問題 6-20 の解答例

Problem 6-20
Suppose $V$ is turned on and off slowly. For example, let $V (x, t) = V (x) f (t)$ , where $f (t)$ is smooth, as shown in Fig. 6-12.

\begin{matrix} (6-80) & f (t) = {\begin{cases} \frac{1}{2} e^{+ γ t} & for t < 0 \\ 1 - \frac{1}{2} e^{- γ t} & for 0 < t < \frac{T}{2} \\ 1 - \frac{1}{2} e^{- γ (T - t)} & for \frac{T}{2} < t < T \\ \frac{1}{2} e^{- γ (t - T)} & for t > T \end{cases} \end{matrix}

The rise time of the function

f (t)

1 / γ

. Supposing that

1 / γ ≪ T

, show that probability given by Eq. (6-79) is reduced by a factor

{[\frac{γ^{2}}{γ^{2} + (E_{m} - E_{n})^{2} / ℏ^{2}}]}^{2}

.　In this definition of

f (t)

we will have a discontinuity in the second derivative with respect to time. Smoother functions make still further reductions.

Fig. 6-12 The potential effecting the transition from $n$ to $m$ is turned on and off slowly with the time variation $f (t)$ , show here. As this time factor becomes smoother (e.g., as discontinuities appear in successively higher derivatives) the probability of a transition becomes smaller.

(解答)　 $V (x, t) = V (x) f (t)$ とすると, 式 (6-71) より,

\begin{aligned} V_{m n} (t) & = \int_{- \infty}^{\infty} d x ϕ^{*} (x) V (x, t) ϕ_{n} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} d x ϕ^{*} (x) V (x) f (t) ϕ_{n} (x) = f (t) \int_{- \infty}^{\infty} d x ϕ^{*} (x) V (x) ϕ_{n} (x) \\ (1) & = f (t) V_{m n} \end{aligned}

従って式 (6-77) より, 式 (6-78) に相当するものは，

ω = (E_{m} - E_{n}) / ℏ

として次となる：

\begin{aligned} c_{m}^{(1)} & = λ_{m n}^{(1)} e^{i (E_{m} t_{2} - E_{n} t_{1}) / ℏ} = - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{1}}^{t_{2}} V_{m n} (t) e^{i (E_{m} - E_{n}) t / ℏ} d t \\ (2) & = - \frac{i}{ℏ} V_{m n} \int_{- \infty}^{\infty} d t f (t) e^{i ω t} \end{aligned}

この積分部分の

f (t)

に式 (6-80) を代入したものを

I = I_{1} + I_{2} + I_{3} + I_{4}

としたとき, 各々の区間の積分は次となる：

\begin{aligned} I_{1} & = \int_{- \infty}^{0} d t \frac{1}{2} e^{γ t} e^{i ω t} = \frac{1}{2} \frac{1}{(γ + i ω)}, \\ I_{2} & = \int_{0}^{T / 2} d t (1 - \frac{1}{2} e^{- γ t}) e^{i ω t} = \frac{e^{i ω T / 2} - 1}{i ω} + \frac{e^{- (γ - i ω) T / 2} - 1}{2 (γ - i ω)}, \\ I_{3} & = \int_{T / 2}^{T} d t (1 - \frac{1}{2} e^{- γ (T - t)}) e^{i ω t} = \frac{e^{i ω T} - e^{i ω T / 2}}{i ω} + \frac{e^{- γ T / 2} e^{i ω T / 2} - e^{i ω T}}{2 (γ + i ω)}, \\ (3) & I_{4} & = \int_{T}^{\infty} d t \frac{1}{2} e^{- γ (t - T)} e^{i ω t} = \frac{e^{i ω T}}{2 (γ - i ω)} \end{aligned}

これらを足し合わせて整理すると次となる：

\begin{aligned} I & = I_{1} + I_{2} + I_{3} + I_{4} \\ = (1 - e^{i ω T}) {\frac{γ - i ω}{2 (γ^{2} + ω^{2})} - \frac{γ + i ω}{2 (γ^{2} + ω^{2})} + \frac{i}{ω}} + \frac{1}{2} e^{- γ T / 2} e^{i ω T / 2} {\frac{γ - i ω}{γ^{2} + ω^{2}} + \frac{γ + i ω}{γ^{2} + ω^{2}}} \\ = (1 - e^{i ω T}) \frac{i γ^{2}}{ω (γ^{2} + ω^{2})} + e^{- γ T / 2} e^{i ω T / 2} \frac{γ}{γ^{2} + ω^{2}} \\ (4) & ≃ \frac{γ^{2}}{(γ^{2} + ω^{2})} \frac{e^{i ω T} - 1}{i ω} \end{aligned}

ただし，

γ T ≫ 1

より

e^{- γ T / 2} \approx 0

として第２項を無視する近似を行っている．式 (2) に, この結果を代入すると,

\begin{matrix} (5) & c_{m}^{(1)} = λ_{m n}^{(1)} e^{i (E_{m} t_{2} - E_{n} t_{1}) / ℏ} = - \frac{i}{ℏ} V_{m n} \frac{γ^{2}}{γ^{2} + ω^{2}} \frac{e^{i ω T} - 1}{i ω} = \frac{γ^{2}}{γ^{2} + ω^{2}} V_{m n} \frac{1 - e^{i ω T}}{ℏ ω} \end{matrix}

この結果は, 式 (6-78) に因子

\frac{γ^{2}}{γ^{2} + ω^{2}}

だけが付加したものになっている．　
また, 「遷移確率」は遷移振幅

c_{m}^{(1)}

を2乗したものである．よってそれは, 式 (6-79) に因子

{γ^{2} / (γ^{2} + ω^{2})}^{2}

を掛けたものとなる：

\begin{matrix} (6) & P (n \to m) = {| c_{m}^{(1)} |}^{2} = {| λ_{m n}^{(1)} |}^{2} = {(\frac{γ^{2}}{γ^{2} + ω^{2}})}^{2} \times | V_{m n} |^{2} \frac{4 \sin^{2} (ω T / 2)}{(ℏ ω)^{2}} \end{matrix}

ただし,

ω = (E_{m} - E_{n}) / ℏ

である．　

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