\(\)
Eleventh Lecture
\(\beta\) と \(\mathbf{\alpha}\) がエルミートであるのは, 特定の表現(in certain representations)に於いてのみであることに注意するべきである．特に, これまでの表現ではエルミートである;これを「標準表現」(Standard Representation)と呼び, 適切な場合にはこの表現に S.R. というラベルを付ける．電荷及び電流の密度に対する表現として
\(
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^{2}}}
\def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
\def\mr#1{\mathrm{#1}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
\def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\def\half{\frac{1}{2}}
\def\slashed#1{#1\llap{/}\,}
\def\slashD{\nabla\!\llap{/}\,}
\def\BraKet#1#2#3{\left\langle #1 | #2 | #3 \right\rangle}
\def\BK#1#2{\left\langle #1 | #2 \right\rangle}
\)
\begin{equation}
\rho=\psi^{\dagger}\psi,\quad \mb{j}=c\psi^{\dagger}\mb{\alpha}\psi, \qquad \mathrm{S.R.}
\tag{11-1}
\end{equation}
\rho=\psi^{\dagger}\psi,\quad \mb{j}=c\psi^{\dagger}\mb{\alpha}\psi, \qquad \mathrm{S.R.}
\tag{11-1}
\end{equation}
を得るには \(\mb{\alpha}\) と \(\beta\) のエルミート性が必要である
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\footnote[1]{[ブログ註] 原書での表記は \(\rho=\psi^{*}\psi,\,\mb{j}=c\psi^{*}\mb{\alpha}\psi\) となっている．しかし明らかに \(\psi^{*}\) を \(\psi\) の随伴行列として用いているので, これ以降では \(\psi^{*}\to\psi^{\dagger}\) と表記して行く．
「シッフ」など現代の教科書の多くは「\(\psi\)のエルミート共役は\(\psi^{\dagger}\)」で表しているようだ．
ただし,代表的な教科書である「ランダウ」ではファインマンと同様に,エルミート共役に相当する量を「共役複素数」または
「複素共役波動関数(complex-conjugate wave function)」として\(\psi^{*}\)を用いている．
}．%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
従って「これらは全ての表現でエルミートである」
と言う訳ではない．ディラック方程式は(\(\hbar,c\)を回復した場合)次である
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\footnote[2]{Schiff(“Quantum Mechanics,” McGraw-Hill, New York, 1949) のハミルトニアンは,
ここでのハミルトニアンと違ってマイナス符号が\(e\phi\)を除いて付いている．またSchiffで用いられる波動関数の成分
\(\psi_1\),\(\psi_2\),\(\psi_3\),\(\psi_4\)は,各々がここでの\(-\psi_{b_1}\),\(-\psi_{b_2}\),
\(-\psi_{a_1}\),\(\psi_{a_2}\)に相当している．これらの違いの全ては,ここでの表現とSchiffで用いられている
表現間の等価変換が\(S^{2}=i\beta\alpha_x\alpha_y\alpha_z\)であることに起因している．
\(S^{2}=-1\)従って\(S^{-1}=-S\)そして次であることの証明は容易である：
\begin{equation*}
S^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
\end{equation*}
S^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
\end{equation*}
}：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{equation}
i\hbar\ppdiff{\psi}{t}=H\psi,\qquad
H=\beta mc^{2} + e\phi + c\mb{\alpha}\cdot\left[-i\hbar\nabla-\frac{e}{c}\mb{A}\right]
\tag{11-2}
\end{equation}
i\hbar\ppdiff{\psi}{t}=H\psi,\qquad
H=\beta mc^{2} + e\phi + c\mb{\alpha}\cdot\left[-i\hbar\nabla-\frac{e}{c}\mb{A}\right]
\tag{11-2}
\end{equation}
\(\psi\)が4成分の波動関数であることを思い起こすと, \(x\)の期待値は,
\begin{equation*}
\langle x \rangle =\int \psi^{\dagger}x\psi\,dV
=\int \bigl(\psi_{1}^{*}x\psi_{1}+\psi_{2}^{*}x\psi_{2}+\psi_{3}^{*}x\psi_{3}
+\psi_{4}^{*}x\psi_{4}\bigr)\,dV\qquad \mathrm{S.R.}
\end{equation*}
\langle x \rangle =\int \psi^{\dagger}x\psi\,dV
=\int \bigl(\psi_{1}^{*}x\psi_{1}+\psi_{2}^{*}x\psi_{2}+\psi_{3}^{*}x\psi_{3}
+\psi_{4}^{*}x\psi_{4}\bigr)\,dV\qquad \mathrm{S.R.}
\end{equation*}
である．同様にして次式が証明出来るが,それは練習問題としておこう
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\footnote[3]{\(\alpha_1,\psi,\psi^{*}\)に具体的な行列表現を代入するだけである：
\begin{align*}
\psi^{*}\alpha_1\psi
&=\begin{pmatrix}\psi^{*}_{1}\!\!\! & \psi^{*}_{2}\!\!\! & \psi^{*}_{3}\!\!\! & \psi^{*}_{4} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \psi_{1} \\ \psi_{2} \\ \psi_{3} \\ \psi_{4} \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}\psi^{*}_{1}\!\!\! & \psi^{*}_{2}\!\!\! & \psi^{*}_{3}\!\!\! & \psi^{*}_{4} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \psi_{4} \\ \psi_{3} \\ \psi_{2} \\ \psi_{1} \end{pmatrix}\\
&=\psi^{*}_{1}\psi_{4}+\psi^{*}_{2}\psi_{3}+\psi^{*}_{3}\psi_{2}+\psi^{*}_{4}\psi_{1}
\end{align*}
}：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{align*}
\langle \mb{\alpha}\rangle &= \int \psi^{\dagger}\mb{\alpha}\psi\,dV,\\
\langle \alpha_x\rangle &= \int \bigl(\psi^{*}_{4}\psi_{1}
+\psi^{*}_{3}\psi_{2}+\psi^{*}_{2}\psi_{3}+\psi^{*}_{1}\psi_{4}\bigr)\,dV
\qquad \mathrm{S.R.}
\end{align*}
また,行列要素は形式的には前と同様である．例えば,
\begin{equation*}
\bigl(\mb{\alpha}\bigr)_{mn}=\int \psi^{*}_{m}\mb{\alpha}\psi_{n}\,dV
\end{equation*}
\bigl(\mb{\alpha}\bigr)_{mn}=\int \psi^{*}_{m}\mb{\alpha}\psi_{n}\,dV
\end{equation*}
もし\(A\)が何らかの(Heisenberg表示の)演算子であるならば,その時間微分(Heisenbergの運動方程式)は次となる：
\begin{equation*}
\dot{A}=\frac{i}{\hbar}[H,A]+\ppdiff{A}{t}=\frac{i}{\hbar}\bigl(HA-AH\bigr)+\ppdiff{A}{t}
\end{equation*}
\dot{A}=\frac{i}{\hbar}[H,A]+\ppdiff{A}{t}=\frac{i}{\hbar}\bigl(HA-AH\bigr)+\ppdiff{A}{t}
\end{equation*}
\(A=\mb{x}\)である場合, (\(\mb{x}\)は時間に依存しないので)その結果が次となることは明らかだ
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\footnote[3]{[ブログ註] 時間発展演算子を\(\mathscr{U}(t)=\exp(-iHt/\hbar)\)とするならば,シュレディンガー表示の
観測量\(A\)のハイゼンベルグ表示は\(A(t)\equiv\mathscr{U}^{\dagger}(t)A\mathscr{U}(t)\)で定義される．
これを時間微分した関係などは, \(\mathscr{U}\)と\(H\)とは可換なので\(\mathscr{U}^{\dagger}H\mathscr{U}=H\)となる
ことなどから,
\begin{equation*}
\dot{\mathscr{U}}=(-i/\hbar)H\mathscr{U},\quad
\dot{\mathscr{U}^{\dagger}}=(i/\hbar)\mathscr{U}^{\dagger}H,\quad
\mathscr{U}^{\dagger}HA\mathscr{U}=\mathscr{U}^{\dagger}H\mathscr{U}\mathscr{U}^{\dagger}A\mathscr{U}
=HA(t),\quad \mathscr{U}^{\dagger}\ppdiff{A}{t}\mathscr{U}=\ppdiff{A(t)}{t}
\end{equation*}
\dot{\mathscr{U}}=(-i/\hbar)H\mathscr{U},\quad
\dot{\mathscr{U}^{\dagger}}=(i/\hbar)\mathscr{U}^{\dagger}H,\quad
\mathscr{U}^{\dagger}HA\mathscr{U}=\mathscr{U}^{\dagger}H\mathscr{U}\mathscr{U}^{\dagger}A\mathscr{U}
=HA(t),\quad \mathscr{U}^{\dagger}\ppdiff{A}{t}\mathscr{U}=\ppdiff{A(t)}{t}
\end{equation*}
これらを用いると,
\begin{align*}
\frac{dA}{dt}&=\ppdiff{\mathscr{U}^{\dagger}}{t}A\mathscr{U}
+\mathscr{U}^{\dagger}\ppdiff{A}{t}\mathscr{U}
+\mathscr{U}^{\dagger} A\ppdiff{\mathscr{U}}{t}
=\frac{i}{\hbar}\mathscr{U}^{\dagger}HA\mathscr{U}-\frac{i}{\hbar}\mathscr{U}^{\dagger} AH\mathscr{U}
+\mathscr{U}^{\dagger}\ppdiff{A}{t}\mathscr{U}\\
&=\frac{i}{\hbar}HA(t)-\frac{i}{\hbar}A(t)H+\ppdiff{A(t)}{t}
=\frac{i}{\hbar}\bigl[H,A(t)\bigr] + \ppdiff{A(t)}{t}
\end{align*}
}：%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{equation}
\dot{\mb{x}}=\frac{i}{\hbar}\bigl(H\mb{x}-\mb{x}H\bigr)= c \mb{\alpha}
\tag{11-3}
\end{equation}
\dot{\mb{x}}=\frac{i}{\hbar}\bigl(H\mb{x}-\mb{x}H\bigr)= c \mb{\alpha}
\tag{11-3}
\end{equation}
なぜなら, ハミルトニアン\(H\)中の\(\mb{p}\cdot\mb{\alpha}\)以外の項は全て\(\mb{x}\)と交換するからである：
\begin{align*}
H x_i-x_i H
&=\left\{\beta mc^{2}+e\phi+c\mb{\alpha}\cdot\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\right\} x_i
-x_i \left\{\beta mc^{2}+e\phi+c\mb{\alpha}\cdot\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\right\}\\
&=c(\mb{\alpha}\cdot\mb{p}) x_i – c x_i (\mb{\alpha}\cdot\mb{p})
=c(\alpha_1 p_1+\alpha_2 p_2 + \alpha_3 p_3) x_i -c x_i (\alpha_1 p_1+\alpha_2 p_2 + \alpha_3 p_3)\\
&=c\alpha_1 (p_1x_i-x_ip_1) + c\alpha_2 (p_2 x_i-x_ip_2) + c\alpha_3 (p_3x_i-x_ip_3)\\
&=c\alpha_1 \frac{\hbar}{i}\delta_{1i}+c\alpha_2 \frac{\hbar}{i}\delta_{2i}
+c\alpha_3 \frac{\hbar}{i}\delta_{3i}=c\frac{\hbar}{i}\sum_{j}\alpha_j \delta_{ji}=c\frac{\hbar}{i}\alpha_i,\\
\rightarrow\quad \dot{x}_{i}
&=\frac{i}{\hbar}\times c\frac{\hbar}{i}\alpha_i = c\alpha_i
\end{align*}
しかし, \(\mb{\alpha}^{2}=1\)であるから\(\mb{\alpha}\)の固有値は\(\pm1\)である．従って\(\dot{x}\)の固有速度
は, 光速度を\(c\)として\(\pm c\)である．この結果はときどき,速度の正確な決定は「２つの時間に於ける正確な位置決定」を意味する
という議論により妥当とされる．すると不確定性原理により,運動量は完全に不確定となり,どの値も等しく可能性がある．
速度と運動量の相対論的関係から, 光速に近い速度がより可能性が高く,極限では速度の期待値が光の速さになることが分かる
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\footnote[1]{この議論は完全に受容できると言うわけではない．なぜなら\(\dot{\mb{x}}\)は\(\mb{p}\)と交換する．
即ち,同時に２つの量を測定することが可能でなければならないからである．
}．%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\par 同様にして,力学的運動量\(\displaystyle \mb{\pi}=\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\)の\(x\)成分に対しては,
\begin{align*}
\dot{\mb{\pi}}_x
&=\frac{i}{\hbar}\bigl(H p_x-p_x H\bigr) -\frac{i}{\hbar}\frac{e}{c}\left(H A_x -A_x H\right)-\frac{e}{c}\ppdiff{A_x}{t}\\
&=\frac{i}{\hbar}\left(e\phi p_x-p_x e\phi-e\mb{\alpha}\cdot\mb{A}p_x+p_x e\mb{\alpha}\cdot\mb{A}\right)
-\frac{i}{\hbar}\frac{e}{c}c\mb{\alpha}\cdot\mb{p}A_x-\frac{e}{c}\ppdiff{A_x}{t}\\
&=\frac{i}{\hbar}\left(-\frac{\hbar}{i}\pdiff{x}e\phi\right)+\frac{i}{\hbar}e\mb{\alpha}\cdot\left(\frac{\hbar}{i}\pdiff{x}\mb{A}\right)
-\frac{i}{\hbar}e\mb{\alpha}\cdot\left(\frac{\hbar}{i}\nabla A_x\right)-\frac{e}{c}\ppdiff{A_x}{t}\\
&=-e\ppdiff{\phi}{x}+e\mb{\alpha}\cdot\ppdiff{\mb{A}}{x}-e(\mb{\alpha}\cdot\nabla)A_x
-\frac{e}{c}\ppdiff{A_x}{t}
\end{align*}
\(\mb{A}\)と\(A_x\)中の項は,最後の項を除いて次のように展開される：
\begin{align*}
e\mb{\alpha}\cdot\ppdiff{\mb{A}}{x}-e(\mb{\alpha}\cdot\nabla)A_x
&=e\left(\alpha_1\ppdiff{A_x}{x}+\alpha_2\ppdiff{A_y}{x}+\alpha_3\ppdiff{A_z}{x}
-\alpha_1\pdiff{x}A_x-\alpha_2\pdiff{y}A_x-\alpha_3\pdiff{z}A_x\right)
\end{align*}
すると,
\begin{align*}
e\mb{\alpha}\cdot\ppdiff{\mb{A}}{x}-e(\mb{\alpha}\cdot\nabla)A_x
&=e\alpha_2\left(\ppdiff{A_y}{x}-\alpha_2\pdiff{y}A_x\right)
+e\alpha_3\left(\ppdiff{A_z}{x}-\pdiff{z}A_x\right)\\
&=e\alpha_2\bigl(\nabla\times\mb{A}\bigr)_{3}-\alpha_3\bigl(\nabla\times\mb{A}\bigr)_2\\
&=e\bigl\{\mb{\alpha}\times(\nabla\times\mb{A})\bigr\}_1
\end{align*}
従って,これは次の量の\(x\)成分と見られる：
\begin{equation*}
e\mb{\alpha}\times(\nabla\times\mb{A})=e\mb{\alpha}\times\mb{B}
\end{equation*}
e\mb{\alpha}\times(\nabla\times\mb{A})=e\mb{\alpha}\times\mb{B}
\end{equation*}
この最初と最後の項は\(\mb{E}\)の\(x\)成分となっている：
\begin{equation*}
-e\ppdiff{\phi}{x}-\frac{e}{c}\ppdiff{A_x}{t}=e\left(-\frac{1}{c}\ppdiff{A_x}{t}-\ppdiff{\phi}{x}\right)
=e\left(-\reverse{c}\ppdiff{\mb{A}}{t}-\nabla\phi\right)_x=eE_x
\end{equation*}
-e\ppdiff{\phi}{x}-\frac{e}{c}\ppdiff{A_x}{t}=e\left(-\frac{1}{c}\ppdiff{A_x}{t}-\ppdiff{\phi}{x}\right)
=e\left(-\reverse{c}\ppdiff{\mb{A}}{t}-\nabla\phi\right)_x=eE_x
\end{equation*}
以上の結果をまとめると次式が言える：
\begin{equation*}
\dot{\mb{\pi}}_{x}=eE_x +e\left(\mb{\alpha}\times\mb{B}\right)_x,
\quad\rightarrow\quad
\dot{\overline{\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)}}\equiv \frac{d}{dt}\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
=e\bigl(\mb{E}+\mb{\alpha}\times\mb{B}\bigr)=\mb{F}
\end{equation*}
\dot{\mb{\pi}}_{x}=eE_x +e\left(\mb{\alpha}\times\mb{B}\right)_x,
\quad\rightarrow\quad
\dot{\overline{\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)}}\equiv \frac{d}{dt}\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
=e\bigl(\mb{E}+\mb{\alpha}\times\mb{B}\bigr)=\mb{F}
\end{equation*}
ただし\(\mb{F}\)はローレンツ力に類似した量である．この方程式はときどきニュートンの運動方程式の類似物と見做される．
しかし,この方程式と\(\dot{\mb{x}}\)との直接的な関係は存在しないので,速度を小さくした極限で直に
ニュートン方程式とはならない．従って,「この方程式は適切な類似式だ」と完全に認めることは出来ない．
\par 以下の関係式は真であることを証明できるが,それらの意味はまだ完全には理解されていない：
\begin{align}
&\frac{d}{dt}\left(\mb{x}+\frac{i\hbar}{2mc}\beta\mb{\alpha}\right)
=\frac{\beta}{m}\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\tag{1}\\
&\frac{d}{dt}\left(ct+\frac{i\hbar}{2mc}\beta\right)
=\frac{\beta}{mc}\bigl(H-e\phi\bigr)\tag{2}\\
&i\frac{d}{dt}\alpha_x\alpha_y\alpha_z
=-\frac{2mc^{2}}{\hbar}\beta\,\alpha_x\alpha_y\alpha_z\tag{3}\\
&-\frac{d}{dt}\beta\,\mb{\Sigma}
=\frac{2c}{\hbar}\bigl(\beta\,\alpha_x\alpha_y\alpha_z\bigr)\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\tag{4}
\end{align}
&\frac{d}{dt}\left(\mb{x}+\frac{i\hbar}{2mc}\beta\mb{\alpha}\right)
=\frac{\beta}{m}\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\tag{1}\\
&\frac{d}{dt}\left(ct+\frac{i\hbar}{2mc}\beta\right)
=\frac{\beta}{mc}\bigl(H-e\phi\bigr)\tag{2}\\
&i\frac{d}{dt}\alpha_x\alpha_y\alpha_z
=-\frac{2mc^{2}}{\hbar}\beta\,\alpha_x\alpha_y\alpha_z\tag{3}\\
&-\frac{d}{dt}\beta\,\mb{\Sigma}
=\frac{2c}{\hbar}\bigl(\beta\,\alpha_x\alpha_y\alpha_z\bigr)\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\tag{4}
\end{align}
ただし最後の関係式中の\(\mb{\Sigma}\)は,次の行列を意味している：
\begin{equation*}
\mb{\Sigma}\equiv \begin{pmatrix}
\mb{\sigma} & 0 \\ 0 & \mb{\sigma}
\end{pmatrix},\quad\rightarrow \quad \Sigma_z =-i\alpha_x\alpha_y,\quad \mathrm{etc.}
\end{equation*}
\mb{\Sigma}\equiv \begin{pmatrix}
\mb{\sigma} & 0 \\ 0 & \mb{\sigma}
\end{pmatrix},\quad\rightarrow \quad \Sigma_z =-i\alpha_x\alpha_y,\quad \mathrm{etc.}
\end{equation*}
\par\noindent ——————————————————————————————————————–\par
\par 〈 導出例 〉(1) ハミルトニアン\(H=\beta mc^{2}+e\phi+c\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}\)と\(\beta\mb{\alpha}\)との
交換子を,\,\(\alpha_i\)や\(\beta\)の交換関係
\begin{equation*}
\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=2\delta_{ij},\quad \beta^{2}=1,\quad \beta\mb{\alpha}+\mb{\alpha}\beta=0
\end{equation*}
\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=2\delta_{ij},\quad \beta^{2}=1,\quad \beta\mb{\alpha}+\mb{\alpha}\beta=0
\end{equation*}
を用いて具体的に計算してみると(ただし \(\mb{\pi}=\mb{p}-(e/c)\mb{A}\)とした),
\begin{align*}
[H,\beta\mb{\alpha}]&=mc^{2}\bigl(\beta\beta\mb{\alpha}-\beta\mb{\alpha}\beta\bigr)
+c\bigl(\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}\beta\mb{\alpha}-\beta\mb{\alpha}\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}\bigr),\\
\bigl(\beta\beta\mb{\alpha}-\beta\mb{\alpha}\beta\bigr)&=\mb{\alpha}+\beta\beta\mb{\alpha}=2\mb{\alpha},\\
\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}\beta\mb{\alpha}\to \pi_k\alpha_k\beta\alpha_i
&=\pi_k (-\beta\alpha_k)\alpha_i=\pi_k(-\beta)\bigl(-\alpha_i\alpha_k+2\delta_{ki}\bigr)\\
&=\pi_k\beta\alpha_i\alpha_k-2\pi_k\beta\delta_{ki}
=\beta\alpha_i\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}-2\beta\pi_i
\to \beta\mb{\alpha}\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}-2\beta\mb{\pi}\\
\therefore\quad \mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}\beta\mb{\alpha}-\beta\mb{\alpha}\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}
&=\beta\mb{\alpha}\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}-2\beta\mb{\pi}-\beta\mb{\alpha}\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}
=-2\beta\mb{\pi}
\end{align*}
\begin{align*}
\Rightarrow\quad [H,\beta\mb{\alpha}]
&=mc^{2}\bigl(\beta\beta\mb{\alpha}-\beta\mb{\alpha}\beta\bigr)
+c\bigl(\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}\beta\mb{\alpha}-\beta\mb{\alpha}\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}\bigr)\\
&=2mc^{2}\mb{\alpha}-2c\beta\mb{\pi}\\
\therefore\quad \frac{d}{dt}\left(\mb{x}+\frac{i\hbar}{2mc}\beta\mb{\alpha}\right)
&=c\mb{\alpha}+\frac{i\hbar}{2mc}\frac{d}{dt}\beta\mb{\alpha}
=c\mb{\alpha}+\frac{i\hbar}{2mc}\frac{i}{\hbar}[H,\beta\mb{\alpha}]\\
&=c\mb{\alpha}-\frac{1}{2mc}[H,\beta\mb{\alpha}]
=c\mb{\alpha}-\frac{1}{2mc}(2mc^{2}\mb{\alpha}-2c\beta\mb{\pi})\\
&=c\mb{\alpha}-c\mb{\alpha}+\frac{\beta}{mc}\mb{\pi}
=\frac{\beta}{mc}\mb{\pi}
\end{align*}
同様にして (2) は\(c\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}=H-e\phi-\beta mc^{2}\)より,
\begin{align*}
[H,\beta]&=(c\alpha_k\pi_k + \beta mc^{2}+e\phi)\beta-\beta(c\alpha_k\pi_k + \beta mc^{2}+e\phi)\\
&=c\pi_k\alpha_k\beta-c\pi_k\beta\alpha_k+\beta^{2}mc^{2}-\beta^{2}mc^{2}
=-c\pi_k\beta\alpha_k-c\pi_k\beta\alpha_k\\
&=-2c\beta\alpha_k\pi_k =-2\beta\,c\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}
=-2\beta\bigl(H-e\phi-\beta mc^{2}\bigr)
=-2\beta\bigl(H-e\phi\bigr)+2mc^{2}\\
\therefore\quad \frac{d}{dt}\left(ct+\frac{i\hbar}{2mc}\beta\right)
&=c+\frac{i\hbar}{2mc}\dot{\beta}
=c+\frac{i\hbar}{2mc}\frac{i}{\hbar}[H,\beta]=c-\frac{1}{2mc}[H,\beta]\\
&=c-\frac{1}{2mc}\times\left\{-2\beta\bigl(H-e\phi\bigr)+2mc^{2}\right\}
=c+\frac{\beta}{mc}(H-e\phi)-c\\
&=\frac{\beta}{mc}(H-e\phi)
\end{align*}
同様にして (3) は,
\begin{align*}
[H,\alpha_1\alpha_2\alpha_3]
&=(c\alpha_k\pi_k + \beta mc^{2}+e\phi)\alpha_1\alpha_2\alpha_3-\alpha_1\alpha_2\alpha_3(c\alpha_k\pi_k + \beta mc^{2}+e\phi)\\
&=c\pi_k\bigl(\alpha_k\alpha_1\alpha_2\alpha_3-\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_k\bigr)
+ mc^{2}\bigl(\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3-\alpha_1\alpha_2\alpha_3\beta\bigr),\\
\alpha_k\alpha_1\alpha_2\alpha_3&=(-\alpha_1\alpha_k+2\delta_{k1})\alpha_2\alpha_3=-\alpha_1\alpha_k\alpha_2\alpha_3+2\delta_{k1}\alpha_2\alpha_3=\dotsb\\
&= -\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_k+2\alpha_1\alpha_2\delta_{3k}+2\alpha_3\alpha_1\delta_{2k}+2\alpha_2\alpha_3\delta_{1k}\\
\rightarrow \quad c\pi_k\bigl(\alpha_k\alpha_1\alpha_2\alpha_3-\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_k\bigr)
&=c\pi_k\bigl(-\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_k+2\alpha_1\alpha_2\delta_{3k}+2\alpha_3\alpha_1\delta_{2k}+2\alpha_2\alpha_3\delta_{1k}-\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_k\bigr)\\
&=2c\bigl(\alpha_1\alpha_2\pi_3+\alpha_3\alpha_1\pi_2+\alpha_2\alpha_3\pi_1\bigr)-2c\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_k\pi_k\\
&=2c\bigl(\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_3\pi_3+\alpha_3\alpha_1\alpha_2\alpha_2\pi_2+\alpha_2\alpha_3\alpha_1\alpha_1\pi_1\bigr)
-2c\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_k\pi_k\\
&=2c\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_k\pi_k-2c\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_k\pi_k=0,\\
\alpha_1\alpha_2\alpha_3\beta&=-\alpha_1\alpha_2\beta\alpha_3=+\alpha_1\beta\alpha_2\alpha_3=-\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3,\\
\rightarrow \quad mc^{2}\bigl(\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3-\alpha_1\alpha_2\alpha_3\beta\bigr)
&=mc^{2}(\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3+\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3)=2mc^{2}\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3,\\
\therefore\quad i\frac{d}{dt}\alpha_1\alpha_2\alpha_3 &=i\times\frac{i}{\hbar}[H,\alpha_1\alpha_2\alpha_3]
=\frac{-1}{\hbar}\times 2mc^{2}\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3=-\frac{2mc^{2}}{\hbar}\beta \alpha_1\alpha_2\alpha_3
\end{align*}
式 (4) については, 行列\(\mb{\Sigma}\)は\(\gamma\)行列を用いて表せること, また\(\mb{\alpha}=\beta\mb{\gamma}\)の関係から
\(\beta\,\mb{\Sigma}\)は\(\alpha_i,\beta\)を用いて表わせることを利用する：
\begin{equation*}
\mb{\Sigma}=\bigl(i\gamma^{2}\gamma^{3},\,i\gamma^{3}\gamma^{1},\,i\gamma^{1}\gamma^{2}\bigr),\quad
\beta\,\mb{\Sigma}=\bigl(-i\beta\alpha_2\alpha_3,\,-i\beta\alpha_3\alpha_1,\,-i\beta\alpha_1\alpha_2,\bigr)
\end{equation*}
\mb{\Sigma}=\bigl(i\gamma^{2}\gamma^{3},\,i\gamma^{3}\gamma^{1},\,i\gamma^{1}\gamma^{2}\bigr),\quad
\beta\,\mb{\Sigma}=\bigl(-i\beta\alpha_2\alpha_3,\,-i\beta\alpha_3\alpha_1,\,-i\beta\alpha_1\alpha_2,\bigr)
\end{equation*}
そこで例えば,交換子\([H,\beta\,\Sigma_1]\)即ち\([H,\beta\alpha_2\alpha_3]\)を具体的に計算してみる：
\begin{align*}
[H,\beta\,\alpha_2\alpha_3]
&=\bigl(c\alpha_k\pi_k + \beta mc^{2}+e\phi\bigr)\beta\alpha_2\alpha_3
-\beta\alpha_2\alpha_3\bigl(c\alpha_k\pi_k + \beta mc^{2}+e\phi\bigr)\\
&=mc^{2}\bigl(\beta\beta\alpha_2\alpha_3-\beta\alpha_2\alpha_3\beta\bigr)
+c\bigl(\pi_k\alpha_k\beta\alpha_2\alpha_3-\beta\alpha_2\alpha_3\alpha_k\pi_k\bigr)
\end{align*}
このとき,
\begin{align*}
\beta\beta\alpha_2\alpha_3-\beta\alpha_2\alpha_3\beta&=\alpha_2\alpha_3-\alpha_2\alpha_3\beta^{2}=0,\\
\pi_k\alpha_k\beta\alpha_2\alpha_3-\beta\alpha_2\alpha_3\alpha_k\pi_k
&=\bigl(\alpha_1\pi_1+\alpha_2\pi_2+\alpha_3\pi_3\bigr)\beta\alpha_2\alpha_3-\beta\alpha_2\alpha_3\bigl(\alpha_1\pi_1+\alpha_2\pi_2+\alpha_3\pi_3\bigr)\\
&=\pi_1(-\beta)\alpha_1\alpha_2\alpha_3-\pi_2\beta\alpha_3+\pi_3\beta\alpha_2-\pi_1\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3
+\pi_2\beta\alpha_3-\pi_3\beta\alpha_2\\
&=-2\pi_1\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3
\end{align*}
従って,
\begin{align*}
[H,\beta\,\alpha_2\alpha_3]&=-2c\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3\pi_1,\\
\therefore\quad \frac{d}{dt}\beta\Sigma_1&=\frac{i}{\hbar}[H,-i\beta\,\alpha_2\alpha_3]
=\frac{i}{\hbar}\times(-i)\times (-2c\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3\pi_1)
=-\frac{2c}{\hbar}\beta \alpha_1\alpha_2\alpha_3\pi_1,\\
\rightarrow\quad \frac{d}{dt}\beta\mb{\Sigma}&=-\frac{2c}{\hbar}\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3\mb{\pi},\quad\mathrm{or}
\quad -\frac{d}{dt}\beta\Sigma=\frac{2c}{\hbar}\beta\alpha_1\alpha_2\alpha_3\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
\end{align*}
\par\noindent ——————————————————————————————————————–\par
\par 古典物理の類似式から,角運動量演算子は今や次式となると期待出来る：
\begin{equation*}
\mb{L}=\mb{R}\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
\end{equation*}
\mb{L}=\mb{R}\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
\end{equation*}
古典物理学では次式となることに注意する：
\begin{equation*}
\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}=\frac{m\mb{v}}{\sqrt{\ds{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}}
\end{equation*}
\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}=\frac{m\mb{v}}{\sqrt{\ds{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}}
\end{equation*}
前述した\(\dot{R}\)と\(\dot{\overline{\mb{p}-(e/c)\mb{A}}}\)の結果から,角運動量\(\mb{L}\)の時間微分は次のように書ける：
\begin{align*}
\dot{\mb{L}}&=\dot{\mb{R}}\times \left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
+\mb{R}\times\dot{\overline{\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)}}\\
&=c\mb{\alpha}\times \left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
+\mb{R}\times\mb{F}
\end{align*}
この最後の項は「トルク」と解釈することが出来る．\(\mb{F}\)が中心力の場合,この項はゼロとなる．しかしその場合,
最初の項があるために\(\dot{\mb{L}}\ne0\)であることが分かる．すなわち,中心力の場合でも角運動量\(\mb{L}\)
は「保存されない」．
\par しかしながら,次で定義される演算子\(\mb{\Sigma}\)の時間微分を考えてみよう：
\begin{equation*}
\mb{\Sigma}=\begin{pmatrix} \mb{\sigma} & 0 \\ 0 & \mb{\sigma} \end{pmatrix},\quad \mathrm{where}\quad
\Sigma_3=i\gamma^{1}\gamma^{2}=-i\alpha_1\alpha_2,\ \mathrm{etc}
\end{equation*}
\mb{\Sigma}=\begin{pmatrix} \mb{\sigma} & 0 \\ 0 & \mb{\sigma} \end{pmatrix},\quad \mathrm{where}\quad
\Sigma_3=i\gamma^{1}\gamma^{2}=-i\alpha_1\alpha_2,\ \mathrm{etc}
\end{equation*}
\(z\)成分は\(\beta\)と\(e\phi\)そして\(H\)中の\(\alpha_3\)項とは交換するが\(H\)中の\(\alpha_1\)項と\(\alpha_2\)項とは交換しない
ことが分かる．従って\(\displaystyle \mb{\pi}=\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\)とするとき,
\begin{align*}
\frac{d}{dt}\Sigma_3=\dot{\Sigma}_3&=\frac{i}{\hbar}[H,\Sigma_3]=\frac{i}{\hbar}[H,-i\alpha_1\alpha_2]=\frac{1}{\hbar}[H,\alpha_1\alpha_2]
=\frac{1}{\hbar}\bigl(H\alpha_1\alpha_2-\alpha_1\alpha_2 H\bigr)\\
&=\frac{1}{\hbar}\left\{\left(\beta mc^{2}+e\phi+c\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}\right)\alpha_1\alpha_2-
\alpha_1\alpha_2\left(\beta mc^{2}+e\phi+c\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{\hbar}\bigl\{c\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}\alpha_1\alpha_1-\alpha_1\alpha_1c\mb{\alpha}\cdot\mb{\pi}\bigr\}
=\frac{c}{\hbar}\sum_k \bigl(\alpha_k\pi_k\alpha_1\alpha_2-\alpha_1\alpha_2\alpha_k\pi_k\bigr)\\
&=\frac{c}{\hbar}\sum_k \pi_k\bigl(\alpha_k\alpha_1\alpha_2-\alpha_1\alpha_2\alpha_k\bigr)
\end{align*}
\begin{align*}
\alpha_1\alpha_2\alpha_k&=\alpha_1\bigl(-\alpha_k\alpha_2+2\delta_{k2}\bigr)
=-\alpha_1\alpha_k\alpha_2 +2\delta_{k2}\alpha_1\\
&=-\bigl(-\alpha_k\alpha_1+2\delta_{k1}\alpha_2+2\delta_{k2}\alpha_1\bigr)
=\alpha_k\alpha_1\alpha_2-2\delta_{1k}\alpha_2 + 2\delta_{k2}\alpha_1,\\
\rightarrow\quad\sum_k &\pi_k\bigl(\alpha_k\alpha_1\alpha_2-\alpha_1\alpha_2\alpha_k\bigr)
=\sum_k \pi_k\bigl(\alpha_k\alpha_1\alpha_2-\alpha_k\alpha_1\alpha_2+2\delta_{1k}\alpha_2 – 2\delta_{k2}\alpha_1\bigr)\\
&=2\sum_k \pi_k\alpha_2\delta_{1k}-2\sum_k \pi_k\alpha_1\delta_{k2}
=2\alpha_2\pi_1-2\alpha_1\pi_2=-2\bigl(\alpha_1\pi_2-\alpha_2\pi_1\bigr)
\end{align*}
従って,
\begin{equation*}
\dot{\Sigma}_3 =-\frac{2c}{\hbar}\bigl(\alpha_1\pi_2-\alpha_2\pi_1\bigr)
= -\frac{2c}{\hbar}\bigl(\mb{\alpha}\times\mb{\pi}\bigr)_3
\end{equation*}
\dot{\Sigma}_3 =-\frac{2c}{\hbar}\bigl(\alpha_1\pi_2-\alpha_2\pi_1\bigr)
= -\frac{2c}{\hbar}\bigl(\mb{\alpha}\times\mb{\pi}\bigr)_3
\end{equation*}
よって最終的に,
\begin{equation*}
\frac{\hbar}{2}\dot{\mb{\Sigma}}=-c\mb{\alpha}\times\mb{\pi}=-c\mb{\alpha}\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
\end{equation*}
\frac{\hbar}{2}\dot{\mb{\Sigma}}=-c\mb{\alpha}\times\mb{\pi}=-c\mb{\alpha}\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
\end{equation*}
これは\(\dot{\mb{L}}\)にマイナス符号を付けたものの最初の項である．従って,
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}\left[\mb{L}+\frac{\hbar}{2}\mb{\Sigma}\right]=\mb{R}\times\mb{F}
\end{equation*}
\frac{d}{dt}\left[\mb{L}+\frac{\hbar}{2}\mb{\Sigma}\right]=\mb{R}\times\mb{F}
\end{equation*}
が導かれる．これは中心力の場合,ゼロになる．演算子\(\displaystyle \mb{L}+\frac{\hbar}{2}\mb{\Sigma}\)は「全角運動量演算子」と
見做すことが出来る．ただし\(\mb{L}\)は軌道角運動量であり\((\hbar/2)\mb{\Sigma}\)はスピン\(1/2\)の固有(intrinsic)角運動量である．
従って,「中心力の場合には,全角運動量は保存される」．
