Feynman QED Twelfth Lecture (part 1)

\(\)

前に示した第10講義から第12講義までの表示が何故かおかしくなっていたので, 再度書き直して示す．
\(
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^{2}}}
\def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
\def\mr#1{\mathrm{#1}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
\def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\def\half{\frac{1}{2}}
\def\slashed#1{#1\llap{/}\,}
\def\slashD{\nabla\!\llap{/}\,}
\def\BraKet#1#2#3{\left\langle #1 | #2 | #3 \right\rangle}
\def\BK#1#2{\left\langle #1 | #2 \right\rangle}
\)
Twelfth Lecture

第11講の結果である式 (11-6) と式 (11-7) を用いると, 低エネルギー近似 \((W-V)\ll 2mc^{2}\) が行える．それはオーダー \((v/c)^{4}\) までの項を残す近似である．近似式 \((1+x)^{-1}\approx 1-x\ \, (|x|< 1)\) を用いると,
\begin{align*}
\frac{c^{2}}{2mc^{2}+W-V}&=\frac{c^{2}}{2mc^{2}\left\{\ds{1+\frac{W-V}{2mc^{2}}}\right\}}
=\frac{1}{2m}\left(1+\frac{W-V}{2mc^{2}}\right)^{-1}\\
&\approx \frac{1}{2m}\left\{1-\frac{W-V}{2mc^{2}}\right\}
=\frac{1}{2m}-\frac{W-V}{(2mc)^{2}}
\tag{12-1}
\end{align*}
すると, 式 (11-7) は次となる：
\begin{align*}
(W-V)\psi_a &=\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}\,\frac{c^{2}}{2mc^{2}+W-V}\,\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}\,\psi_a\\
&= (\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\left\{\frac{1}{2m}-\frac{W-V}{4m^{2}c^{2}}\right\}
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\psi_a\\
&=\frac{1}{2m}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\psi_a
-\frac{1}{4m^{2}c^{2}}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\psi_a
\tag{12-2}
\end{align*}
他方, 規格化の必要条件 \(\displaystyle \int \bigl(\psi_a^{2}+\psi_b^{2}\bigr)\,dVol =1\) は, 式 (11-6) を

と近似することで次となる：
\begin{align*}
\int \bigl(\psi_a^{2}+\psi_b^{2}\bigr)\,dVol
&\approx \int \left(\psi^{*}_a\psi_a
+ \psi_a^{*}\frac{\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}}{2mc}\cdot\frac{\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}}{2mc}\psi_a\right)\,dVol\\
&=\int \psi^{*}_a\left(1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{4m^{2}c^{2}}\right)\psi_a\,dVol =1
\tag{12-3}
\end{align*}
次のような置換え

を用いると \(v^{2}/c^{2}\) のオーダーで
\begin{align*}
\chi^{*}\chi&=\psi_a^{*}\left(1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\right)
\left(1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\right)\psi_a
=\psi_a^{*}\left\{1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{4m^{2}c^{2}}
+\cancel{\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{64m^{4}c^{4}}}\right\}\psi_a \\
&\approx \psi_a^{*}\left\{1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{4m^{2}c^{2}}\right\}\psi_a
\end{align*}
となるので, 規格化積分の式 (12-3) は単純化することが出来て, 次のような表現となる(can be simplified to read)：

この置換えは, 式 (12-2) のより分かり易い解釈も可能とする．式 (12-4) から \(\psi_a=\Omega^{-1}\chi\) である．「\(\mb{\pi}\) と \(V\) とは可換ではない!」ことに注意して, まず次式を近似する：
\begin{align*}
&\Omega(W-V)\,\chi=\Omega(W-V)\Omega\,\psi_a =\left(1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\right)(W-V)
\left(1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\right)\psi_a \\
&=(W-V)\psi_a +(W-V)\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\psi_a
+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}(W-V)\psi_a
+\cancel{\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}(W-V)\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\psi_a}\\
&\approx (W-V)\psi_a
+(W-V)\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\psi_a
+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}(W-V)\psi_a
\end{align*}
右辺第1項に式 (12-2) を用いると,
\begin{align*}
\Omega(W-V)\,\chi &=\frac{1}{2m}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\psi_a
-\frac{1}{4m^{2}c^{2}}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\psi_a
+(W-V)\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\psi_a
+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}(W-V)\psi_a\\
&=\frac{1}{2m}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\psi_a
+\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}(W-V)-2(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})+(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\bigr]\psi_a
\end{align*}
この両辺に \(\Omega^{-1}\) を左から作用させる．右辺第1項では \(\Omega^{-1}\)と\((\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\) とは可換であることに注意し, 右辺第2項に作用する \(\Omega^{-1}\) はオーダーの関係から \(\Omega^{-1}\approx 1\) と近似してしまうと,
\begin{align*}
&\Omega^{-1}\Omega (W-V)\,\chi=(W-V)\,\chi \\
&\quad =\frac{1}{2m}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\Omega^{-1}\psi_a
+\Omega^{-1}\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}(W-V)-2(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})+(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\bigr]\psi_a\\
&\quad =\frac{1}{2m}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\Omega^{-1}\Omega^{-1}\chi
+\Omega^{-1}\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}(W-V)-2(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})+(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\bigr]\Omega^{-1}\chi\\
&\quad \approx \frac{1}{2m}(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\Omega^{-2}\chi
+\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}(W-V)-2(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})+(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\bigr]\chi
\end{align*}
さらに, この第1項目は
\begin{align*}
\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\Omega^{-2}\chi
&=\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\left(1+\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\right)^{-2}\chi
\approx \frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}
\left(1-2\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{8m^{2}c^{2}}\right)\chi \\
&=\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\chi-\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{8m^{3}c^{2}}\chi
\end{align*}
よって, 次の結果となる：
\begin{align*}
(W-V)\,\chi
&=\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\chi-\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{8m^{3}c^{2}}\chi\\
&\quad +\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}(W-V)-2(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})+(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}\bigr]\chi
\tag{12-5}
\end{align*}
式 (12-5) をより解釈し易い形に変換するには, 演算子代数の技法が使えるであろう．特に, 次の公式を思い出すべきである：
\begin{align*}
A^{2}B -2ABA +BA^{2}&=A(AB-BA)-(AB-BA)A\\
&=A[A,B]-[A,B]A=[A,[A,B]]
\tag{F1}
\end{align*}
そして \(\displaystyle\mb{\pi}=\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\) であり, また \(W\) は定数であることを考慮すると,
\begin{align*}
&\bigl[\mb{\sigma}\cdot\mb{A},(W-V)\bigr]=0,\quad \mb{p}W=-i\hbar\nabla W =0,\\
&\mb{\sigma}\cdot\mb{p}\,(W-V)=\mb{\sigma}\cdot\bigl[\mb{p}\,(W-V)\bigr]+(W-V)\,\mb{\sigma}\cdot\mb{p}
=\mb{\sigma}\cdot\mb{p}\,(-V)+(W-V)\,\mb{\sigma}\cdot\mb{p}
\end{align*}
従って,
\begin{align*}
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(W-V)-(W-V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})
&=[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)]
=\left[\mb{\sigma}\cdot\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{\sigma}\cdot\mb{A},\,(W-V)\right]\\
&=\left[\mb{\sigma}\cdot\mb{p},\,(W-V)\right]
=\mb{\sigma}\cdot\mb{p}\,(W-V)-(W-V)\,\mb{\sigma}\cdot\mb{p}\\
&=\mb{\sigma}\cdot\mb{p}\,(-V)+(W-V)\,\mb{\sigma}\cdot\mb{p}-(W-V)\,\mb{\sigma}\cdot\mb{p}\\
&=-\mb{\sigma}\cdot\mb{p}V=-\mb{\sigma}\cdot(-i\hbar\nabla V)=i\hbar\mb{\sigma}\cdot\nabla V
\end{align*}
ここで \(V=e\phi\) とすると, 電磁気学の公式 \(\mb{E}=-\nabla \phi\) から \(e\mb{E}=-\nabla V\) である．従って, 次式が得られる：

前述の公式 (F1) に於いて \(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}=A\) そして \((W-V)=B\) とすると,
\begin{align*}
\left[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]\right]
&=(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]
-\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr](\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\\
&=(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\bigl[-ie\hbar\mb{\sigma}\cdot\mb{E}\bigr]
-\bigl[-ie\hbar\mb{\sigma}\cdot\mb{E}\bigr](\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\\
&=-ie\hbar\Bigl\{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})-(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\Bigr\}
\tag{2}
\end{align*}
ここで \(\mb{\sigma}\) についての重要な公式

\begin{equation*}
(\mb{\sigma}\cdot\mb{a})(\mb{\sigma}\cdot\mb{b}) = \mb{a}\cdot\mb{b}+i\mb{\sigma}(\mb{a}\times\mb{b})
\tag{F2}
\end{equation*}

を上式に用いる．演算子の後ろには \(\mb{x}\) の関数 \(\circ\) が存在することに注意すると,
\begin{align*}
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})
&=\mb{\pi}\cdot\mb{E}+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{\pi}\times\mb{E})\\
&=\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\cdot\mb{E}
+i\mb{\sigma}\cdot\left\{\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times\mb{E}\right\}\\
&=\mb{p}\cdot\mb{E}\circ -\frac{e}{c}\mb{A}\cdot\mb{E}+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}\times\mb{E}\circ)
-i\frac{e}{c}\mb{\sigma}\cdot(\mb{A}\times\mb{E})\\
&=(\mb{p}\cdot\mb{E})\circ + \mb{E}\cdot(\mb{p}\circ) -\frac{e}{c}\mb{A}\cdot\mb{E}
+i\mb{\sigma}\cdot\bigl\{(\mb{p}\times\mb{E})\circ -\mb{E}\times(\mb{p}\circ)\bigr\}
-i\frac{e}{c}\mb{\sigma}\cdot(\mb{A}\times\mb{E})\\
&=(\mb{p}\cdot\mb{E})\circ + \mb{E}\cdot(\mb{p}\circ) -\frac{e}{c}\mb{E}\cdot\mb{A}
+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}\times\mb{E})\circ-i\mb{\sigma}\cdot\bigl\{\mb{E}\times(\mb{p}\circ)
-\frac{e}{c}\mb{E}\times\mb{A}\bigr\}\\
&=(\mb{p}\cdot\mb{E})\circ +\mb{E}\cdot(\mb{\pi}\circ)+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}\times\mb{E})\circ
-i\mb{\sigma}\bigl\{\mb{E}\times(\mb{\pi}\circ)\bigr\},\\
(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})
&=\mb{E}\cdot\mb{\pi}+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})\\
&=\mb{E}\cdot(\mb{\pi}\circ)+i\mb{\sigma}\cdot\bigl\{\mb{E}\times(\mb{\pi}\circ)\bigr\},\\
\therefore\quad
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})&-(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})
=(\mb{p}\cdot\mb{E})-2i\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}\times\mb{E})
\tag{3}
\end{align*}
ここで, 磁場はほぼ定常であると仮定する．すると,

従って,

よって, 前式 (3) は,
\begin{align*}
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})-(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})
&=\mb{p}\cdot\mb{E}-2i\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})\\
&=-i\hbar\nabla\cdot\mb{E} -2i\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})
\tag{4}
\end{align*}
そして式 (2) は,
\begin{align*}
\left[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]\right]
&=-ie\hbar\Bigl\{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})-(\mb{\sigma}\cdot\mb{E})
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\Bigr\}\\
&=-ie\hbar\Bigl\{-i\hbar\nabla\cdot\mb{E} -2i\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})\Bigr\}\\
&=-e\hbar^{2}\nabla\cdot\mb{E}-2e\hbar\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})
\end{align*}
以上の結果から, 式 (12-5) は,
\begin{align*}
(W-V)\,\chi&=\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\chi
-\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{8m^{3}c^{2}}\chi\\
&\quad +\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\left[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,
\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]\right]\chi\\
&=\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\chi
-\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{8m^{3}c^{2}}\chi
-\frac{e}{8m^{2}c^{2}}\Bigl\{\hbar^{2}\nabla\cdot\mb{E}
+2\hbar\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})\Bigr\}\chi
\tag{5}
\end{align*}
更に, 公式 (F2) を用いる．\(\displaystyle \mb{\pi}=\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\) なので, この場合の \(\mb{\pi}\times\mb{\pi}\ne0\) に注意する：
\begin{align*}
\mb{\pi}\times\mb{\pi}&=\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
=\mb{p}\times\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{p}\times\mb{A}
-\frac{e}{c}\mb{A}\times\mb{p}+\left(\frac{e}{c}\right)^{2}\mb{A}\times{A}\\
&=-\frac{e}{c}\bigl\{\mb{A}\times\mb{p}+\mb{p}\times\mb{A}\bigr\}
=-\frac{e}{c}\bigl\{\mb{A}\times(-i\hbar\nabla)+(-i\hbar\nabla)\times\mb{A}\bigr\}\\
&=i\frac{e\hbar}{c}\bigl\{\mb{A}\times\nabla+\nabla\times\mb{A}\bigr\}
=i\frac{e\hbar}{c}\,\nabla\times\mb{A}=i\frac{e\hbar}{c}\,\mathrm{rot}\,\mb{A}
=i\frac{e\hbar}{c}\,\mb{H}
\end{align*}
従って,
\begin{align*}
(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}&=(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})
=\mb{\pi}\cdot\mb{\pi}+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{\pi}\times\mb{\pi})\\
&=\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\cdot\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
+i\mb{\sigma}\cdot\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times \left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\\
&=\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}-\frac{e\hbar}{c}\mb{\sigma}\cdot\mb{H}
\end{align*}
また \((\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}\) についてはオーダーの関係から \(\mb{\pi}\sim \mb{p}\) として次とする：

よって, 式 (5) すなわち式 (12-5) は最終的に次の様に展開される：
\begin{align*}
W\chi &=V\chi +\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\chi
-\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{8m^{3}c^{2}}\chi
-\frac{e}{8m^{2}c^{2}}\Bigl\{\hbar^{2}\nabla\cdot\mb{E}
+2\hbar\mb{\sigma}\cdot(\mb{E}\times\mb{\pi})\Bigr\}\chi \\
&=\Biggl[\underbrace{V}_{(1)} +\underbrace{\frac{1}{2m}\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}}_{(2)}
-\underbrace{\frac{e\hbar}{2mc}\mb{\sigma}\cdot\mb{H}}_{(3)}-\underbrace{\frac{\mb{p}^{4}}{8m^{3}c^{2}}}_{(4)}
-\underbrace{\frac{e\hbar^{2}}{8m^{2}c^{2}}\nabla\cdot\mb{E}}_{(5)}-\underbrace{\frac{e\hbar}{4m^{2}c^{2}}\mb{\sigma}\cdot
\mb{E}\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)}_{(6)}\,\Biggr]\chi
\tag{12-6}
\end{align*}
この形式では, 波動方程式は式 (12-6) の各項を別々に考えることで解釈できる：

項 (1) は, 以前に登場した通常のスカラーポテンシャルエネルギーを与える．

項 (2) は, 運動エネルギーと解釈できる．

項 (3) は, パウリスピンの効果であり, まさにパウリ方程式に出現した項である．

項 (4) は, 運動エネルギーの相対論的補正である．補正は次式に由来する：

この表式の最後の項が, 項 (4) に相当している．

項 (5) と項 (6) は,「スピン-軌道結合」を表現している．この解釈を理解するために, 式 (6) に於ける \(\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}\times\mb{E})\) 部分を考えてみる．逆２乗の場に於いては \(\displaystyle \mb{E}=\frac{Ze^{2}}{r^{2}}\frac{\mb{r}}{r}=\frac{Ze^{2}}{r^{3}}\mb{r}\) であるから, これは \(\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}\times\mb{r})/r^{3}\) に比例する．因子 \(\mb{r}\times\mb{p}\) は「角運動量」\(\mb{L}\) と解釈出来るので, 従って「スピン-軌道結合」\((\mb{\sigma}\cdot\mb{L})/r^{3}=(2/\hbar)\mb{S}\cdot\mb{L}/r^{3}\sim \mb{S}\cdot\mb{L}\) を得る．この項は, 電子が S 状態 \((L=0)\) に在るときには何の効果もない．他方, 項 (5) は \(\nabla\cdot\mb{E}=-\nabla^{2}\phi =4\pi Z|e|\delta(0)\) となる．これは(波動関数が \(\mb{r}=0\) でゼロでない) S状態にのみ影響する．従って, 項 (5) と項 (6) は一緒になって,「スピン-軌道結合」に対する連続関数に帰着する(result in)．電子の磁気モーメント \(\displaystyle \mu=\frac{e\hbar}{2mc}\) は, 項 (3) の係数として出現し, そして項 (5) の係数 \(\displaystyle \frac{\hbar}{4mc}\left(\frac{e\hbar}{2mc}\right)\) 及び項 (6) の係数 \(\displaystyle \frac{1}{2mc}\left(\frac{e\hbar}{2mc}\right)\) として再び出現する．

項 (6) を解釈するのに, 古典的議論をすることが可能である．速度 \(\mb{v}\) で電場中を運動する電荷は,有効磁場 \(\displaystyle \mb{H}=\frac{\mb{v}}{c}\times\mb{E}=\frac{1}{mc}\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times\mb{E}\) を感じる ^[1][ブログ註] オッペンハイマー：「電気力学」§11 によれば,「一様な速度 \(\mb{v}\) で動いている点電荷 \(e\) の作る電場 \(\mb{E}\) と磁場 \(\mb{H}\)」とは, … Continue reading．そしてこの磁場中で, 項 (6) はちょうど, エネルギー \(\displaystyle E_{(6)}=-\frac{1}{2}\mb{\mu}\cdot\mb{H}\) になっている：
\begin{align*}
E_{(6)}&=-\frac{e\hbar}{4m^{2}c^{2}}\mb{\sigma}\cdot\mb{E}\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
=-\left(\frac{e}{2mc}\right)\cdot\frac{\hbar}{2}\mb{\sigma}\cdot\frac{1}{mc}\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
\times\mb{E}\\
&=-\frac{e}{2mc} \mb{S}\cdot\mb{H}=-\frac{1}{2}\,\mb{\mu}\cdot\mb{H}
\end{align*}
しかしながら, このように因子 \(2\) だけ余分に得られてしまう．ディラック方程式が開発される以前から, L.H.Thomas はこの単純な古典的議論が不完全であることを示し, 正しい項 (6) を与えていた．パウリが中性子と陽子を記述するために導入した「異常磁気モーメント」については, 状況は異なる(下の問題3を見よ)．パウリの変形方程式では, 項 (5) と項 (6) を掛け合わせたとき, 異常磁気モーメントは因子 \(2\) を持って現れる．