る．この項は, 電子が S 状態 \((L=0)\) に在るときには何の効果もない．他方, 項 (5) は \(\nabla\cdot\mb{E}=-\nabla^{2}\phi =4\pi Z|e|\delta(0)\) となる．これは (波動関数が \(\mb{r}=0\) でゼロでない) S 状態にのみ影響する．従って, 項 (5) と項 (6) は一緒になって, スピン-軌道結合に対する連続関数に帰着する(result in)．電子の磁気モーメント \(\displaystyle \mu=\frac{e\hbar}{2mc}\) は, 項 (3) の係数として出現し, そして項 (5) の係数 \(\displaystyle \frac{\hbar}{4mc}\left(\frac{e\hbar}{2mc}\right)\) 及び項 (6) の係数 \(\displaystyle \frac{1}{2mc}\left(\frac{e\hbar}{2mc}\right)\) として再び出現する．

項(6)を解釈するのに, 古典的議論をすることが可能である．速度 \(\mb{v}\) で電場中を運動する電荷は, 有効磁場 \(\displaystyle \mb{H}=\frac{\mb{v}}{c}\times\mb{E}=\frac{1}{mc}\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times\mb{E}\) を感じる ^[1][ブログ註] オッペンハイマー：「電気力学」§ 11 によれば,「一様な速度 \(\mb{v}\) で動いている点電荷 \(e\) の作る電場 \(\mb{E}\) と磁場 … Continue reading．そしてこの磁場中で, 項 (6) はちょうど, エネルギー \(\displaystyle E_{(6)}=-\frac{1}{2}\mb{\mu}\cdot\mb{H}\) になっている：
\begin{align*}
E_{(6)}&=-\frac{e\hbar}{4m^{2}c^{2}}\mb{\sigma}\cdot\mb{E}\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
=-\left(\frac{e}{2mc}\right)\cdot\frac{\hbar}{2}\mb{\sigma}\cdot\frac{1}{mc}\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
\times\mb{E}\\
&=-\frac{e}{2mc} \mb{S}\cdot\mb{H}=-\frac{1}{2}\,\mb{\mu}\cdot\mb{H}
\end{align*}
しかしながら, このように因子 \(2\) だけ余分に得られてしまう．ディラック方程式が開発される以前から, L.H.Thomas はこの単純な古典的議論が不完全であることを示し, 正しい項 (6) を与えていた．パウリが中性子と陽子を記述するために導入した「異常磁気モーメント」については, 状況は異なる(下の問題 (3) を見よ)．パウリの変形方程式では, 項 (5) と項 (6) を掛け合わせたとき, 異常磁気モーメントは因子 \(2\) を持って現れる．

---

【 問題 】 (1) 式 (12-6) を水素原子に適用して, そのエネルギー準位を1次のオーダーで修正せよ．その結果を実際の実験結果と比較せよ ^[2] Schiff, “Quantum Mechanics,” McGraw-Hill, New York, 1949, pp. 323ff.．座標原点に於ける波動関数の違いに注意せよ．しかし, その違いはスペースが限られているために重要な意味を持たない．水素様原子に対するディラック方程式の原点付近の厳密解は,

に比例するが, 他方, シュレディンガー方程式では \(r\to 0\) に連れて波動関数 \(\psi\) は一定となる．

(2) \(\mb{A}\) と \(\phi\) が時間に依存すると仮定しよう．\(W=i\hbar\partial/\partial t\) として, 同じ近似のオーダーまでこの講義の手順をたどってみよ．

(3) パウリの変形方程式は, 中性子と陽子に適用することが出来る．それは, ディラック方程式に異常磁気モーメントの項を付加することで得ることが出来る ^[3][ブログ註] (A.P.アーヤ：基礎現代物理学 § 11.2 から抜粋) 原子スペクトルでは, 原子の磁気モーメントは「ボーア磁子」\(\mu_B\) … Continue reading．従って,

この式は \(c\beta\) を掛け合わせることで, より馴染みのある「ハミルトニアン表現」に書くことが出来る：
\begin{align*}
i\hbar\pdiff{t}\psi &= H_{\mathrm{Dirac}}\,\psi
+i\mu\beta(\mb{\alpha}\cdot\mb{E}+i\,\mb{\Sigma}\cdot\mb{H})\,\psi,\quad \left(\mu=\frac{e\hbar}{2mc}\kappa\right), \\
\mathrm{where}\quad &H_{\mathrm{Dirac}}= c\mb{\alpha}\cdot\left(\mb{p}
-\frac{e}{c}\mb{A}\right) +\beta mc^{2} + e\phi,\quad
\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}F_{\mu\nu}
=2\mb{\alpha}\cdot\mb{E}+2i\,\mb{\Sigma}\cdot\mb{H}
\end{align*}
(ただし, 朝永：「スピンはめぐる」や L.Foldy, Phys. Rev. \(\mathbf{87}\), (1952) を参照して, 原書の式中の付加項表現は修正したので注意すべし．また \(\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}F_{\mu\nu}\) の展開は, 第9講の最後の問題を見よ)．式 (12-6) を導出するのと同じ近似をすると, 今度は陽子に対しては
\begin{align*}
&\left[V+\frac{1}{2M}\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}
+\left(\mu+\frac{e}{2M}\right)\mb{\sigma}\cdot\mb{H}
+\frac{1}{8M^{3}}(\mb{p}\cdot\mb{p})^{2}\right.\\
&\left.\qquad\qquad +\frac{1}{4M^{2}}\left(2\mu+\frac{e}{2M}\right)
\left\{\nabla\cdot\mb{E}+2\mb{\sigma}\cdot\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times\mb{E}\right\}
\right]\,\psi
\tag{12-7}
\end{align*}
のような項が生成し, そして中性子の場合にも \(e=0\) ではあるが, 同様な表式が生成することを示せ．(ただし式 (12-7) は原書のままなので, 結果と合わせるには \(\hbar\) や \(c\) を補足するなどの修正が必要である)．

(4) 式 (12-7) は, 原子中に於ける「電子-中性子散乱」を解釈するのに用いることが出来る．原子による中性子散乱のほとんどは, 原子核からの等方散乱(isotropic scattering)である．しかしながら, 原子内電子もやはり中性子を散乱し, そして原子核散乱と干渉する波を引き起こす．遅い中性子の場合, この効果は実験的に観測されている．それは式 (12-6) の項 (5) によって解釈される [式 (12-7) では \(e=0\) に修正される]．原子核の外側では電子の電荷が存在するので, \(\nabla\cdot\mb{E}\) はゼロでない値を持つ．ボルン近似によって「中性子-電子散乱」の散乱振幅を計算するとき, 項 (5) を用いることが出来る．しかしながら, その効果が最初に発見されたとき, それはポテンシャル \(c\delta(\mb{R})\) で与えられる「電子-中性子 相互作用」(Electron-Neutron Interaction)を仮定することで説明された．ただし \(\delta\) はディラックのデルタ関数であり, そして \(\mb{R}\) は中性子-電子間の距離である．
ボルン近似によって, ポテンシャルが \(c\delta(\mb{R})\) である場合の散乱振幅を計算せよ．そして, それを項 (5) による振幅と比較せよ．次を示せ：

\(c\delta(\mb{R})\) をポテンシャルと解釈する目的で「平均ポテンシャル \(\overline{V}\)」が定義される．それは,「古典電子半径 \(r_e=e^{2}/mc^{2}\)」の球全体に作用することで同じ効果を生成するポテンシャルである．
\(\mu_{N}=-1.9135 e\hbar/2M_{N}\) を用いると, その時の \(V\) は, 述べらている精度内で実験結果, すなわち \(4400\pm 400 \mathrm{eV}\) ^[4] L.Foldy, Phys. Rev., \(\mb{87}\), 693 (1952). と一致することを示せ．

(5) \(v^{2}/c^{2}\) オーダーの項を無視することで, 次式が成り立つことを示せ：

---

〈 (1)の解答例 〉Landau and Lifshitz：「Quantum Electrodynamics」§34. Fine structure of levels of the hydrogen atom
の文章を抜粋することで, この解答とする．
水素原子, すなわち動かない原子核のクーロン場に於ける電子のエネルギー準位の相対論的補正を求めよう．水素原子内での電子の速度は \(v/c\sim \alpha\ll1\) である．従って必要な補正は, 摂動論を使って, 式 (12-6) に於いて電場しかない (即ち \(\mb{A}=0\) で磁場は存在せず \(\mb{H}=0\)) と仮定した時のハミルトニアン

の相対論的項を非摂動状態(つまり非相対論的波動関数)で平均化することで計算出来る．やや一般性を持たせるために, 原子核の電荷を \(Ze\) とし \(Z\alpha\ll 1\) と仮定する．もしも電場が中心対称の場合には, 電荷 \(-e\) を持つ電子の電場中のポテンシャルエネルギーは \(V=-e\phi\) であるから,

であり, 式 (33.12) の最後の項(これは「Thomas項」と呼ばれている)は,「スピン-軌道相互作用の演算子」として表わされる：
\begin{align*}
-\frac{e\hbar}{4m^{2}c^{2}}\mb{\sigma}\cdot\mb{E}\times\hat{\mb{p}}
&=-\frac{e\hbar}{4m^{2}c^{2}}\mb{\sigma}\cdot
\left(-\frac{1}{e}\frac{dV}{dr}\frac{\mb{r}}{r}\times\hat{\mb{p}}\right)
=+\frac{1}{2m^{2}c^{2}}\frac{1}{r}\frac{dV}{dr}\left(\frac{\hbar}{2}\mb{\sigma}\right)\cdot(\mb{r}\times\hat{\mb{p}})\\
&=\frac{1}{2m^{2}c^{2}}\frac{1}{r}\frac{dV}{dr}\mb{S}\cdot\mb{L}
\end{align*}

原子核の場(電場)は中心対称で \(\displaystyle\mb{E}=\frac{Ze}{r^{3}}\mb{r}\) であり, そのポテンシャル \(\displaystyle\phi=\frac{Ze}{r}\) は, ポアソン方程式 \(\Delta \phi=-4\pi\rho=-4\pi Ze\delta(\mb{r})\) を満たす．従って, 電子電荷は負であることを用いると式 (33.12) の第4番目の項は次となる：
\begin{align*}
&\nabla\cdot\mb{E}=\nabla\cdot(-\nabla\phi)=-\nabla^{2}\phi =-\Delta\phi=4\pi Ze\delta(\mb{r}),\\
&\rightarrow\quad -\frac{e\hbar^{2}}{8m^{2}c^{2}}\nabla\cdot\mb{E}
=-\frac{(-e)\hbar^{2}}{8m^{2}c^{2}}4\pi Ze\delta(\mb{r})
=\frac{\pi Ze^{2}\hbar^{2}}{2m^{2}c^{2}}\delta(\mb{r})
\end{align*}
この項を最初に考察したのは C.G.Darwin なので, この項は「Darwin項」と呼ばれる．また, この場合の「Thomas項」は \(\displaystyle V=-e\phi=-\frac{Ze^{2}}{r}\) として次となる：

従って, この電場を式 (33.12) の最後の3項に代入し, 摂動演算子は次となる：

非相対論的なシュレディンガー方程式 \(\displaystyle \left(\frac{\hat{\mb{p}}^{2}}{2m}+V\right)\psi_0=E_0\psi_0\) によれば,

ただし \(E_0\) は非摂動エネルギー準位であり \(n\) は「主量子数」である ^[5][ブログ註] ランダウ=リフシッツ：「量子力学」§ 31 クーロン場の中の運動 を参照すべし．．従って, 平均値は次となる：

式 (34.1) の第2項, 第3項のような平均量は, 次の公式たちによって計算される (L.Pauling and E.Wilson§21c を見よ)：
\begin{align*}
\overline{r^{-1}}&=\frac{Z}{a_0 n^{2}}=\frac{me^{2}Z}{\hbar^{2}n^{2}},\qquad
\overline{r^{-2}}=\frac{Z^{2}}{a_0^{2}n^{3}(l+1/2)}=\frac{(me^{2}Z)^{2}}{\ds{\hbar^{4}n^{3}\bigl(l+1/2\bigr)}},\\
\overline{r^{-3}}&=\frac{Z^{3}}{a_0^{3}n^{3}l(l+1/2)(l+1)}=\frac{(me^{2}Z)^{3}}{\ds{\hbar^{6}n^{3}l\,(l+1)\bigl(l+1/2\bigr)}},
\qquad a_0=\frac{\hbar^{2}}{me^{2}}
\tag{34.2}
\end{align*}
ただし \(a_0\) は「ボーア半径」であり, また最後の式は \(l\ne0\) のときに成り立つ．また, 固有値は \(\mb{J}^{2}=(\mb{L}+\mb{S})^{2}\) から得られる次の公式によって計算される：

最後に, 第３項の平均は次の公式を用いて遂行される：

ただしこれは, シュレディンガー方程式の解
\begin{align*}
\psi_{1s}&=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}e^{-\sigma},\quad
\psi_{2s}=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}(2-\sigma)e^{-\sigma/2},\\
\psi_{3s}&=\frac{1}{81\sqrt{3\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}(27-18\sigma+2\sigma^{2})e^{-\sigma/3},
\quad \dotsb,\quad \mathrm{with}\quad \sigma=\frac{Z}{a_0}r
\end{align*}
によるものである．しかし J.J.Sakurai の§ 3.8 によれば,「ディラック理論による基底状態の波動関数は,
\begin{align*}
\psi_{gd}&=\frac{N}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}e^{-Zr/a_0}
\times\left(\frac{Zr}{a_0}\right)^{\sqrt{1-(Z\alpha)^{2}}-1}\begin{pmatrix}
\chi^{(s)} \\ \ds{\frac{i\left(1-\sqrt{1-(Z\alpha)^{2}}\right)}{Z\alpha}\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{x})}{r}\chi^{(s)}}
\end{pmatrix},
\end{align*}
ただし \(\alpha\) は「微細構造定数」,そして \(\chi^{(s)}\) は「Pauliスピノル」であり \(j_{3}=1/2\) か \(j_3=-1/2\) かに依存して

となる．また, 規格化定数 \(N\) は \(\Gamma(x)\) をガンマ関数として次である：

この \(N\) は \(Z\alpha\to0\) のとき \(1\) に近づき, 更に \((Zr/a_0)^{\sqrt{1-(Z\alpha)^{2}}-1}\) は, 次のオーダーの距離

を除いて本質的に \(1\) であることに注意すべきである．\(r\to0\) のとき \(\psi\) は穏やかな特異性を示す．しかし, それは学術的な興味に過ぎない．なぜなら, 短距離での波動関数は原子核の有限な電荷分布のために修正されるはずだからである．従って, 小さな \(Z\) の水素様原子の基底状態の場合, 上方の2成分波動関数は本質的に”シュレディンガー波動関数にPauliスピノルを掛け合わせたもの”と言える」．

式 (34.1) に於ける各摂動項の「非相対論的状態での平均値」を順番に計算して行こう．まず第1項目の平均は,
\begin{align*}
\left\langle -\frac{\hat{\mb{p}}^{4}}{8m^{3}c^{2}} \right\rangle
&=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\times \overline{\mb{p}^{4}}
=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\times 4m^{2}\overline{\left(E_0 +\frac{Ze^{2}}{r}\right)^{2}}\\
&=-\frac{1}{2mc^{2}}\overline{\left(-\frac{Z^{2}me^{4}}{2\hbar^{2}n^{2}} +\frac{Ze^{2}}{r}\right)^{2}}\\
&=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(Z^{2}e^{4}\overline{r^{-2}}-\frac{mZ^{3}e^{6}}{\hbar^{2}n^{2}}\overline{r^{-1}}
+\frac{m^{2}Z^{4}e^{8}}{4\hbar^{4}n^{4}}\right)\\
&=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(\frac{m^{2}e^{8}Z^{4}}{\hbar^{4}n^{3}\left(l+1/2\right)}
-\frac{m^{2}Z^{4}e^{8}}{\hbar^{4}n^{4}}+\frac{m^{2}Z^{4}e^{8}}{4\hbar^{4}n^{4}}\right)\\
&=-\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{l+1/2}-\frac{3}{4n}\right)
\tag{1}
\end{align*}
第２項目すなわち「Thomas項」の平均は,
\begin{align*}
\left\langle\frac{Ze^{2}}{2m^{2}c^{2}r^{3}}\hat{\mb{S}}\cdot\hat{\mb{L}}\right\rangle
&=\frac{Ze^{2}}{2m^{2}c^{2}}\,\overline{r^{-3}}\times \frac{\hbar^{2}}{2}
\left[j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}\right]\\
&=\frac{Ze^{2}}{2m^{2}c^{2}}\times\frac{(me^{2}Z)^{3}}{\hbar^{6}n^{3}l\,(l+1)(l+1/2)}
\times \frac{\hbar^{2}}{2}\left[j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}\right]\\
&=\frac{mZ^{4}e^{8}}{4\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\times\frac{j(j+1)-l(l+1)-3/4}{l\,(l+1)(l+1/2)}
\end{align*}
ただし, この「Thomas項」は S 状態 \((l=0)\) のときにはゼロになってしまう．それ以外 \((l\ne0)\) の場合では, \(j\) の値は \(j=l+1/2\) または \(j=j-1/2\) のみを取るから,

従って,
\begin{align*}
\left\langle\frac{Ze^{2}}{2m^{2}c^{2}r^{3}}\hat{\mb{S}}\cdot\hat{\mb{L}}\right\rangle
&=\begin{cases}
\ds{+\frac{mZ^{4}e^{8}}{4\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\frac{1}{(l+1)(l+1/2)}} & \ :\ \ds{j=l+\frac{1}{2}} \\
\ds{-\frac{mZ^{4}e^{8}}{4\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\frac{1}{l(l+1/2)}} & \ :\ \ds{j=l-\frac{1}{2}}
\end{cases}
\tag{2}
\end{align*}
第3の項, すなわち最後の項は S 状態以外 (\(l\ne0\)) ではゼロになってしまう：
\begin{align*}
\left\langle\frac{\pi Ze^{2}\hbar^{2}}{2m^{2}c^{2}}\delta(\mb{r})\right\rangle
&=\int \psi^{*}(r)\frac{\pi Ze^{2}\hbar^{2}}{2m^{2}c^{2}}\delta(\mb{r})\,\psi(r)\,dV
=\frac{\pi Ze^{2}\hbar^{2}}{2m^{2}c^{2}}|\psi(0)|^{2}\\
&=\begin{cases}
\ds{\frac{\pi Ze^{2}\hbar^{2}}{2m^{2}c^{2}}\times \frac{1}{\pi}\left(\frac{Zme^{2}}{\hbar n}\right)^{3}
=\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{2}c^{2}n^{3}}} & \ : l=0 \\
0 & \ : l\ne 0
\end{cases}
\tag{3}
\end{align*}
以上の結果をまとめる．まず S 状態 \((l=0)\) の場合では, 式 (1) と式 (3) を足し合わせて次となる：

これは \(j=1/2\) とすれば, 次のように書くことが出来ることに注意する：

次に S 状態以外 \((l\ne0)\) を考えると, 式 (1) と式 (2) を足し合わせて次となる：
まず \(j=l+1/2\) の場合すなわち \(l=j-1/2\) の場合には,
\begin{align*}
\Delta E_{(j=l+1/2)} &= -\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{l+1/2}-\frac{3}{4n}\right)
+\frac{mZ^{4}e^{8}}{4\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\frac{1}{(l+1)(l+1/2)}\\
&=-\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{l+1}-\frac{3}{4n}\right)
=-\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{j+1/2}-\frac{3}{4n}\right)
\end{align*}
また \(j=l-1/2\) の場合すなわち \(l=j+1/2\) の場合には,
\begin{align*}
\Delta E_{(j=l-1/2)} &= -\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{l+1/2}-\frac{3}{4n}\right)
-\frac{mZ^{4}e^{8}}{4\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\frac{1}{l(l+1/2)}\\
&=-\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{l}-\frac{3}{4n}\right)
=-\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{j+1/2}-\frac{3}{4n}\right)
\end{align*}
つまり \(j=l\pm1/2\) の両方の場合が, 同じ表現として表せることが分かる：

以上の結果式 (4) と式 (5) とから, あらゆる \(j\) 及び \(l\) の場合で, 結果は同じ形に表せることが分かる：
\begin{align*}
\Delta E= \langle \hat{V}\rangle
&=-\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{j+1/2}-\frac{3}{4n}\right)\\
&=\frac{E_{0}(Z\alpha)^{2}}{n}\left(\frac{1}{j+1/2}-\frac{3}{4n}\right),\quad
E_0=-\frac{Z^{2}e^{2}}{2a_0 n^{2}}=-\frac{Z^{2}me^{4}}{2\hbar^{2}n^{2}}
\tag{6}
\end{align*}
ただし \(\alpha\) は「微細構造定数」, そして \(a_0\) は「ボーア半径」である：
\begin{align*}
\alpha&=\frac{e^{2}}{\hbar c}=0.0072973525643(11),\quad \frac{1}{\alpha}=137.04\\
a_0&=\frac{\hbar^{2}}{me^{2}}=5.292\times 10^{-9}\,\mathrm{cm}
\end{align*}

〈 (2)の解答例 〉\(\mb{A}\) と \(\phi\) が時間依存するとして, 式 (12-5) 以降を修正して行く．
式 (12-5) の第3項は, 公式 (F1) に於いて \(A=\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}\) そして \(B=(W-V)\) とした

を用いることが出来る．従って, 式 (12-5) は次となる：
\begin{align*}
(W-V)\,\chi
&=\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\chi-\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{8m^{3}c^{2}}\chi
+\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\Bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,
\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]\Bigr]\chi
\tag{12-5}
\end{align*}
今度は \(W=i\hbar\partial/\partial t\) とし \(\mb{A}\) は時間依存するのであるから, この式 (7) は修正して行かなければならない．まず, 演算子の後ろには位置 \(\mb{x}\) と時間 \(t\) の関数 \(\chi(\mb{x},t)\) が存在することを考慮すると,
\begin{align*}
\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]
&=\left[\mb{\sigma}\cdot\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right),\,(W-V)\right]\\
&=\left[\mb{\sigma}\cdot\mb{p},\,(W-V)\right]-\frac{e}{c}\left[\mb{\sigma}\cdot\mb{A},\,(W-V)\right],\\
\mathrm{where}\quad \left[\mb{\sigma}\cdot\mb{p},\,(W-V)\right]&=\mb{\sigma}\cdot\mb{p}(W-V)-(W-V)\mb{\sigma}\cdot\mb{p}\\
&=\cancel{\mb{\sigma}\cdot\mb{p}W}-\mb{\sigma}\cdot\mb{p}V-\bcancel{V\mb{\sigma}\cdot\mb{p}}-\cancel{W\mb{\sigma}\cdot\mb{p}}
+\bcancel{V\mb{\sigma}\cdot\mb{p}}\\
&=-\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}V),\\
\left[\mb{\sigma}\cdot\mb{A},\,(W-V)\right]&=\mb{\sigma}\cdot\mb{A}(W-V)-(W-V)\mb{\sigma}\cdot\mb{A}\\
&=\cancel{\mb{\sigma}\cdot\mb{A}W}-\bcancel{\mb{\sigma}\cdot\mb{A}V}-\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A})
-\cancel{\mb{\sigma}\cdot\mb{A}W}+\bcancel{V\mb{\sigma}\cdot\mb{A}}\\
&=-\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A}),\\
\therefore\quad
\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]&=-\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}V)+\frac{e}{c}\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A})
\tag{8}
\end{align*}
である．すると,式 (7) は
\begin{align*}
\left[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]\right]
&=\left[\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi},\,-\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}V)+\frac{e}{c}\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A})\right]\\
&=-\bigl[\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi},\,\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}V)\bigr]
+\frac{e}{c}\bigl[\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi},\,\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A})\bigr]
\tag{9}
\end{align*}
このとき, 公式 (F2) から
\begin{align*}
&\bigl[\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi},\,\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}V)\bigr]
=(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot\mb{p}V)-(\mb{\sigma}\cdot\mb{p}V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\\
&\quad =\mb{\pi}\cdot\mb{p}V+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{\pi}\times\mb{p}V)-(\mb{p}V)\cdot\mb{\pi}
-i\mb{\sigma}\cdot\bigl\{(\mb{p}V)\times\mb{\pi}\bigr\}\\
&\quad =\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\cdot(\mb{p}V)-(\mb{p}V)\cdot\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
+i\mb{\sigma}\cdot\left\{\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times(\mb{p}V)\right\}
-i\mb{\sigma}\cdot\left\{(\mb{p}V)\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\right\}\\
&\quad =\mb{p}\cdot(\mb{p}V)+\cancel{(\mb{p}V)\cdot\mb{p}}-\cancel{\frac{e}{c}\mb{A}\cdot(\mb{p}V)}
-\cancel{(\mb{p}V)\cdot\mb{p}}+\cancel{\frac{e}{c}(\mb{p}V)\cdot\mb{A}}
+i\mb{\sigma}\cdot\left\{\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times\mb{p}V
-(\mb{p}V)\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\right\}\\
&\quad =\mb{p}\cdot(\mb{p}V)+i\mb{\sigma}\cdot\left\{\cancel{\mb{p}\times\mb{p}V}-(\mb{p}V)\times\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\times(\mb{p}V)
-(\mb{p}V)\times\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\times(\mb{p}V)\right\}\\
&\quad =\mb{p}\cdot(\mb{p}V)+2i\mb{\sigma}\cdot\left\{\mb{p}\times(\mb{p}V)-\frac{e}{c}\mb{A}\times(\mb{p}V)\right\}
=\mb{p}\cdot(\mb{p}V)+2i\mb{\sigma}\cdot\left\{\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times\mb{p}V\right\}
\tag{10}
\end{align*}
同様にして,
\begin{align*}
&\bigl[\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi},\,\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A})\bigr]
=(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A}))-(\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A}))(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\\
&\quad =\mb{\pi}\cdot(W\mb{A})+i\mb{\sigma}\cdot\bigl\{\mb{\pi}\times(W\mb{A})\bigr\}
-(W\mb{A})\cdot\mb{\pi}-i\mb{\sigma}\cdot\bigl\{(W\mb{A})\times\mb{\pi}\bigr\}\\
&\quad =\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\cdot(W\mb{A})
+i\mb{\sigma}\cdot\left\{\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times(W\mb{A})\right\}
-(W\mb{A})\cdot\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
-i\mb{\sigma}\cdot\left\{(W\mb{A})\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\right\}\\
&\quad = \mb{p}\cdot(W\mb{A})+\cancel{(W\mb{A})\cdot\mb{p}}-\cancel{\frac{e}{c}\mb{A}\cdot(W\mb{A})}
-\cancel{(W\mb{A})\cdot\mb{p}}+\cancel{\frac{e}{c}(W\mb{A})\cdot\mb{A}}\\
&\qquad\qquad\quad +i\mb{\sigma}\cdot\left\{\mb{p}\times(W\mb{A})-(W\mb{A})\times\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\times(W\mb{A})
-(W\mb{A})\times\mb{p}+\frac{e}{c}(W\mb{A})\times\mb{A}\right\}\\
&\quad =\mb{p}\cdot(W\mb{A})+i\mb{\sigma}\cdot\left\{\mb{p}\times(W\mb{A})
-2(W\mb{A})\times\mb{p}+2(W\mb{A})\times\frac{e}{c}\mb{A}\right\}\\
&\quad = \mb{p}\cdot(W\mb{A})+i\mb{\sigma}\cdot\left\{