問題 7-2 の解答例

Problem 7-2
If $F [x] = x (τ)$ , show that

\begin{matrix} (7-26) & \frac{δ F}{δ x (s)} = δ (τ - s) \end{matrix}

( 解答 ) $F [x] = x (τ)$ のとき， 1次までの式 (7-20) は次となる：

\begin{matrix} (1) & F [x + η] - F [x] = {x (τ) + η (τ)} - x (τ) = η (τ) = \int \frac{δ x (τ)}{δ x (s)} η (s) d s \end{matrix}

これが成り立つには, 式 (7-26) であれば十分であることは明らかである (

δ

-関数の性質を利用して)：

\begin{matrix} (2) & \int \frac{δ x (τ)}{δ x (s)} η (s) d s = \int η (s) δ (s - τ) d s = η (τ) \end{matrix}

または， M.S.Swanson の汎関数微分の定義式 (sw-1) を用いるならば, 式 (7-26) は容易に示すことが出来る：

\begin{aligned} \frac{δ F}{δ g (y)} = lim_{ϵ \to 0} \frac{F [g (x) + ϵ δ (x - y)] - F [g (x)]}{ϵ}, F [g (x)] \equiv g (x) = x (τ), g (y) = x (s) \\ (3) & \to \frac{δ x (τ)}{δ x (s)} = lim_{ϵ \to 0} \frac{x (τ) + ϵ δ (τ - s) - x (τ)}{ϵ} = δ (τ - s) \end{aligned}