問題 6-19 の解答例

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Problem 19
Consider ${\lambda }_{mn}(t_2)$ as a function of the final time $t_2$. Show, using either Eq. (6-75) or Eq. (6-69), that

Give a direct physical interpretation of this result. Next, deduce this result directly from the Schrödinger equation.
Hint : Use Eq. (6-73) and substitute into the Schrödinger equation. Note that Eq. (6-76), with the initial condition ${\lambda }_{mn}(t_1)={\delta }_{mn}$, could be used to determine the $\lambda$’s directly.

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(解答)　次の微分の公式を用いて, 式 (6-75) を $t_2$ で微分しよう :

ただし式 (6-75) は, 因子 $e^{-i{E}_m{t}_2/\hslash }$ を積分の外へ出して置くことが肝要である：

すると,

従って, 式 (6-76) が得られた ：

この式 (6-76) は次のように解釈することが出来るであろう． 式の左辺は,状態 $n$ から状態 $m$ に遷移してくる確率振幅の時間変化である． もし摂動ポテンシャル $V$ が無ければ, この時間変化は ${\lambda }_{mn}$ 自身 (右辺第1項) に比例するから， ${\lambda }_{mn}$ は周波数が $\omega =E_m/\hslash$ の周期的変化をする：

$V_{mn}\ne 0$ であると, 状態 $n$ から他の状態 $k$ を経由して状態 $m$ に到る遷移が混じることになって， ${\lambda }_{mn}$ の時間変化は ${\lambda }_{kn}$ にも関係するようになる． 式 (6-76) を変形すると,

となるから, その関係する割合は 第2項中の因子 $-(i/\hslash )V_{mk}(t)dt$ である． これは時間 $dt$ 後に状態 $k$ から状態 $m$ に散乱されてくる確率振幅である．
次に式 (6-76) を Schrödinger方程式から直接導いてみる． 式 (6-73) から, 時刻 $t_2$ における波動関数は無摂動ハミルトニアン $H_0$ の固有関数 ${\varphi }_k$ を用いて次に書ける：

これを摂動ポテンシャル $V(x_2,t_2)$ が存在する場合のSchrödinger方程式に代入すると,

この両辺に ${\varphi }_m^{\ast }(x_2)$ を掛けてから $x_2$ で積分すると,

よって式 (6-76) が得られる ：