Feynman QED Twelfth Lecture (part 2)

\(\)

\(
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^{2}}}
\def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
\def\mr#1{\mathrm{#1}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
\def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\def\half{\frac{1}{2}}
\def\slashed#1{#1\llap{/}\,}
\def\slashD{\nabla\!\llap{/}\,}
\def\BraKet#1#2#3{\left\langle #1 | #2 | #3 \right\rangle}
\def\BK#1#2{\left\langle #1 | #2 \right\rangle}
\)
【 問題 】
(1) 式 (12-6) を水素原子に適用して, そのエネルギー準位を1次のオーダーで修正せよ．その結果を実際の実験結果と比較せよ^[1] Schiff, “Quantum Mechanics,” McGraw-Hill, New York, 1949, pp. 323ff.．座標原点に於ける波動関数の違いに注意せよ．しかし, その違いはスペースが限られているために重要な意味を持たない．水素様原子に対するディラック方程式の原点付近の厳密解は,

に比例するが, 他方, シュレディンガー方程式では \(r\to 0\) に連れて波動関数 \(\psi\) は一定となる．

(2) \(\mb{A}\) と \(\phi\) が時間に依存すると仮定しよう．\(W=i\hbar\partial/\partial t\) として, 同じ近似のオーダーまでこの講義の手順をたどってみよ．

---

〈 (1)の解答例 〉Landau and Lifshitz：「Quantum Electrodynamics」§34. の文章を抜粋することで, この解答とする．

水素原子, すなわち動かない原子核のクーロン場に於ける電子のエネルギー準位の相対論的補正を求めよう．水素原子内での電子の速度は \(v/c\sim \alpha\ll1\) である．従って必要な補正は, 摂動論を使って, 式 (12-6) に於いて電場しかない(即ち \(\mb{A}=0\) で磁場は存在せず \(\mb{H}=0\)) と仮定した時のハミルトニアン

の相対論的項を非摂動状態(つまり非相対論的波動関数)で平均化することで計算出来る．やや一般性を持たせるために, 原子核の電荷を \(Ze\) とし \(Z\alpha\ll 1\) と仮定する．もしも電場が中心対称の場合には, 電荷 \(-e\) を持つ電子の電場中のポテンシャルエネルギーは \(V=-e\phi\) であるから,

であり, 式 (33.12) の最後の項(これは「Thomas項」と呼ばれている)は,「スピン-軌道相互作用の演算子」として表わされる：
\begin{align*}
-\frac{e\hbar}{4m^{2}c^{2}}\mb{\sigma}\cdot\mb{E}\times\hat{\mb{p}}
&=-\frac{e\hbar}{4m^{2}c^{2}}\mb{\sigma}\cdot
\left(-\frac{1}{e}\frac{dV}{dr}\frac{\mb{r}}{r}\times\hat{\mb{p}}\right)
=+\frac{1}{2m^{2}c^{2}}\frac{1}{r}\frac{dV}{dr}\left(\frac{\hbar}{2}\mb{\sigma}\right)\cdot(\mb{r}\times\hat{\mb{p}})\\
&=\frac{1}{2m^{2}c^{2}}\frac{1}{r}\frac{dV}{dr}\mb{S}\cdot\mb{L}
\end{align*}

原子核の場(電場)は中心対称で \(\displaystyle\mb{E}=\frac{Ze}{r^{3}}\mb{r}\) であり, そのポテンシャル \(\displaystyle\phi=\frac{Ze}{r}\) は, ポアソン方程式 \(\Delta \phi=-4\pi\rho=-4\pi Ze\delta(\mb{r})\) を満たす．従って, 電子電荷は負であることを用いると式 (33.12) の第4番目の項は次となる：
\begin{align*}
&\nabla\cdot\mb{E}=\nabla\cdot(-\nabla\phi)=-\nabla^{2}\phi =-\Delta\phi=4\pi Ze\delta(\mb{r}),\\
&\rightarrow\quad -\frac{e\hbar^{2}}{8m^{2}c^{2}}\nabla\cdot\mb{E}
=-\frac{(-e)\hbar^{2}}{8m^{2}c^{2}}4\pi Ze\delta(\mb{r})
=\frac{\pi Ze^{2}\hbar^{2}}{2m^{2}c^{2}}\delta(\mb{r})
\end{align*}
この項を最初に考察したのはC.G.Darwinなので, この項は「Darwin項」と呼ばれる．また, この場合のThomas項は \(\displaystyle V=-e\phi=-\frac{Ze^{2}}{r}\) として次となる：

従って, この電場を式 (33.12) の最後の3項に代入し, 摂動演算子は次となる：

非相対論的なシュレディンガー方程式 \(\displaystyle \left(\frac{\hat{\mb{p}}^{2}}{2m}+V\right)\psi_0=E_0\psi_0\) によれば,

ただし \(E_0\) は非摂動エネルギー準位であり \(n\) は「主量子数」である ^[2][ブログ註] ランダウ=リフシッツ：「量子力学」§31クーロン場の中の運動 を参照すべし．．従って, 平均値は次となる：

式 (34.1) の第2項, 第3項のような平均量は, 次の公式たちによって計算される(L.Pauling and E.Wilson§21c を見よ)：
\begin{align*}
\overline{r^{-1}}&=\frac{Z}{a_0 n^{2}}=\frac{me^{2}Z}{\hbar^{2}n^{2}},\qquad
\overline{r^{-2}}=\frac{Z^{2}}{a_0^{2}n^{3}(l+1/2)}=\frac{(me^{2}Z)^{2}}{\ds{\hbar^{4}n^{3}\bigl(l+1/2\bigr)}},\\
\overline{r^{-3}}&=\frac{Z^{3}}{a_0^{3}n^{3}l(l+1/2)(l+1)}=\frac{(me^{2}Z)^{3}}{\ds{\hbar^{6}n^{3}l\,(l+1)\bigl(l+1/2\bigr)}},
\qquad a_0=\frac{\hbar^{2}}{me^{2}}
\tag{34.2}
\end{align*}
ただし \(a_0\) は「ボーア半径」であり, また最後の式は \(l\ne0\) のときに成り立つ．また, 固有値は \(\mb{J}^{2}=(\mb{L}+\mb{S})^{2}\) から得られる次の公式によって計算される：

最後に, 第３項の平均は次の公式を用いて遂行される：

ただしこれは, シュレディンガー方程式の解
\begin{align*}
\psi_{1s}&=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}e^{-\sigma},\quad
\psi_{2s}=\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}(2-\sigma)e^{-\sigma/2},\\
\psi_{3s}&=\frac{1}{81\sqrt{3\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}(27-18\sigma+2\sigma^{2})e^{-\sigma/3},
\quad \dotsb,\quad \mathrm{with}\quad \sigma=\frac{Z}{a_0}r
\end{align*}
によるものである．しかしJ.J.Sakuraiの §3.8 によれば,「ディラック理論による基底状態の波動関数は,
\begin{align*}
\psi_{gd}&=\frac{N}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}e^{-Zr/a_0}
\times\left(\frac{Zr}{a_0}\right)^{\sqrt{1-(Z\alpha)^{2}}-1}\begin{pmatrix}
\chi^{(s)} \\ \ds{\frac{i\left(1-\sqrt{1-(Z\alpha)^{2}}\right)}{Z\alpha}\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{x})}{r}\chi^{(s)}}
\end{pmatrix},
\end{align*}
ただし \(\alpha\) は「微細構造定数」,そして \(\chi^{(s)}\) は Pauliスピノルであり \(j_{3}=1/2\) か \(j_3=-1/2\) かに依存して

となる．また, 規格化定数 \(N\) は \(\Gamma(x)\) をガンマ関数として次である：

この \(N\) は \(Z\alpha\to0\) のとき \(1\) に近づき, 更に \((Zr/a_0)^{\sqrt{1-(Z\alpha)^{2}}-1}\) は, 次のオーダーの距離

を除いて本質的に \(1\) であることに注意すべきである．\(r\to0\) のとき \(\psi\) は穏やかな特異性を示す．しかし, それは学術的な興味に過ぎない．なぜなら, 短距離での波動関数は原子核の有限な電荷分布のために修正されるはずだからである．従って, 小さな \(Z\) の水素様原子の基底状態の場合, 上方の2成分波動関数は本質的に”シュレディンガー波動関数に Pauliスピノルを掛け合わせたもの”と言える」．
式 (34.1) に於ける各摂動項の「非相対論的状態での平均値」を順番に計算して行こう．
まず第1項目の平均は,
\begin{align*}
\left\langle -\frac{\hat{\mb{p}}^{4}}{8m^{3}c^{2}} \right\rangle
&=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\times \overline{\mb{p}^{4}}
=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\times 4m^{2}\overline{\left(E_0 +\frac{Ze^{2}}{r}\right)^{2}}\\
&=-\frac{1}{2mc^{2}}\overline{\left(-\frac{Z^{2}me^{4}}{2\hbar^{2}n^{2}} +\frac{Ze^{2}}{r}\right)^{2}}\\
&=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(Z^{2}e^{4}\overline{r^{-2}}-\frac{mZ^{3}e^{6}}{\hbar^{2}n^{2}}\overline{r^{-1}}
+\frac{m^{2}Z^{4}e^{8}}{4\hbar^{4}n^{4}}\right)\\
&=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(\frac{m^{2}e^{8}Z^{4}}{\hbar^{4}n^{3}\left(l+1/2\right)}
-\frac{m^{2}Z^{4}e^{8}}{\hbar^{4}n^{4}}+\frac{m^{2}Z^{4}e^{8}}{4\hbar^{4}n^{4}}\right)\\
&=-\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{l+1/2}-\frac{3}{4n}\right)
\tag{1}
\end{align*}
第２項目すなわち「Thomas項」の平均は,
\begin{align*}
\left\langle\frac{Ze^{2}}{2m^{2}c^{2}r^{3}}\hat{\mb{S}}\cdot\hat{\mb{L}}\right\rangle
&=\frac{Ze^{2}}{2m^{2}c^{2}}\,\overline{r^{-3}}\times \frac{\hbar^{2}}{2}
\left[j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}\right]\\
&=\frac{Ze^{2}}{2m^{2}c^{2}}\times\frac{(me^{2}Z)^{3}}{\hbar^{6}n^{3}l\,(l+1)(l+1/2)}
\times \frac{\hbar^{2}}{2}\left[j(j+1)-l(l+1)-\frac{3}{4}\right]\\
&=\frac{mZ^{4}e^{8}}{4\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\times\frac{j(j+1)-l(l+1)-3/4}{l\,(l+1)(l+1/2)}
\end{align*}
ただし, この「Thomas項」は S状態 \((l=0)\) のときにはゼロになってしまう．それ以外 \((l\ne0)\) の場合では, \(j\) の値は \(j=l+1/2\) または \(j=j-1/2\) のみを取るから,

従って,
\begin{align*}
\left\langle\frac{Ze^{2}}{2m^{2}c^{2}r^{3}}\hat{\mb{S}}\cdot\hat{\mb{L}}\right\rangle
&=\begin{cases}
\ds{+\frac{mZ^{4}e^{8}}{4\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\frac{1}{(l+1)(l+1/2)}} & \ :\ \ds{j=l+\frac{1}{2}} \\
\ds{-\frac{mZ^{4}e^{8}}{4\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\frac{1}{l(l+1/2)}} & \ :\ \ds{j=l-\frac{1}{2}}
\end{cases}
\tag{2}
\end{align*}
第3の項すなわち最後の項はS状態以外 (\(l\ne0\)) ではゼロになってしまう：
\begin{align*}
\left\langle\frac{\pi Ze^{2}\hbar^{2}}{2m^{2}c^{2}}\delta(\mb{r})\right\rangle
&=\int \psi^{*}(r)\frac{\pi Ze^{2}\hbar^{2}}{2m^{2}c^{2}}\delta(\mb{r})\,\psi(r)\,dV
=\frac{\pi Ze^{2}\hbar^{2}}{2m^{2}c^{2}}|\psi(0)|^{2}\\
&=\begin{cases}
\ds{\frac{\pi Ze^{2}\hbar^{2}}{2m^{2}c^{2}}\times \frac{1}{\pi}\left(\frac{Zme^{2}}{\hbar n}\right)^{3}
=\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{2}c^{2}n^{3}}} & \ : l=0 \\
0 & \ : l\ne 0
\end{cases}
\tag{3}
\end{align*}
以上の結果をまとめる．まず S状態 \((l=0)\) の場合では, 式 (1) と式 (3) を足し合わせて次となる：

これは \(j=1/2\) とすれば, 次のように書くことが出来ることに注意する：

次に S状態以外 \((l\ne0)\) を考えると, 式 (1) と式 (2) を足し合わせて次となる：
まず \(j=l+1/2\) の場合すなわち \(l=j-1/2\) の場合には,
\begin{align*}
\Delta E_{(j=l+1/2)} &= -\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{l+1/2}-\frac{3}{4n}\right)
+\frac{mZ^{4}e^{8}}{4\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\frac{1}{(l+1)(l+1/2)}\\
&=-\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{l+1}-\frac{3}{4n}\right)
=-\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{j+1/2}-\frac{3}{4n}\right)
\end{align*}
また \(j=l-1/2\) の場合すなわち \(l=j+1/2\) の場合には,
\begin{align*}
\Delta E_{(j=l-1/2)} &= -\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{l+1/2}-\frac{3}{4n}\right)
-\frac{mZ^{4}e^{8}}{4\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\frac{1}{l(l+1/2)}\\
&=-\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{l}-\frac{3}{4n}\right)
=-\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{j+1/2}-\frac{3}{4n}\right)
\end{align*}
つまり \(j=l\pm1/2\) の両方の場合が, 同じ表現として表せることが分かる：

以上の結果式 (4) と式 (5) とから, あらゆる \(j\) 及び \(l\) の場合で, 結果は同じ形に表せることが分かる：
\begin{align*}
\Delta E= \langle \hat{V}\rangle
&=-\frac{mZ^{4}e^{8}}{2\hbar^{4}c^{2}n^{3}}\left(\frac{1}{j+1/2}-\frac{3}{4n}\right)\\
&=\frac{E_{0}(Z\alpha)^{2}}{n}\left(\frac{1}{j+1/2}-\frac{3}{4n}\right),\quad
E_0=-\frac{Z^{2}e^{2}}{2a_0 n^{2}}=-\frac{Z^{2}me^{4}}{2\hbar^{2}n^{2}}
\tag{6}
\end{align*}
ただし \(\alpha\) は「微細構造定数」, そして \(a_0\) は「ボーア半径」である：
\begin{align*}
\alpha&=\frac{e^{2}}{\hbar c}=0.0072973525643(11),\quad \frac{1}{\alpha}=137.04\\
a_0&=\frac{\hbar^{2}}{me^{2}}=5.292\times 10^{-9}\,\mathrm{cm}
\end{align*}

〈 (2)の解答例 〉\(\mb{A}\) と \(\phi\) が時間依存するとして, 式 (12-5) 以降を修正して行く．
式 (12-5) の第3項は, 公式 (F1) に於いて \(A=\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}\) そして \(B=(W-V)\) とした

を用いることが出来る．従って, 式 (12-5) は次となる：
\begin{align*}
(W-V)\,\chi
&=\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\chi-\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{8m^{3}c^{2}}\chi
+\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\left[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,
\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]\right]\chi
\tag{12-5}
\end{align*}
今度は \(W=i\hbar\partial/\partial t\) とし \(\mb{A}\) は時間依存するのであるから, この式 (7) は修正して行かなければならない．まず, 演算子の後ろには位置 \(\mb{x}\) と時間 \(t\) の関数 \(\chi(\mb{x},t)\) が存在することを考慮すると,
\begin{align*}
\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]
&=\left[\mb{\sigma}\cdot\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right),\,(W-V)\right]\\
&=\left[\mb{\sigma}\cdot\mb{p},\,(W-V)\right]-\frac{e}{c}\left[\mb{\sigma}\cdot\mb{A},\,(W-V)\right],\\
\mathrm{where}\quad \left[\mb{\sigma}\cdot\mb{p},\,(W-V)\right]&=\mb{\sigma}\cdot\mb{p}(W-V)-(W-V)\mb{\sigma}\cdot\mb{p}\\
&=\cancel{\mb{\sigma}\cdot\mb{p}W}-\mb{\sigma}\cdot\mb{p}V-\bcancel{V\mb{\sigma}\cdot\mb{p}}-\cancel{W\mb{\sigma}\cdot\mb{p}}
+\bcancel{V\mb{\sigma}\cdot\mb{p}}\\
&=-\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}V),\\
\left[\mb{\sigma}\cdot\mb{A},\,(W-V)\right]&=\mb{\sigma}\cdot\mb{A}(W-V)-(W-V)\mb{\sigma}\cdot\mb{A}\\
&=\cancel{\mb{\sigma}\cdot\mb{A}W}-\bcancel{\mb{\sigma}\cdot\mb{A}V}-\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A})
-\cancel{\mb{\sigma}\cdot\mb{A}W}+\bcancel{V\mb{\sigma}\cdot\mb{A}}\\
&=-\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A}),\\
\therefore\quad
\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]&=-\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}V)+\frac{e}{c}\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A})
\tag{8}
\end{align*}
である．すると, 式 (7) は
\begin{align*}
\left[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]\right]
&=\left[\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi},\,-\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}V)+\frac{e}{c}\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A})\right]\\
&=-\bigl[\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi},\,\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}V)\bigr]
+\frac{e}{c}\bigl[\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi},\,\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A})\bigr]
\tag{9}
\end{align*}
このとき, 公式 (F2) から
\begin{align*}
&\bigl[\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi},\,\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}V)\bigr]
=(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot\mb{p}V)-(\mb{\sigma}\cdot\mb{p}V)(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\\
&\quad =\mb{\pi}\cdot\mb{p}V+i\mb{\sigma}\cdot(\mb{\pi}\times\mb{p}V)-(\mb{p}V)\cdot\mb{\pi}
-i\mb{\sigma}\cdot\bigl\{(\mb{p}V)\times\mb{\pi}\bigr\}\\
&\quad =\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\cdot(\mb{p}V)-(\mb{p}V)\cdot\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
+i\mb{\sigma}\cdot\left\{\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times(\mb{p}V)\right\}
-i\mb{\sigma}\cdot\left\{(\mb{p}V)\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\right\}\\
&\quad =\mb{p}\cdot(\mb{p}V)+\cancel{(\mb{p}V)\cdot\mb{p}}-\cancel{\frac{e}{c}\mb{A}\cdot(\mb{p}V)}
-\cancel{(\mb{p}V)\cdot\mb{p}}+\cancel{\frac{e}{c}(\mb{p}V)\cdot\mb{A}}
+i\mb{\sigma}\cdot\left\{\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times\mb{p}V
-(\mb{p}V)\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\right\}\\
&\quad =\mb{p}\cdot(\mb{p}V)+i\mb{\sigma}\cdot\left\{\cancel{\mb{p}\times\mb{p}V}-(\mb{p}V)\times\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\times(\mb{p}V)
-(\mb{p}V)\times\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\times(\mb{p}V)\right\}\\
&\quad =\mb{p}\cdot(\mb{p}V)+2i\mb{\sigma}\cdot\left\{\mb{p}\times(\mb{p}V)-\frac{e}{c}\mb{A}\times(\mb{p}V)\right\}
=\mb{p}\cdot(\mb{p}V)+2i\mb{\sigma}\cdot\left\{\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times\mb{p}V\right\}
\tag{10}
\end{align*}
同様にして,
\begin{align*}
&\bigl[\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi},\,\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A})\bigr]
=(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})(\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A}))-(\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A}))(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})\\
&\quad =\mb{\pi}\cdot(W\mb{A})+i\mb{\sigma}\cdot\bigl\{\mb{\pi}\times(W\mb{A})\bigr\}
-(W\mb{A})\cdot\mb{\pi}-i\mb{\sigma}\cdot\bigl\{(W\mb{A})\times\mb{\pi}\bigr\}\\
&\quad =\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\cdot(W\mb{A})
+i\mb{\sigma}\cdot\left\{\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times(W\mb{A})\right\}
-(W\mb{A})\cdot\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
-i\mb{\sigma}\cdot\left\{(W\mb{A})\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\right\}\\
&= \mb{p}\cdot(W\mb{A})+\cancel{(W\mb{A})\cdot\mb{p}}-\cancel{\frac{e}{c}\mb{A}\cdot(W\mb{A})}
-\cancel{(W\mb{A})\cdot\mb{p}}+\cancel{\frac{e}{c}(W\mb{A})\cdot\mb{A}}\\
&\qquad\qquad\quad +i\mb{\sigma}\cdot\left\{\mb{p}\times(W\mb{A})-(W\mb{A})\times\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\times(W\mb{A})
-(W\mb{A})\times\mb{p}+\frac{e}{c}(W\mb{A})\times\mb{A}\right\}\\
&=\mb{p}\cdot(W\mb{A})+i\mb{\sigma}\cdot\left\{\mb{p}\times(W\mb{A})
-2(W\mb{A})\times\mb{p}+2(W\mb{A})\times\frac{e}{c}\mb{A}\right\}\\
&= \mb{p}\cdot(W\mb{A})+i\mb{\sigma}\cdot\left\{\mb{p}\times(W\mb{A})
-2(W\mb{A})\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\right\}
\tag{11}
\end{align*}
式 (10) と式 (11) から, 式 (9) は,
\begin{align*}
&\left[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,\bigl[(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi}),\,(W-V)\bigr]\right]
=-\bigl[\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi},\,\mb{\sigma}\cdot(\mb{p}V)\bigr]
+\frac{e}{c}\bigl[\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi},\,\mb{\sigma}\cdot(W\mb{A})\bigr]\\
&\quad =-\mb{p}\cdot(\mb{p}V)-2i\mb{\sigma}\cdot\left\{\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times\mb{p}V\right\}
+\frac{e}{c}\mb{p}\cdot(W\mb{A})
+i\frac{e}{c}\mb{\sigma}\cdot\left\{\mb{p}\times(W\mb{A})-2(W\mb{A})\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\right\}\\
&\quad = -\mb{p}\cdot(\mb{p}V)+\frac{e}{c}\mb{p}\cdot(W\mb{A})
+i\mb{\sigma}\cdot\left\{\frac{e}{c}\mb{p}\times(W\mb{A})-2\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times(\mb{p}V)
+2\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times\frac{e}{c}(W\mb{A})\right\}\\
&\quad =-\mb{p}\cdot\left\{(\mb{p}V)-\frac{e}{c}(W\mb{A})\right\}
+i\mb{\sigma}\cdot\left[\frac{e}{c}\mb{p}\times(W\mb{A})-2\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times
\left\{(\mb{p}V)-\frac{e}{c}(W\mb{A})\right\}\right]
\tag{12}
\end{align*}
従って, 式 (12-5) は次となる：
\begin{align*}
(W-V)\,\chi&=\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{2}}{2m}\chi
-\frac{(\mb{\sigma}\cdot\mb{\pi})^{4}}{8m^{3}c^{2}}\chi
-\frac{1}{8m^{2}c^{2}}\mb{p}\cdot\left\{(\mb{p}V)-\frac{e}{c}(W\mb{A})\right\}\,\chi\\
&\quad +\frac{1}{8m^{2}c^{2}}i\mb{\sigma}\cdot\left[\frac{e}{c}\mb{p}\times(W\mb{A})-2\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times
\left\{(\mb{p}V)-\frac{e}{c}(W\mb{A})\right\}\right]\chi
\tag{13}
\end{align*}
ここで \(V=e\phi\) とし, 式中の量に \(\mb{p}=-i\hbar\nabla\) と \(W=i\hbar\partial/\partial t\) を代入してみる．電場 \(\mb{E}\) はポテンシャルを用いて \(\displaystyle\mb{E}=-\frac{1}{c}\ppdiff{\mb{A}}{t}-\nabla\phi\) と表せるから,
\begin{align*}
(\mb{p}V)-\frac{e}{c}(W\mb{A})&=-i\hbar\nabla V -\frac{e}{c}\left(i\hbar\pdiff{t}\mb{A}\right)
=-i\hbar \nabla e\phi -i\hbar\frac{e}{c}\ppdiff{\mb{A}}{t}
=ie\hbar \left(-\frac{1}{c}\ppdiff{\mb{A}}{t}-\nabla \phi\right)\\
&=ie\hbar\,\mb{E}
\tag{14}
\end{align*}
同様にして,
\begin{align*}
\frac{e}{c}\mb{p}\times(W\mb{A})&=\frac{e}{c}\mb{p}\times\left(i\hbar\ppdiff{\mb{A}}{t}\right)
=-ie\hbar\mb{p}\times\left(-\frac{1}{c}\ppdiff{\mb{A}}{t}\right)
=-ie\hbar\mb{p}\times \bigl(\mb{E}+\nabla\phi\bigr)\\
&=-ie\hbar\cdot(-i\hbar\nabla)\times\mb{E}-ie\hbar\cdot(-i\hbar\nabla)\times\nabla\phi\\
&=-e\hbar^{2}\nabla\times\mb{E}-\cancel{e\hbar^{2}\nabla\times\nabla \phi}
=-e\hbar^{2}\nabla\times \mb{E}
\end{align*}
また \(\displaystyle \mathrm{rot}\,\mb{E}=\nabla\times\mb{E}=-\frac{1}{c}\ppdiff{\mb{H}}{t}\) である．従って,

であることが分かる．よってこの場合, 本文の式 (12.6) は次のように修正される：
\begin{align*}
W\chi &=\left[V+\frac{1}{2m}\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}-\frac{e\hbar}{2mc}\mb{\sigma}\cdot\mb{H}
-\frac{\mb{p}^{4}}{8m^{3}c^{2}} -\frac{ie\hbar}{8m^{2}c^{2}}\mb{p}\cdot\mb{E}\right.\\
&\qquad \left. +\frac{1}{8m^{2}c^{2}}i\mb{\sigma}\cdot\left\{\frac{e\hbar^{2}}{c}\ppdiff{\mb{H}}{t}
-2ie\hbar\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)\times\mb{E}\right\}\right]\chi \\
&=\left[V+\frac{1}{2m}\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)^{2}-\frac{e\hbar}{2mc}\mb{\sigma}\cdot\mb{H}-\frac{\mb{p}^{4}}{8m^{3}c^{2}}\right.\\
&\qquad \left. -\frac{e\hbar^{2}}{8m^{2}c^{2}}\nabla\cdot\mb{E}-\frac{e\hbar}{4m^{2}c^{2}}\mb{\sigma}\cdot \mb{E}\times\left(\mb{p}-\frac{e}{c}\mb{A}\right)
+\frac{ie\hbar^{2}}{8m^{2}c^{3}}\mb{\sigma}\cdot\ppdiff{\mb{H}}{t}\right]\chi
\tag{16}
\end{align*}
すなわち, 最後の項だけが付加することが分かる：