前ブログ記事「電磁波の放射について」の続きとして D.Jackson (1st Edition) の § 13.2 の抜粋 及び ランダウ=リフシッツの § 71 の抜粋を示しておこう.
調和振動子としての束縛電荷へのエネルギー転移
荷電粒子による光波の散乱が起こった場合の, エネルギー即ち運動エネルギー
電磁場中の電荷
及び, ベクトル解析の式から
この等式の右辺は, 単位時間の間に場が荷電粒子に対して成す仕事である.仕事をするのは電場成分だけである.磁場はその中を運動する電荷に対して仕事をしない.これは磁場が電荷に及ぼす力が常に電荷の速度に直交していることに基づくのである.従って, 電子
この右辺に, 前ブログ記事の
ここで, デルタ関数の定義式の一つから,
これを上式の最後の部分に用いる.するとデルタ関数の性質から
このとき,
また, 複素数
更に, 式中の
上式中の積分の値は
この結果は,「外電磁場による非相対論的な振動子へのエネルギー転移を与える一般的な式」である.
ドップラー効果
波数ベクトルの定義に立ち返り, 次の成分を持つ波数4元ベクトルを導入する:
これらの量が実際に 4元ベクトルを作ることは, 4元ベクトル
となることから明らかであろう.波数ベクトルの定義
波数4元ベクトルの変換則を使うと, 所謂ドップラー効果, すなわち観測者に対して「運動している光源」から出る波の振動数
これに
これが求める公式である.
更に, もし角度
であり, この場合, 振動数の相対的変化は, 比
上記の事柄を利用して, 次の D.Bohm :「量子論」の第2章にある 問題 4 を考えてみよう:
問題 4 : 最初静止していた電子に強さ
, 波長 の光線を 時間に当てたとする.非相対論的理論 に於ける Doppler 変移は,
であることを示せ.また, これは次に等しいことも示してみよ:
ただしは入って来る光ビームから得られる全エネルギーとする.
【 解答例 】 まずこの場合には, 速度
ただし仮定から
この両辺に
また
この関係を上式(24)に代入すれば式(21)も得られる: