問題 7-4 の解答例

Feynman-Hibbs cover

Problem 7-4
Consider the path integral

(7-31)Dx(t)FxkeiS[x(t)]/

Where tk is some intermediate time not at either end point. The path integral is simply an integral over all the points xi. So we integrate by parts to get
(7-32)Dx(t)FxkeiS[x(t)]/=iDx(t)FSxkeiS[x(t)]/

dropping the integrated part.
Discuss why the integrated part vanishes.


( 解答 ) 式 (7-13) の導出を参考にすると, 遷移要素 FxkS は次のように書くことが出来る:

FxkSχ|Fxk|ϕS=dxbdxaabDx(t)χ(xb)FxkeiS/ψ(xa)=dxbdxadxkχ(xb)K0(b,k)FxkK0(k,a)ψ(xa)(1)=dxkχ(k)Fxkψ(xk)

ただし,
(2)χ(k)=dxbχ(xb)K0(b,k),ψ(k)=dxaK0(k,a)ψ(xa)

そこで, 式 (1) に於いて xk についての部分積分を行うと,
FxkS=dxkχ(k)Fxkψ(xk)(3)=[χ(xk)Fψ(xk)|dxkχ(xk)Fxkψ(xk)

一般に「無限遠で波動関数はゼロと考える」から, χ(xk)=0,ψ(xk)=0,when xk± とする.従って, 上式 (3) 第1項の積分部分はゼロであるとして無視してよい!.
また, 上式 (3) の第2項は, 本文の式 (7-32) のようになり次式が言える:
dxkχ(xk)Fxkψ(xk)=dxbdxaDx(t)χ(xb)FxkeiS[xk]/ψ(xa)=dxbdxaDx(t)χ(xb)FiSxkeiS[xk]/ψ(xa)(4)=iχ|FSxk|ψS=iFSxkS