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Problem 19
Consider \(\lambda_{m n}(t_{2})\) as a function of the final time \(t_2\). Show, using either Eq. (6-75) or Eq. (6-69), that
\begin{equation}
\frac{d}{dt_2}\lambda_{m n}(t_2)=-\frac{i}{\hbar}\sum_{k} V_{m k}(t_2)\lambda_{k n}(t_2) – \frac{i}{\hbar}E_m \lambda_{m n}(t_2)
\tag{6-76}
\end{equation}
\frac{d}{dt_2}\lambda_{m n}(t_2)=-\frac{i}{\hbar}\sum_{k} V_{m k}(t_2)\lambda_{k n}(t_2) – \frac{i}{\hbar}E_m \lambda_{m n}(t_2)
\tag{6-76}
\end{equation}
Give a direct physical interpretation of this result. Next, deduce this result directly from the Schrödinger equation.
Hint : Use Eq. (6-73) and substitute into the Schrödinger equation. Note that Eq. (6-76), with the initial condition \(\lambda_{m n}(t_1)=\delta_{m n}\), could be used to determine the \(\lambda\)’s directly.
(解答) 次の微分の公式を用いて, 式 (6-75) を \(t_2\) で微分しよう :
\begin{equation}
\newcommand{\mfrac}[2]{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}}
\newcommand{\ds}[1]{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbf{#1}}
\frac{d}{dx}\int_a^{x}f(t)\,dt=f(x)
\tag{1}
\end{equation}
\newcommand{\mfrac}[2]{\frac{\,#1\,}{\,#2\,}}
\newcommand{\ds}[1]{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbf{#1}}
\frac{d}{dx}\int_a^{x}f(t)\,dt=f(x)
\tag{1}
\end{equation}
ただし式 (6-75) は, 因子 \(e^{-iE_mt_2/\hbar}\) を積分の外へ出して置くことが肝要である：
\begin{equation}
\lambda_{mn}(t_2,t_1)=\delta_{mn}e^{-iE_m(t_2-t_1)/\hbar}-\mfrac{i}{\hbar}e^{-iE_m t_2/\hbar}
\int_{t_1}^{t_2}dt_3\,e^{iE_m t_3/\hbar}\sum_k V_{mk}(t_3)\,\lambda_{kn}(t_3,t_1)
\tag{2}
\end{equation}
\lambda_{mn}(t_2,t_1)=\delta_{mn}e^{-iE_m(t_2-t_1)/\hbar}-\mfrac{i}{\hbar}e^{-iE_m t_2/\hbar}
\int_{t_1}^{t_2}dt_3\,e^{iE_m t_3/\hbar}\sum_k V_{mk}(t_3)\,\lambda_{kn}(t_3,t_1)
\tag{2}
\end{equation}
すると,
\begin{align}
\frac{d}{d t_2}\lambda_{mn}(t_2,t_1)&=-\mfrac{iE_m}{\hbar}\delta_{mn}e^{-iE_m(t_2-t_1)/\hbar}-\mfrac{i}{\hbar}
\left(-\mfrac{iE_m}{\hbar}\right)\,e^{-iE_m t_2/\hbar}\int_{t_1}^{t_2}dt_3\,e^{iE_m t_3/\hbar}\sum_k V_{m k}(t_3)\,\lambda_{k n}(t_3,t_1)\notag\\
&\qquad-\mfrac{iE_m}{\hbar}\,e^{-iE_mt_2/\hbar}\left\{e^{iE_mt_2/\hbar} \sum_k V_{mk}(t_2)\,\lambda_{kn}(t_2,t_1)\right\}\notag\\
&=-\mfrac{iE_m}{\hbar}\left[\delta_{mn} e^{-iE_m(t_2-t_1)/\hbar}-\mfrac{i}{\hbar}
\int_{t_1}^{t_2}dt_3\,e^{-iE_m(t_2-t_3)/\hbar}\sum_k V_{m k}(t_3)\,\lambda_{k n}(t_3,t_1)\right]
-\mfrac{iE_m}{\hbar}\sum_k V_{m k}(t_2)\,\lambda_{kn}(t_2,t_1)
\tag{3}
\end{align}
\frac{d}{d t_2}\lambda_{mn}(t_2,t_1)&=-\mfrac{iE_m}{\hbar}\delta_{mn}e^{-iE_m(t_2-t_1)/\hbar}-\mfrac{i}{\hbar}
\left(-\mfrac{iE_m}{\hbar}\right)\,e^{-iE_m t_2/\hbar}\int_{t_1}^{t_2}dt_3\,e^{iE_m t_3/\hbar}\sum_k V_{m k}(t_3)\,\lambda_{k n}(t_3,t_1)\notag\\
&\qquad-\mfrac{iE_m}{\hbar}\,e^{-iE_mt_2/\hbar}\left\{e^{iE_mt_2/\hbar} \sum_k V_{mk}(t_2)\,\lambda_{kn}(t_2,t_1)\right\}\notag\\
&=-\mfrac{iE_m}{\hbar}\left[\delta_{mn} e^{-iE_m(t_2-t_1)/\hbar}-\mfrac{i}{\hbar}
\int_{t_1}^{t_2}dt_3\,e^{-iE_m(t_2-t_3)/\hbar}\sum_k V_{m k}(t_3)\,\lambda_{k n}(t_3,t_1)\right]
-\mfrac{iE_m}{\hbar}\sum_k V_{m k}(t_2)\,\lambda_{kn}(t_2,t_1)
\tag{3}
\end{align}
従って, 式 (6-76) が得られた ：
\begin{equation}
\frac{d}{dt_2}\lambda_{mn}(t_2,t_1)=-\mfrac{iE_m}{\hbar}\lambda_{mn}(t_2,t_1) -\mfrac{iE_m}{\hbar}\sum_kV_{m k}(t_2)\,\lambda_{k n}(t_2,t_1)
\tag{6-76}
\end{equation}
\frac{d}{dt_2}\lambda_{mn}(t_2,t_1)=-\mfrac{iE_m}{\hbar}\lambda_{mn}(t_2,t_1) -\mfrac{iE_m}{\hbar}\sum_kV_{m k}(t_2)\,\lambda_{k n}(t_2,t_1)
\tag{6-76}
\end{equation}
この式 (6-76) は次のように解釈することが出来るであろう． 式の左辺は,状態 \(n\) から状態 \(m\) に遷移してくる確率振幅の時間変化である． もし摂動ポテンシャル \(V\) が無ければ, この時間変化は \(\lambda_{mn}\) 自身 (右辺第1項) に比例するから， \(\lambda_{mn}\) は周波数が \(\omega=E_m/\hbar\) の周期的変化をする：
\begin{align}
&\frac{d}{dt}\lambda_{mn}(t)=-i\mfrac{E_m}{\hbar}\lambda_{m n}(t),\quad\rightarrow\quad
\mfrac{d\lambda_{mn}}{\lambda_{m n}}=-i\frac{E_m}{\hbar}\,dt\notag\\
&\rightarrow \quad \lambda_{mn}(t)=\delta_{mn}\,e^{-iE_mt/\hbar},\quad (\leftarrow\quad \lambda_{mn}(t_1)=\delta_{mn}\ )
\tag{4}
\end{align}
&\frac{d}{dt}\lambda_{mn}(t)=-i\mfrac{E_m}{\hbar}\lambda_{m n}(t),\quad\rightarrow\quad
\mfrac{d\lambda_{mn}}{\lambda_{m n}}=-i\frac{E_m}{\hbar}\,dt\notag\\
&\rightarrow \quad \lambda_{mn}(t)=\delta_{mn}\,e^{-iE_mt/\hbar},\quad (\leftarrow\quad \lambda_{mn}(t_1)=\delta_{mn}\ )
\tag{4}
\end{align}
\(V_{mn}\ne 0\) であると, 状態 \(n\) から他の状態 \(k\) を経由して状態 \(m\) に到る遷移が混じることになって， \(\lambda_{mn}\) の時間変化は \(\lambda_{kn}\) にも関係するようになる． 式 (6-76) を変形すると,
\begin{equation}
d\lambda_{mn}=\left(-\mfrac{i}{\hbar}E_m\,dt\right)\lambda_{m n} +\sum_k \left(-\mfrac{i}{\hbar}V_{mk}(t)\,dt\right)\lambda_{kn}
\tag{5}
\end{equation}
d\lambda_{mn}=\left(-\mfrac{i}{\hbar}E_m\,dt\right)\lambda_{m n} +\sum_k \left(-\mfrac{i}{\hbar}V_{mk}(t)\,dt\right)\lambda_{kn}
\tag{5}
\end{equation}
となるから, その関係する割合は 第2項中の因子 \(-(i/\hbar)V_{mk}(t)dt\) である． これは時間 \(dt\) 後に状態 \(k\) から状態 \(m\) に散乱されてくる確率振幅である．
次に式 (6-76) を Schrödinger方程式から直接導いてみる． 式 (6-73) から, 時刻 \(t_2\) における波動関数は無摂動ハミルトニアン \(H_0\) の固有関数 \(\phi_k\) を用いて次に書ける：
\begin{equation}
\psi(x_2,t_2)=\int_{-\infty}^{\infty}dx_1\,K_V(2,1)\phi_n(x_1)=\sum_k \lambda_{kn}(t_2)\,\phi_k(x_2)
\tag{6}
\end{equation}
\psi(x_2,t_2)=\int_{-\infty}^{\infty}dx_1\,K_V(2,1)\phi_n(x_1)=\sum_k \lambda_{kn}(t_2)\,\phi_k(x_2)
\tag{6}
\end{equation}
これを摂動ポテンシャル \(V(x_2,t_2)\) が存在する場合のSchrödinger方程式に代入すると,
\begin{align}
-\mfrac{\hbar}{i}\frac{d}{d t_2}\psi(x_2,t_2)&=\bigl\{H_0+V(x_2,t_2)\bigr\}\psi(x_2,t_2)\notag\\
-\mfrac{\hbar}{i}\frac{d}{d t_2}\sum_k \lambda_{kn}(t_2)\,\phi_k(x_2) &=\bigl\{H_0+V(x_2,t_2)\bigr\}\sum_k \lambda_{kn}(t_2)\,\phi_k(x_2)\notag\\
\sum_k -\mfrac{\hbar}{i}\frac{d}{d t_2}\lambda_{kn}(t_2)\,\phi_k(x_2)&=\sum_k \Bigl\{\lambda_{kn}(t_2)\,H_0\phi_k(x_2)+\lambda_{kn}(t_2)\,V(x_2,t_2)\phi_k(x_2)\Bigr\}\notag\\
\sum_k \frac{d}{d t_2}\lambda_{kn}(t_2)\,\phi_k(x_2)&=-\mfrac{i}{\hbar}\sum_k\Bigl\{E_k\,\lambda_{kn}(t_2)\,\phi_k(x_2)+\lambda_{kn}(t_2)\,V(x_2,t_2)\,\phi_k(x_2)\Bigr\}
\tag{7}
\end{align}
-\mfrac{\hbar}{i}\frac{d}{d t_2}\psi(x_2,t_2)&=\bigl\{H_0+V(x_2,t_2)\bigr\}\psi(x_2,t_2)\notag\\
-\mfrac{\hbar}{i}\frac{d}{d t_2}\sum_k \lambda_{kn}(t_2)\,\phi_k(x_2) &=\bigl\{H_0+V(x_2,t_2)\bigr\}\sum_k \lambda_{kn}(t_2)\,\phi_k(x_2)\notag\\
\sum_k -\mfrac{\hbar}{i}\frac{d}{d t_2}\lambda_{kn}(t_2)\,\phi_k(x_2)&=\sum_k \Bigl\{\lambda_{kn}(t_2)\,H_0\phi_k(x_2)+\lambda_{kn}(t_2)\,V(x_2,t_2)\phi_k(x_2)\Bigr\}\notag\\
\sum_k \frac{d}{d t_2}\lambda_{kn}(t_2)\,\phi_k(x_2)&=-\mfrac{i}{\hbar}\sum_k\Bigl\{E_k\,\lambda_{kn}(t_2)\,\phi_k(x_2)+\lambda_{kn}(t_2)\,V(x_2,t_2)\,\phi_k(x_2)\Bigr\}
\tag{7}
\end{align}
この両辺に \(\phi_m^{*}(x_2)\) を掛けてから \(x_2\) で積分すると,
\begin{align}
&\sum_k \frac{d}{d t_2}\lambda_{kn}(t_2)\int dx_2\,\phi_m^{*}(x_2)\,\phi_k(x_2)\notag\\
&\quad=-\mfrac{i}{\hbar}\sum_k\Bigl\{E_k\,\lambda_{kn}(t_2)\,\int dx_2\,\phi_m^{*}(x_2)\,\phi_k(x_2)
+\lambda_{kn}(t_2)\,\int dx_2\,\phi_m^{*}(x_2)\,V(x_2,t_2)\,\phi_k(x_2)\Bigr\},\notag\\
&\rightarrow\quad \sum_k\frac{d}{d t_2}\lambda_{kn}(t_2)\delta_{mk}=-\mfrac{i}{\hbar}\sum_k\Bigl\{E_k\,\lambda_{kn}(t_2)\,\delta_{mk}+\lambda_{kn}(t_2)\,V_{mk}(t_2)\Bigr\}
\tag{8}
\end{align}
&\sum_k \frac{d}{d t_2}\lambda_{kn}(t_2)\int dx_2\,\phi_m^{*}(x_2)\,\phi_k(x_2)\notag\\
&\quad=-\mfrac{i}{\hbar}\sum_k\Bigl\{E_k\,\lambda_{kn}(t_2)\,\int dx_2\,\phi_m^{*}(x_2)\,\phi_k(x_2)
+\lambda_{kn}(t_2)\,\int dx_2\,\phi_m^{*}(x_2)\,V(x_2,t_2)\,\phi_k(x_2)\Bigr\},\notag\\
&\rightarrow\quad \sum_k\frac{d}{d t_2}\lambda_{kn}(t_2)\delta_{mk}=-\mfrac{i}{\hbar}\sum_k\Bigl\{E_k\,\lambda_{kn}(t_2)\,\delta_{mk}+\lambda_{kn}(t_2)\,V_{mk}(t_2)\Bigr\}
\tag{8}
\end{align}
よって式 (6-76) が得られる ：
\begin{equation}
\frac{d}{d t_2}\lambda_{mn}(t_2) = -\mfrac{i}{\hbar}E_m\lambda_{mn}(t_2) -\mfrac{i}{\hbar}\sum_kV_{mk}(t_2)\lambda_{kn}(t_2)
\tag{6-76}
\end{equation}
\frac{d}{d t_2}\lambda_{mn}(t_2) = -\mfrac{i}{\hbar}E_m\lambda_{mn}(t_2) -\mfrac{i}{\hbar}\sum_kV_{mk}(t_2)\lambda_{kn}(t_2)
\tag{6-76}
\end{equation}
