問題 6-12 の解答例

Feynman-Hibbs cover

Problem 6-12
Assume that V(r) is independent of time and show that the time integral of the second-order scattering term K(2)(b,a) gives

K(2)(b,a)=(m2π2)2(m2πiT)3/2d3rcd3rdrcd+rac+rbdrcdracrbd(6-58)×[exp(im2T)(rcd+rac+rbd)2]V(rc)V(rd)

where the points a,b,c and d are arranged as shown in Fig. 6-9. The term rcd stands for the distance between the point c and d, etc. Assume that V(r) becomes negligibly small at distances which are short compared to Ra or Rb. Show that the cross section is given by dσ/dΩ=|f(q)|2 , where the scattering amplitude f(q), including the first-order term, is
f(q)=m2π2d3reipar/(6-56)+(m2π2)2d3rcd3rdeipbrdV(rd)(1rcd)eiprcd/V(rc)eipbrc+(higher order terms)

where pb is the momentum of the electron traveling in the direction of Rb and pa is the momentum of an electron traveling in the direction Ra. The magnitude of the momentum is p, and it is approximately unchanged by an elastic scattering of the electron from the ( relatively massive ) atom.
fig6-15.png

(Fig. 6-9) To increase the accuracy of scattering calculations, we can take account of second-order terms in the perturbation expansion.
Here, as in Fig. 6-2 (3), we picture the electron as being scattered at two separate points in the atomic potential. Thus the electron starts at a; proceeds as a free particle to c, where it is scattered; then moves as a free particle to d, where it is scattered again; and finally moves as a free particle to b, where it is collected by the counter. The points c and d can lie at any position in space. The atomic potential at these positions depends upon the radius vectors rc and rd, measured from the center of the atom O.


(解答例) 式 (6-17) から,2 次の散乱項 K(2)(b,a) は次である:

(1)K(2)(b,a)=(i)2dτddτcK0(b,d)V(d)K0(d,c)V(c)K0(c,a)

ここで dτ=dtdr とする.( 原書では, § 6-1 の一般的な摂動展開を議論での図 6-2 と,この問題の配置図 6-9 で点 c と点 d の位置が逆になっているので注意する! ).
 式 (6-33) の K(1) を求めたときと同様に考えて, 自由粒子核 K0(b,c),K0(c,d),K0(d,a) の各々は式 (3-52) を 3 次元化したものを用いて次とする:
K0(b,d)=(m2πi(Ttd))3/2exp[im(Rbrd)22(Ttd)],K0(d,c)=(m2πi(tdtc))3/2exp[im(rdrc)22(tdtc)],(2)K0(c,a)=(m2πitc)3/2exp[im(rcRa)22tc]

ただし時間については, 暗黙の内に td>tc を仮定しているので tc の時間積分範囲は tc=[0,td] とし,td の時間積分範囲は td=[0,T] とすればよい.また,rbdRbrdrdcrdrcrcarcRa と表記し直すことにする.これらを式 (1) に適用すると次となる:
K(2)(b,a)=(i)2d3rdd3rc0Tdtd0tddtc(m2πi(Ttd))3/2exp[imrbd22(Ttd)]V(rd)(3)×(m2πi(tdtc))3/2exp[imrdc22(tdtc)]V(rc)(m2πitc)3/2exp[imrca22tc]

まず dtc についての時間積分 I1 を実施する:
I1=0tddtc(m2πi(tdtc))3/2(m2πitc)3/2exp[imrdc22(tdtc)]exp[imrca22tc]=(m2πi)30tdexp[mrdc22i(tdtc)mrca22itc]dtc[(tdtc)tc]3

巻末付録の「役立つ定積分」の公式 (A-5) を用いる.この場合の a,b は,
a=mrdc 22i,b=mrca 22i a+b=m2i(rdc+rca), ab=m2irdcrca

従って,
(4)I1=(m2πi)32imm2iπtd3rdc+rcardcrcaexp[im2td(rdc+rca)2]

この結果を式 (3) に代入し, 今度は dtd についての時間積分を行う.やはり公式 (A-5) を同様に用いると次となる:
I2=i220Tdtd(m2πi(Ttd))3/2exp[imrbd22(Ttd)]×(m2πi)32imm2iπtd3rdc+rcardcrcaexp[im2td(rdc+rca)2]=i22(m2πi)3/22im(m2πi)3mπ2irdc+rcardcrca×0Texp[mrbd22i(Ttd)m(rdc+rca)22itd]dtd[(Ttd)td]3=i22(m2πi)3/22im(m2πi)3mπ2irdc+rcardcrca×2immπ2iT3rbd+rdc+rcarbd(rdc+rca)exp[im2T(rbd+rdc+rca)2](5)=(m2π2)2(m2πiT)3/2rbd+rdc+rcarbdrdcrcaexp[(im2T)(rbd+rdc+rca)2]

これを式 (3) に代入すると,K(2) が式 (6-58) のように得られる:
K(2)(b,a)=(m2π2)2(m2πiT)3/2d3rcd3rdrbd+rdc+rcarbdrdcrca(6-58)×exp[(im2T)(rbd+rdc+rca)2]V(rc)V(rd)

 今度は,2次までの散乱振幅 f(q)=f(1)(q)+f(2)(q) を考える.ただし f(1)(q) は式 (6-44) 中のものである:
(6.44′)dσ(θ)dΩ=|f(1)(q)|2=|m2π2v(q)|2

f(2)(q) は式 (6-42) を求めたときと同様な議論により求められる.ただし式 (6-58) の K(2)(b,a) に等価な式に於いては rdcrbd,rca なので, 次のような近似を用いよう:
rbd+rdc+rcarbdrdcrca1rdcrbd+rcarbdrca=1rdc(1rca+1rbd)(6)1rdc(1ra+1rb)

すると K(2) は, 近似的に次のように書くことが出来る:
K(2)(b,a)(m2π2)2(m2πiT)3/2(1ra+1rb)×I2(7)whereI2=d3rcd3rd1rdcexp[(im2T)(rbd+rdc+rca)2]V(rc)V(rd)

この絶対値の 2 乗 |K(2)(b,a)|2|K0(b,a)|2 は,
|K(2)(b,a)|2=(m2π2)4|m2πiT|3(ra+rb)2ra2rb2×I22,|K0(b,a)|2=|(m2πiT)3/2|2=|m2πiT|3

となるから, 式 (6-42) を求めたときと同様にして次が得られる:
P(b)P(d)=|K(2)(b,a)K0(b,a)|2=(m2π2)4I22×(ra+rb)2ra2rb2=(m2π2)2|m2π2I2|2(ra+rb)2ra2rb2

従って, 式 (6-42) との比較から, この場合の |v(q)|2 に相当するのは次である:
(8)|v(2)(q)|2=|m2π2I2|2v(2)(q)=m2π2I2

従って, 式 (6-44′) との類推で,2次のボルン散乱振幅 f(2)(q) は次とすることが出来る:
f(2)(q)=m2π2v(2)(q)=(m2π2)×(m2π2)I2(9)=(m2π2)2d3rcd3rd1rdcexp[(im2T)(rbd+rdc+rca)2]V(rc)V(rd)

更に指数関数中の量 (rbd+rdc+rca)2 は, rdcrbd,rca であることに注意する.また,
rbdRbibrd,andrcaRa+iarc

とすることで, 次のように近似できる:
(rbd+rdc+rca)2(rbd+rca)2+2rdc(rbd+rca)=(rbd+rca)(rbd+rca+2rdc)=(Rb+Ra+iarcibrd)(Rb+Ra+iarcibrd+2rdc)=(Ra+Rb)2+2(Ra+Rb)(iarcibrd)+(iarcibrd)2+2(Ra+Rb)rdc+2rdc(iarcibrd)(10)(Ra+Rb)2+2(Ra+Rb)(iarcibrd+rdc)

すると式 (9) の積分部分 I2 は, 次のように近似して書くことが出来る:
I2=d3rcd3rd1rdcexp[(im2T)(rbd+rdc+rca)2]V(rc)V(rd)=d3rcd3rdV(rc)V(rd)rdcexp[(im2T){(Ra+Rb)2+2(Ra+Rb)(iarcibrd+rdc)}]=exp[(im2T)(Ra+Rb)2]d3rcd3rdV(rc)V(rd)rdcexp[imu(iarcibrd+rdc)]=exp[(im2T)(Ra+Rb)2]d3rcd3rd1rdcexp[i(parcpbrd+prdc)]V(rc)V(rd)=exp[(im2T)(Ra+Rb)2]d3rcd3rdeipbrd/V(rd)eiprdc/rdcV(rc)eiparc/

これから位相因子を除去したものを I2 とするならば,「2次のボルン散乱振幅f(2)(q) は次のように書くことが出来る:
(11)f(2)(q)=(m2π2)2I2=(m2π2)2d3rcd3rdeipbrd/V(rd)eiprdc/rdcV(rc)eiparc/


( 参考 ) この2次のボルン振幅 f(2) に対応するものが J.J.Sakurai に書かれている.その中の § 7.2 の式 (7.2.23) である:

f(2)(k,k)=14π2m2d3xd3xeikxV(x)[2m2G+(x,x)]V(x)eikx

この式中の G+ として § 7.1 の式 (7.1.12) を代入するならば, 記事の式 (11) となる:
f(2)=2m4π2d3xd3xeikxV(x)[2m2(14πeik|xx||xx|)]V(x)eikx=(m2π2)2d3xd3xeikxV(x)eik|xx||xx|V(x)eikx


以上の結果と式 (6-44′) とから, 散乱振幅 f(q) は問題文の式 (6-59) のように書ける:

f(q)=f(1)(q)+f(2)(q)+=m2π2v(q)+(m2π2)2I2=m2π2d3reiqr/V(r)(6-59’)+(m2π2)2d3rcd3rdeipbrd/V(rd)eiprdc/rdcV(rc)eiparc/+

(注) Emended Edition by D.F.Styer では, 式 (6-58) において 1/2 が挿入されており, またその結果として式 (6.59) にも因子 1/2 が挿入されている !?.これは, ぼっとすると K(2) に式 (6-13) ではなくて式 (6-7) の方を直接用いてしまったからかも知れない ?! .両者には因子 1/2 の違いがある.詳しくは, 前に書いた記事:「付録:「役に立つ定積分」に追加された公式 (A.12) について」を参照してほしい.