問題 7-6 の解答例

Feynman-Hibbs cover

Problem 7-6
Show, for a particle moving in three-dimentional space x,y,z,

(7-50)⟨(xk+1−xk)2⟩=⟨(yk+1−yk)2⟩=⟨(zk+1−zk)2⟩=−ℏεim⟨1⟩

⟨(xk+1−xk)(yk+1−yk)⟩=⟨(zk+1−zk)(xk+1−xk)⟩(7-51)=⟨(yk+1−yk)(zk+1−zk)⟩=0

( 解答 )　3次元空間に於ける式 (7-35) ∼ 式 (7-38) は次となる：

S[x(t)]=∫t1t2dt{m2x˙2−V(x)},δS=−∫t1t2dt{mx¨+dV(x)dt}δx(t),(1)S=∑i[m2ε{(xi+1−xi)2+(yi+1−yi)2+(zi+1−zi)2}−V(xi)ε]

このとき ∂S/∂xk， ∂S/∂yk， ∂S/∂zk は次となる：
∂S∂xk=−ε{mxk+1−2xk+xk−1ε2−∂V(xk)∂xk},∂S∂yk=−ε{myk+1−2yk+yk−1ε2−∂V(xk)∂yk},(2)∂S∂zk=−ε{mzk+1−2zk+zk−1ε2−∂V(xk)∂zk}

そして式 (7-40) に相当する式は次となる：
(3-a)⟨∂F∂xk⟩S=−iℏ⟨F∂S∂xk⟩S=iεℏ⟨F{m(xk+1−2xk+xk−1ε2)+dV(xk)dxk}⟩S(3-b)⟨∂F∂yk⟩S=−iℏ⟨F∂S∂yk⟩S=iεℏ⟨F{m(yk+1−2yk+yk−1ε2)+dV(xk)dyk}⟩S(3-c)⟨∂F∂zk⟩S=−iℏ⟨F∂S∂zk⟩S=iεℏ⟨F{m(zk+1−2zk+zk−1ε2)+dV(xk)dzk}⟩S

すると例えば F=yk の場合の上式 (3-b) は, 式 (7-44) ∼ 式 (7-45) と同様にして,
⟨∂yk∂yk⟩=−iεℏ⟨yk∂S∂yk⟩S → ⟨1⟩=imℏ⟨ykyk+1−2yk+yk−1ε−ε∂V(xk)∂yk⟩therefore(4)⟨ykyk+1−ykε⟩−⟨ykyk−yk−1ε⟩≃ℏim⟨1⟩ → ⟨ykyk+1−ykε⟩−⟨yk+1yk+1−ykε⟩≃ℏim⟨1⟩

よって, 式 (7-49) に相当する式として次式が得られる：
(5)⟨(yk+1−ykε)2⟩=−ℏimε⟨1⟩,→ ⟨(yk+1−yk)2⟩=−ℏεim⟨1⟩

同様にして F=xk， F=zk の場合を考えれば, 明らかに
(6)⟨(xk+1−xk)2⟩=−ℏεim⟨1⟩,⟨(zk+1−zk)2⟩=−ℏεim⟨1⟩

よって, 式 (7-50) が言える．
また, 例えば F=yk とした場合の上式 (3-c) を考えると,
⟨∂yk∂zk⟩S=0=iεℏ⟨yk{m(zk+1−2zk+zk−1ε2)+∂V(xk)∂zk}⟩S=imℏ⟨yk(zk+1−zkε−zk−zk−1ε)+εykm∂V∂zk⟩S(7)→⟨yk(zk+1−zkε)−yk(zk−zk−1ε)⟩S≃0

このとき, 式 (7-46) と式 (7-47) の同等性と同じ論理を用いるならば,
⟨yk(zk+1−zkε)−yk(zk−zk−1ε)⟩=⟨yk(zk+1−zkε)−yk+1(zk+1−zkε)⟩=0(8)→ ⟨(yk−yk+1)(zk+1−zkε)⟩=−1ε⟨(yk+1−yk)(zk+1−zk)⟩=0

よって,
(9)⟨(yk+1−yk)(zk+1−zk)⟩=0

同様に F=zk とした場合の式(3-1)や， F=xk とした場合の上式 (3-b) を考えることで類似的な結果が求まる：
(10)⟨(zk+1−zk)(xk+1−xk)⟩=0,⟨(xk+1−xk)(yk+1−yk)⟩=0

よって, 式 (7-51) が言える．