「遷移要素」は 「”遷移” 行列の”要素”」の一般化だ ! ?


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第7章は, その表題が示す通り,「遷移要素」について述べている章である.しかし, この「遷移要素」は一般の量子力学の教科書にはあまり書かれていない量で, 少し分かりづらいと感じるものであった.そこで, 遷移振幅を第4章の§ 4-2 の説明に従ってもう一度考えて見る.また,「遷移要素」は第6章の式 (6-71) で定義される「行列要素」, または L. Schiff の§ 37 に書かれている「遷移行列」或いは「T-行列」の要素 に相当することを見て行こう.


 

【 A 】 第 4 章の §4-2 時間に依存しないハミルトニアン の説明に従って, この遷移振幅を考えて見る.
波動関数 \(f(x)\) を定常状態関数の1次結合として表わす:

\begin{equation}
\def\bra#1{\langle #1 |}
\def\ket#1{| #1 \rangle}
\def\BraKet#1#2#3{\langle #1 | #2 | #3 \rangle}
\def\BK#1#2{\langle #1 | #2 \rangle}
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\,\phi_n(x)
\tag{4-48}
\end{equation}

この係数 \(a_n\) は一般に「確率振幅」と呼ばれる.それは, 次のようにして容易に求めることが出来る:
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi_m^{*}(x)\,f(x)
&=\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi_m^{*}(x)\,\sum_{n=1}^{\infty} a_n\,\phi_n(x)\notag\\
&=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\,\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi_m^{*}(x)\,\phi_n(x)
=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\,\delta_{m,n}=a_m, \notag\\
\text{therefore}\quad a_n &=\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi_n^{*}(x)\,f(x)
\tag{4-50}
\end{align}

\(f(x)\) が時刻 \(t_1\) に於いて知られている波動関数である場合に, 時刻 \(t_2\) に於ける波動関数はどうなるかを考えてみる.任意の時刻 \(t\) に於ける波動関数は, シュレディンガー方程式の任意解として
\begin{equation}
\psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n\,e^{-iE_n t/\hbar}\,\phi_n(x)
\tag{4-53}
\end{equation}

と表される.従って, 時刻 \(t_1\) に於ける波動関数は次となる:
\begin{equation}
f(x)=\psi(x,t_1)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n\,e^{-iE_n t_1/\hbar}\,\phi_n(x)
\equiv \sum_{n=1}^{\infty} a_n\,\phi_n(x)
\tag{4-54}
\end{equation}

このとき \(c_n\) は
\begin{equation}
c_n = a_n\,e^{iE_n t_1/\hbar}
\tag{4-55}
\end{equation}

従って, 時刻 \(t_2\) に於ける波動関数 \(\psi(x,t_2)\) は次となる:
\begin{align}
\psi(x,t_2)&=\sum_{n=1}^{\infty} c_n\,e^{-iE_n t_2/\hbar}\,\phi_n(x)
=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\,e^{iE_n t_1/\hbar}\,e^{-iE_n t_2/\hbar}\,\phi_n(x)\notag\\
&=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\,e^{-iE_n (t_2-t_1)/\hbar}\,\phi_n(x)
\tag{4-56}
\end{align}

更に, \(a_n\) として式 (4-50) を用いるならば次となる:
\begin{align}
\psi(x,t_2)&=\sum_{n=1}^{\infty} a_n\,e^{iE_n t_1/\hbar}\,e^{-iE_n t_2/\hbar}\,\phi_n(x)
=\sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty}dy\,\phi_n^{*}(y)\,f(y)\right) \,
e^{-iE_n(t_2-t_1)/\hbar}\,\phi_n(x) \notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}dy\,
\left\{ \sum_{n=1}^{\infty}\phi_n(x)\,\phi_n^{*}(y)\,e^{-iE_n(t_2-t_1)/\hbar}\right\}\,f(y) \notag\\
&\equiv \int_{-\infty}^{\infty}dy\,K(x,t_2; y,t_1)\,f(y)
\tag{4-58}
\end{align}

ただし核 \(K(x,t_2; y,t_1)\) は次である:
\begin{align}
K(x,t_2; y,t_1)&=\sum_{n=1}^{\infty}\phi_n(x)\,\phi_n^{*}(y)\,e^{-iE_n(t_2-t_1)/\hbar},\quad
\text{where}\quad t_2 > t_1
\tag{4-59}\\
& = 0,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{otherwise}\notag
\end{align}

以上を元に,「始状態 \(\psi\) および終状態 \(\chi\) が, 次式のような “エネルギー固有関数を重ね合わせた一般的な状態” とした場合に, 遷移振幅 \(\BraKet{\chi}{1}{\psi}\) がどう表されるか」を調べてみる:
\begin{align}
\psi(x_1,t_1)&=\sum_n a_n\phi_n(x_1)=\sum_n c_n\,e^{-iE_n t_1/\hbar}\,\phi_n(x_1),\quad
c_n=a_n\,e^{iE_n t_1/\hbar}\notag\\
\chi(x_2,t_2)&=\sum_m b_m \phi_m(x_2)=\sum_m d_m\,e^{-iE_m t_2/\hbar}\,\phi_m(x_2),\quad
d_m^{*}=b_m^{*}\,e^{-iE_m t_2/\hbar}
\tag{1}
\end{align}

核 \(K(2,1)\) として上式 (4-59) を用いると,
\begin{align}
\BraKet{\chi}{1}{\psi}&=\int_{-\infty}^{\infty}dx_2\,\chi^{*}(x_2,t_2)\psi(x_2,t_2)\notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}dx_2\int_{-\infty}^{\infty}dx_1\,\chi^{*}(x_2,t_2)K(2,1)\psi(x_1,t_1)\notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}dx_2\int_{-\infty}^{\infty}dx_1\,\left(
\sum_m d_m^{*}\,e^{iE_m t_2/\hbar}\,\phi_m^{*}(x_2)\right)
\left(\sum_{k=1}^{\infty}\phi_k(x_2)\,\phi_k^{*}(x_1)\,e^{-iE_k(t_2-t_1)/\hbar} \right)\notag\\
&\quad \times \left( \sum_n c_n\,e^{-iE_n t_1/\hbar}\,\phi_n(x_1)\right)\notag\\
&=\sum_m \sum_n\sum_k d_m^{*}\,c_n\,e^{iE_m t_2/\hbar}\,e^{-iE_k(t_2-t_1)/\hbar}\,e^{-iE_n t_1/\hbar}\notag\\
&\quad \times \int dx_2\,\phi^{*}_m(x_2)\phi_k(x_2)\int dx_1\,\phi_k^{*}\phi_n(x_1)\notag\\
&=\sum_m \sum_n\sum_k d_m^{*}\,c_n\,e^{iE_m t_2/\hbar}\,e^{-iE_k(t_2-t_1)/\hbar}\,e^{-iE_n t_1/\hbar}
\,\delta_{m\,k}\,\delta_{k\,n}\notag\\
&=\sum_k d^{*}_k\,c_k =\sum_k b_k^{*}\,a_k\,e^{-iE_k(t_2-t_1)/\hbar}
\tag{2}
\end{align}

この結果は, 遷移振幅を数学的に表現するならば,「状態ベクトル \(\ket{\psi}\) と特性関数または状態ベクトル \(\ket{\chi}\) との内積である」こと を示している:
\begin{align}
\BK{\chi}{\psi}&=\BraKet{\chi}{1}{\psi}=\int_{-\infty}^{\infty}dx_2\,\chi^{*}(x_2)\,\psi(x_2)
=\sum_k d^{*}_k\,c_k =\sum_k b^{*}_k a_k\,e^{-iE_k(t_2-t_1)/\hbar}\notag\\
&=d_1^{*}\,c_1 + d_2^{*}\,c_2 + \dotsb + d_n\,c_n + \dotsb \\
&=b_1^{*}\,a_1\,e^{-iE_1(t_2-t_1)/\hbar} + b_2^{*}\,a_2\,e^{-iE_2(t_2-t_1)/\hbar}
+ \dotsb + b_n^{*}\,a_n\,e^{-iE_n(t_2-t_1)/\hbar} + \dotsb
\tag{3}
\end{align}

また, 特別な場合として問題 6-15 の「始状態と終状態が共に特定なエネルギー固有状態 \(\phi_m(x)\) と \(\phi_n(x)\) である場合」の遷移振幅 \(\lambda_{mn}\) は, 上式で \(a_n=1,\,b_m=1\) とすればよく, その結果はゼロ次の \(\lambda_{mn}\) となる:
\begin{equation*}
\BraKet{\phi_m}{1}{\phi_n}=\delta_{m\,n}\,e^{-iE_n(t_2-t_1)/\hbar}=\lambda_{mn}^{(0)}
\end{equation*}

【 B 】 ある物理量 \(\hat{F}\) の行列要素は次で表わすことが出来た:

\begin{equation}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
F_{ij}=\BraKet{\psi_i}{F}{\psi_j}\equiv \int d\mb{q}\,\psi_i^{*}(\mb{q})\hat{F}\psi_j(\mb{q})
\tag{a}
\end{equation}

また, 状態 \(\ket{a^{‘}}\) から状態 \(\ket{b^{‘}}\) へ移行する「遷移振幅」, すなわち, ある物理系が始状態 1 で観測量 \(A\) の固有値 \(a^{‘}\) の固有状態にあり, 終状態 2 で観測量 \(B\) の固有値 \(b^{‘}\) の固有状態にある確率振幅は, 時間発展演算子を \(\mathscr{U}\) として次で表された:
\begin{equation}
\BraKet{b^{‘}}{\mathscr{U}(t_2,t_1)}{a^{‘}}=
\begin{cases}
\quad\BK{b^{‘}}{a^{‘},t_2}=\underbrace{\bra{b^{‘}}}_{\text{basic bra}}\cdot
\underbrace{\mathscr{U}(t_2,t_1)\ket{a^{‘}}}_{\text{state ket}} & \text{: Schrödinger 表示}\\
\quad\BK{b^{‘},t_2}{a^{‘}}=\underbrace{\bra{b^{‘}}\mathscr{U}(t_2,t_1)}_{\text{basic bra}}\cdot
\underbrace{\ket{a^{‘}}}_{\text{state ket}} & \text{: Heisenberg 表示}
\end{cases}
\tag{b}
\end{equation}

ただし, ハイゼンベルク表示のブラ \(\bra{b^{‘},t_2}\) は, 時間を “逆向きに” 動いて行って, 時刻 \(t_1\) に戻ったときに \(\ket{b^{‘},t_1}\) となるケット \(\ket{b^{‘},t_2}\) に対応するブラである:
\begin{equation*}
\ket{b^{‘},t_1}=\mathscr{U}(t_1,t_2)\ket{b^{‘},t_2}=\mathscr{U}^{-1}(t_2,t_1)\ket{b^{‘},t_2}
=\mathscr{U}^{\dagger}(t_2,t_1)\cdot\mathscr{U}(t_2,t_1)\ket{b^{‘},t_1}
\end{equation*}

さらに 終状態の波動関数 \(\psi(x_2,t_2)\) は, プロパゲーター \(K(2,1)\) を用いて次で表せた:
\begin{equation}
\psi(x_2,t_2)=\int dx_1\,K(x_2,t_2;x_1,t_1)\psi(x_1,t_1)
\tag{c}
\end{equation}

従って, 始状態で \(\psi\) にある系が, 時刻 \(t_2\) で状態 \(\chi(x_2)\) に存在する「遷移振幅」は,
\begin{align}
\BK{\chi(x_2)}{\psi(x_2)}&=\BraKet{\chi(x_2)}{\mathscr{U}(2,1)}{\psi(x_1)}
=\BraKet{\chi}{\mathscr{U}(2,1)}{\psi}\notag\\
&=\BraKet{\chi}{1}{\psi}=\iint dx_2dx_1\,\chi^{*}(x_2)\,K(2,1)\,\psi(x_1)\notag\\
&=\iint dx_2dx_1\,\chi^{*}(x_2) \int_1^{2} \mathscr{D}x(t)\,e^{iS[2,1]/\hbar}\,\psi(x_1)
\tag{d}
\end{align}

このとき, プロパゲーター \(K(2,1)\) は作用積分 \(S\) を伴う経路積分で表わすことを考えるのであった.そこで, 以上の式 (a) と式 (d) を踏まえて「物理量 \(F\) の遷移行列要素」は次で表わすとしたのであろう:
\begin{equation}
\langle F \rangle_S\equiv \BraKet{\chi}{F}{\psi}_S=\int dx_2\int dx_1\,\chi^{*}(x_2)\,
\int_{x_1}^{x_2}\mathscr{D}x(t)\,F[x(t)]e^{iS/\hbar}\,\psi(x_1)
\tag{e}
\end{equation}

これを「ディラック流の表現」で言うならば, 次のようになるであろう.

\(\bra{\chi}\) 及び \(\ket{\psi}\) が「基礎ブラ」及び「基礎ケット」である場合には, この遷移要素 \(\langle F \rangle\) は「1次演算子または力学変数 \(F\) の”代表 (representative)”」すなわち「1次演算子 \(F\) の行列要素」と言える:

\begin{align}
\langle F \rangle_S=\BraKet{\chi}{F}{\psi}&=\bra{\chi}\int dx_2\,\ket{x_2}\bra{x_2}\,F\int dx_1\,\ket{x_1}
\BK{x_1}{\psi}\notag\\
&=\int dx_2\int dx_1\,\BK{\chi}{x_2}\BraKet{x_2}{F}{x_1}\BK{x_1}{\psi}\notag\\
&=\int dx_2\int dx_1\,\chi^{*}(x_2)\BraKet{x_2}{F}{x_1}\psi(x_1)
\tag{f}
\end{align}

式 (e) と式 (f) との比較から, 力学変数 \(F\) の「位置ケットによる代表」を経路積分で表わすと, 次のようになると言えるだろう:

\begin{equation}
\BraKet{x_2}{F}{x_1}=\int_{x_1}^{x_2}\mathscr{D}x(t)\,F[x(t)]e^{iS/\hbar}
\tag{g}
\end{equation}

【 C 】 「遷移要素 \(\BraKet{\chi}{F}{\psi}\) は \(F\) の行列要素である」ことは, 後の本文中にある式 (7-13) からも言えることである:

\begin{align}
&\BraKet{\chi}{\int dt\,V[x(t),t]\,}{\psi}_{S_0}=\int dx_3\int dt_3\,\chi^{*}(3)\,V(3)\,\psi(3)
\tag{7-13}\\
&\rightarrow\quad \BraKet{\chi}{V[x(t),t]}{\psi}_{S_0}=\int dx_3\,\chi^{*}(3)\,V(3)\,\psi(3)\notag
\end{align}

従って, 遷移要素 \(\BraKet{\chi}{F}{\psi}\) は, 式 (6-71) で定義される「状態 \(\chi=\phi_m\) と状態 \(\psi=\phi_n\) の間の \(F\) の行列要素 \(F_{mn}\)」である と言える:
\begin{align*}
\BraKet{\chi}{F}{\psi}&=F_{\chi\psi}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\chi^{*}(x)\,F[x(t),t]\,\psi(x)\\
&=F_{mn}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\phi^{*}_m(x)\,F(x,t)\,\phi_n(x)
\end{align*}

ファインマンは, 1948年の論文:「Space-time Approach to Non-relativistic Quantum Mechanics」の中で次のように述べている:

ここでは2つの状態間の「遷移要素」と呼ばれる量を定義する.これは本質的には行列要素である.しかし, 行列要素では状態 \(\psi\) と「同じ時間」の別の状態 \(\chi\) を考えるが, 遷移要素の2つの状態は「異なる時間」に属するものとする.

\begin{equation*}
\cdot\quad \cdot\quad \cdot
\end{equation*}

\(F\) を \(t’ < t_{i} < t''\) に於ける座標 \(x_i\) の任意関数とすると, 作用 \(S\) で \[1]x'' \equiv x_j,x'\equiv x_0)\) としたとき, \(t'\) に於ける状態 \(\psi\) と \(t''\) に於ける状態 \(\chi\) の間の「遷移要素」 \(F\) … Continue reading/\varepsilon\) または \(i(\mb{H}\mb{x}-\mb{x}\mb{H})/\hbar\) の行列要素である.これは「速度 \(\dot{x}(t)\) の行列要素」と呼ぶことが出来る.
例えば, ポテンシャルが少量の \(U(\mathbf{x},t)\) によって増強されるなど, 最初の問題とは異なる第2の問題を考えるとしよう.すると, 新しい問題では \(S\) は \(S’=S+\sum_i \varepsilon U(x_i,t_i)\) に置き換えられる.式 (38) に代入すると, すぐに次式が得られる:
\begin{align}
\BraKet{\chi_{t”}}{1}{\psi_{t’}}_{S’}&=\left\langle \chi_{t”}\left|
\exp\left(\frac{i}{\hbar}\sum_i \varepsilon U(x_i,t_i)\right)
\right|\psi_{t’}\right\rangle_S\notag\\
&=\left\langle \chi_{t”}\left| \exp\left(\frac{i\varepsilon}{\hbar}\sum_{i=1}^{j}U(x_i,t_i)\right)
\right|\psi_{t’}\right\rangle_{S}
\tag{41}
\end{align}

従って \(F\) が作用表現の変化 \(\delta S\) から何らかの形で生じる可能性がある限り, 式 (39) のような遷移要素は重要である.

【 D 】 或いは, L. Schiff § 37 の「遷移行列」( transition matrix ) あるいは「T-行列」( T-matrix ) の要素 である とも言えよう. まず「散乱行列」あるいは「S行列」の行列要素が, 「遅延グリーン関数」または「プロパゲーター」を \(G^{+}\) として, 次式で定義される:

\begin{align}
\BraKet{\beta}{S}{\alpha}&\equiv \int d^{3}r\,\phi^{*}_{\beta}(\mb{r})\,\psi_{\alpha}^{+}(\mb{r}),
\qquad \psi_{\alpha}^{+}(\mb{r}’,t’)=i\int d^{3}r\,G^{+}(\mb{r}’,t’;\mb{r},t)\,\phi_{\alpha}(\mb{r},t)\notag\\
\rightarrow\ \BraKet{\beta}{S}{\alpha}&=i\int d^{3}r’\int d^{3}r\,
\phi^{*}_{\beta}(\mb{r}’.t’; \mb{r},t)\,G^{+}(\mb{r}’,t’;\mb{r},t)\,\phi_{\alpha}(\mb{r},t)\notag\\
&=\BK{\beta}{\alpha}-\frac{i}{\hbar}\int d^{3}r
\int dt\,\phi^{*}_{\beta}(\mb{r},t)V(\mb{r},t)\psi^{+}(\mb{r},t)
\tag{36.36}
\end{align}

これの始状態 \(\psi^{+}\) と終状態 \(\phi\) として
\begin{equation}
\phi_{\beta}(\mb{r},t)=u_{\beta}(\mb{r})e^{-i\omega_{\beta} t},\quad
\psi^{+}_{\alpha}(\mb{r},t)=u_{\alpha}^{+}(\mb{r})e^{-i\omega_{\alpha} t}
\tag{37.1}
\end{equation}

を用い, 更に \(V(\mb{r},t)=V(\mb{r})g(t)\) とする.ただし \(g(t)\) は \(V\) の時間変化を決めている関数である.
このとき, 「遷移行列 \(T\) の行列要素 \(\BraKet{\beta}{T}{\alpha}\)」は次式で定義される:
\begin{align}
&\BraKet{\beta}{S-1}{\alpha}=\BraKet{\beta}{S}{\alpha}-\BK{\beta}{\alpha}
=-\frac{i}{\hbar}\BraKet{\beta}{T}{\alpha}\int_{-\infty}^{\infty} g(t)e^{i\omega_{\beta\,\alpha}t}\,dt,\notag\\
&\BraKet{\beta}{T}{\alpha}\equiv \int u_{\beta}^{*}(\mb{r})V(\mb{r})u_{\alpha}^{+}(\mb{r})\,d^{3}r,\quad
\omega_{\beta\,\alpha}\equiv \omega_{\beta}-\omega_{\alpha}
\tag{37.2}
\end{align}

上式は, 本文の式 (6-72) に相当していることに注意すべし!:
\begin{equation}
\BraKet{\beta}{S-1}{\alpha}\ \Leftrightarrow\
\lambda^{(1)}_{mn}=-\frac{i}{\hbar}e^{-iE_m t_b/\hbar+iE_n t_a/\hbar}
\int_{t_a}^{t_b}dt_c\,V_{mn}(t_c)e^{i(E_m-E_n)t_c/\hbar}
\tag{6-72}
\end{equation}

References

References
1 x'' \equiv x_j,x'\equiv x_0)\) としたとき, \(t'\) に於ける状態 \(\psi\) と \(t''\) に於ける状態 \(\chi\) の間の「遷移要素」 \(F\) を次式で定義する:
\begin{align} \BraKet{\chi_{t''}}{F}{\psi_{t'}}&=\lim_{\varepsilon\to0} \idotsint \chi^{*}(x'', t'')F(x_0,x_1,\dotsb,x_i)\notag\\ &\quad \times \exp\left[\frac{i}{\hbar} \sum_{i=0}^{j-1}S(x_{i+1},x_i)\right]\psi(x',t')\,\frac{dx_0}{A}\dotsb\frac{dx_{j-1}}{A}\,dx_j. \tag{39} \end{align}
極限 \(\varepsilon\to0\) をとったとき, \(F\) は経路 \(x(t)\) の汎関数となる. なぜこのような量が重要なのか, をこれから確かめて行く.ちょっと立ち止まって, その量が従来の表記法では何に相当するのかを知ると, より理解しやすくなるだろう.\(F\) が単に \(x_k\) であるとしよう.ただし \(k\) はある時間 \(t=t_k\) に相当している.すると式 (39) の右辺で \(x_0\) から \(x_{k-1}\) までの積分を実行すると \(\psi(x_k,t)\) または \(\exp[-i(t - t')\mb{H}/\hbar]\psi_{t'}\) が得られる.同様にして, \(j\ge i > k\) の \(x_i\) 上の積分は \(\chi^{*}(x_k,t)\) または
\(\{\exp[-i(t” – t)\mb{H}/\hbar]\chi_{t”}\}^{*}\) を与える.従って \(x_k\) の遷移要素は,
\begin{align}
\BraKet{\chi_{t”}}{F}{\psi_{t’}}_S &=\int \chi^{*}\,e^{i\mb{H}(t” -t)/\hbar}
\,x\,e^{-i\mb{H}(t-t’)/\hbar}\,\psi_{t’}\,dx \notag\\
&=\int \chi^{*}(x,t)\,x\,\psi(x,t)\,dx
\tag{40}
\end{align}

であり, これは時刻 \(t’\) で \(\psi_{t’}\) の状態から発展した時刻 \(t\) での状態と, 時刻 \(t”\) で \(\chi_{t”} \)の状態から発展した時刻 \(t\) での状態との間の, 時刻 \(t=t_k\) に於ける \(\mathbf{x}\) の行列要素である.従って, これはそれらの状態間の \(\mathbf{x}(t)\) の行列要素である.
同様にして, \(F=x_{k+1}\) とした式 (39) によれば, \(x_{k+1}\) の遷移要素は \(\mathbf{x}(t+\varepsilon)\) の行列要素となる.\(F=(x_{k+1}-x_k)/\varepsilon\) の遷移要素は, 式 (40) から容易に示されるように, \((\mathbf{x}(t+\varepsilon)-\mathbf{x}(t