問題 9-2 の解答例

Feynman-Hibbs cover

Problem 9-2
Explain why the charge density corresponding to a single charge e located at the point x(t)=(x(t),y(t),z(t)) at time t is

(1)ρ(r,t)=eδ{rxx(t)}δ{ryy(t)}δ{rzz(t)}=eδ3{rx(t)}

Show that
(9-15)ρk(t)=eeikx(t)

Explain why the currrent density is
(2)j(r,t)=ex˙(t)δ3{rx(t)}

If we have a number of charges ei located at xi(t), the values of ρk and jk are
(9-16)ρk=ieieikxi(t),jk=ieix˙i(t)eikxi(t)

If the expansions of E and B are
(3)E(r,t)=Ek(t)eikrd3k(2π)3,B(r,t)=Bk(t)eikrd3k(2π)3

then, using Eqs. (9-9) and (9-7), the expansion coefficients satisfy
(4)Ek=ikϕk4πa˙k,andBk=4πci(k×ak)

From Eqs. (9-8) and (9-10), the coefficient of expansion of ×E is
(5)ikEk=k2ϕk

so we have
(9-17)k2ϕk=4πρk

or,
(6)ϕk=4πρk/k2.

The function ϕk is completely determined in terms of the charge density ρk; there are no dynamic differential equations to solve, involving, for example, ϕ¨k.


( 解答 )  問題文で与えられている電荷密度の式 (1) を全空間で体積積分すると, ディラックの3次元の「デルタ関数」の性質
(7)δ3{rq(t)}d3r=1
を利用して,「時刻 t に於いて, 電荷 e は位置 q(t) に存在している」という結果を正しく与えるからである:
ρ(r,t)d3r=eδ{xqx(t)}dxδ{yqy(t)}dyδ{zqz(t)}dz(8)=eδ3{rq(t)}d3r=eat r=q(t)

次に, 式 (9-14) 中の ρk(t) は, 式 (9-15) とすれば良いことを示す.式 (9-15) を式 (9-14) に代入してみると,

(9-14)ρ(r,t)=d3k(2π)3ρk(t)eikr(9)=(915)d3k(2π)3eeikq(t)eikr=e(2π)3eik{rq(t)}d3k

ここでディラックの「デルタ関数」の3次元に於ける表現式は, r=(ξ,η,ζ), x=(x,y,z) として,
(10)δ3(xr)=δ(xξ)δ(yη)δ(zζ)=1(2π)3eik(xr)d3k
である.これを利用すると,
ρ(r,t)=e(2π)3eik{rq(t)}d3k=e(2π)3(2π)3δ3{rq(t)}(11)=eδ3{rq(t)}

となり, 問題文の電荷密度の式に一致した結果が得られるからである.

次に電流密度について考える.電流密度は次で定義できる:

(12)I=Sj(r)n^dS,wherej(r)=ρv=ρr˙

電流密度の説明図

図 1. 電流密度の定義

何故なら, 微小体積 dV=dSdl 中の電荷密度 dQ は, 電荷密度を ρ とすれば (上図 1. を参照),

(13)dQ=ρdV=ρdln^dS=ρvdtn^dS=ρvn^dSdt

従って, 微小面積 dS を通過する電流 dI は,
dI=dQdt=ρvn^dS,or,dI=jn^dS(14)ρvn^dS=jn^dS,j=ρv

従って, この電流密度の表現 j=ρv に問題文の電荷密度の式と v=q˙(t) を代入すると, 次式が得られる:
(15)j(r,t)=ρv=ρ(r,t)q˙(t)=eδ3[rq(t)]q˙(t)=eq˙(t)δ3[rq(t)]

多くの電荷が存在する場合には, 式(9-14) 中に, 今度は式 (9-16) を代入して見れば良い.
まず, 電荷密度 ρk については,

ρ(r,t)=d3k(2π)3ρk(t)eikr=(916)d3k(2π)3ieieikqi(t)eikr=iei(2π)3eik{rqi(t)}d3k=iei(2π)3(2π)3δ3{rqi(t)}(16)=ieiδ3{rqi(t)},ρ(r,t)d3r=(10)ieiδ3{rqi(t)}d3r=ieiδ3{rqi(t)}d3r(17)=iei=Q

電流密度 jk についても, 同様な手順によって次となる:
j(r,t)=d3k(2π)3jk(t)eikr=(916)d3k(2π)3ieiq˙i(t)eikqi(t)eikr=iei(2π)3q˙i(t)eik(rqi(t))d3k=iei(2π)3q˙i(t)(2π)3δ3{rqi(t)}(18)=ieiq˙i(t)δ3{rqi(t)},j(r,t)d3r=(10)ieiq˙i(t)δ3{rqi(t)}d3r=ieiq˙i(t)δ3{rqi(t)}d3r(19)=ieiq˙i(t)=ieivi=iji=I


【 参考 】 式 (3) 以降は問題文には含まれない式とは思われるが, それらも導出しておこう.
まず, 式 (3) 及び式 (4) が言えることを示す.そのために, 次のベクトル解析の公式を利用する:

(20)rot(ϕA)=×(ϕA)=ϕ×A+ϕ×A

この公式に於いて ϕeikrAak とする. akr に依存しないことから ×ak=0 とすることが出来る.従って上式は次となる:
×(akeikr)=(eikr)×ak+eikr(×ak)=(eikr)×ak(21)=(ikeikr)×ak=i(k×ak)eikr,

式 (9-7):B=×A に式 (9-12) の A を代入し, 上式 (21) の結果を用いると,
B=×A=×{4πcd3k(2π)3ak(t)eikr}=4πcd3k(2π)3×{ak(t)eikr}(22)=d3k(2π)34πci(k×ak)eikr

この結果と, 式 (3):B=d3k(2π)3Bkeikr を比較するならば, 式 (4) の B の表現式が言える:
(23)Bk=4πci(k×ak)

式 (9-9) から E=ϕ1cAt である.式 (9-14) の ϕ,A を用いると,
ϕ=d3k(2π)3ϕk(t)eikr=ikd3k(2π)3ϕk(t)eikr,(24)tA=4πcd3k(2π)3ak(t)teikr,

従って E は,
E=ϕ1cAt=ikd3k(2π)3ϕk(t)eikr1c4πcd3k(2π)3ak(t)teikr(25)E=d3k(2π)3eikr{ikϕk(t)4πak(t)t}

この結果と式 (3):E=d3k(2π)3Ek(t)eikr を比較するならば, 式 (4) の E の表現式が言える:
(26)Ek(t)=ikϕk(t)4πak(t)t=ikϕk(t)4πa˙k(t)

また, 式 (3):E=d3k(2π)3Ek(t)eikr の発散は, Ek が展開係数に過ぎないこと, 及び, 式 (26) の結果を用いて次である:
E=d3k(2π)3(Ek(t)eikr)=d3k(2π)3Ek(t)(eikr)=d3k(2π)3ikEk(t)eikr=d3k(2π)3eikrik{ikϕk(t)4πa˙k(t)}(27)=d3k(2π)3eikr{i2k2ϕk(t)i4πka˙k(t)}

そして, 式 (9-14) の ρ の展開は次である:
(28)ρ(r,t)=d3k(2π)3ρk(t)eikr

以上の結果式(27) と式 (28) を, 次の式 (9-10):
(9-10)E=4πρ

に代入すると,
(29)E=d3k(2π)3ikEk(t)eikr=d3k(2π)3{k2ϕk(t)i4πka˙k(t)}eikr(30)=4πρ(r,t)=d3k(2π)34πρk(t)eikr

この結果式 (29) と式 (30) を比較する.また, 式 (9-13) を時間微分すると ka˙k(t)=0 である.以上から, 式 (9-17) が言える:
ikEk(t)=k2ϕk(t)i4πka˙k(t)(31)=k2ϕk(t)=4πρk(t)

この式 (31) すなわち式 (9-17) から,
(32)ϕk(t)=4πρkk2

となるので, 例えば ϕ¨k を含むような時間を含む微分方程式を解く必要はなく, 単に電荷密度 ρk(t) によって完全に決定されることが分かる.