問題 7-3 の解答例

Problem 7-3
Show that $\frac{δ F}{δ j (r, s)}$ , where

F = \exp [\frac{1}{2} \int d^{3} r_{2} \int d t_{2} \int d^{3} r_{1} \int d t_{1} j (r_{1}, t_{1}) j (r_{2}, t_{1}) R (r_{1} - r_{2}, t_{1} - t_{2})]

is given by

\begin{matrix} (7-27) & \frac{δ F}{δ j (x, s)} = F \int d^{3} r \int d t j (r, t) \frac{1}{2} [R (r - x, t - s) + R (x - r, s - t)] \end{matrix}

Note that the function

j (r, t)

is a function of the four variables

(x, y, z, t)

. Thus the single coordinate

s

, as used in Eq. (7-14), for example, must be replaced by the set of coordinates

(x, y, z, t)

in specifying the point at which the functional derivative is evaluated.

( 解答 )　まず題意に従って, 4元変数をギリシャ文字で表し, 例えば $α = (x, y, z, t)$ とする．すると, 上式たちは4元変数を用いて次のように書き直すことが出来る：

\begin{aligned} (1) & F & = \exp [\frac{1}{2} \int d β \int d α j (β) j (α) R (β - α)] \\ (2) & \frac{δ F}{δ j (γ)} & = F \int d τ j (τ) \frac{1}{2} [R (τ - γ) + R (γ - τ)] \end{aligned}

次に式 (1) の

\log

をとったものを

G

とする：

\begin{matrix} (3) & G = \log F (θ) = \frac{1}{2} \int d β \int d α j (β) j (α) R (β - α) \end{matrix}

そして

j (α)

によるその汎関数微分を考え, それにチェーンルール (sw-10) を用いるならば,

\begin{matrix} (4) & \frac{δ G}{δ j (γ)} = \frac{δ \log F (θ)}{δ j (γ)} = \int d τ \frac{δ \log F (θ)}{δ F (τ)} \frac{δ F (τ)}{δ j (γ)} \end{matrix}

このとき, 汎関数微分

\frac{δ \log F}{δ F (τ)}

は公式 (sw-1) より次となる：

\begin{aligned} \frac{δ \log F (θ)}{δ F (τ)} & = lim_{ε \to 0} \frac{1}{ε} [\log {F + ε δ (τ - θ)} - \log F] \\ = lim_{ε \to 0} \frac{1}{ε} \log {1 + \frac{ε}{F} δ (τ - θ)} \\ ≃ lim_{ε \to 0} \frac{1}{ε} \frac{ε}{F} δ (τ - θ) \\ (5) & = \frac{δ (τ - θ)}{F} \end{aligned}

この結果を式 (4) に代入すると,

\begin{aligned} \frac{δ G}{δ j (γ)} = \frac{δ \log F (θ)}{δ j (γ)} = \int d τ \frac{1}{F} \frac{δ F (τ)}{δ j (γ)} δ (τ - θ) = \frac{1}{F} \frac{δ F (θ)}{δ j (γ)}, \\ (6) & \to & \frac{δ F (θ)}{δ j (γ)} = F \frac{δ G}{δ j (γ)} \end{aligned}

また, 式 (3) の

G

の汎関数微分を式 (sw-2) を利用して求めると,

\begin{aligned} \frac{δ G}{δ j (γ)} & = \frac{1}{2} \int d β \int d α \frac{δ j (β)}{δ j (γ)} j (α) R (β - α) + \frac{1}{2} \int d β \int d α j (β) \frac{δ j (α)}{δ j (γ)} R (β - α) \\ = \frac{1}{2} \int d β \int d α j (α) R (β - α) δ (β - γ) + \frac{1}{2} \int d β \int d α j (β) R (β - α) δ (α - γ) \\ = \frac{1}{2} \int d α j (α) R (γ - α) + \frac{1}{2} \int d β j (β) R (β - γ) \end{aligned}

ここで, 第1項も第2項もその積分変数を

τ

に置き換えてしまうと(単なる書き換えである),

\begin{aligned} \frac{δ G}{δ j (γ)} & = \frac{1}{2} \int d τ j (τ) R (γ - τ) + \frac{1}{2} \int d τ j (τ) R (τ - γ) \\ (7) & = \int d τ j (τ) \frac{1}{2} [R (γ - τ) + R (τ - γ)] \end{aligned}

以上の結果式 (6) と (7) から,

\begin{matrix} (8) & \frac{δ F (θ)}{δ j (γ)} = F \int d τ j (τ) \frac{1}{2} [R (γ - τ) + R (τ - γ)] \end{matrix}

上式の積分変数を4元変数から通常の3次元座標と時間座標に分けて

γ = (x, s), τ = (r, t)

と表現するならば, これは式 (7-27) に一致する：

\begin{matrix} (9) & \frac{δ F}{δ j (x, s)} = F \int d^{3} r \int d t j (r, t) \frac{1}{2} [R (r - x, t - s) + R (x - r, s - t)] \end{matrix}

[ 参考 ]　式 (7-27) 中の因子 $R (α - β)$ が偶関数である場合を考えてみよう．すると $R (α - β) = R (β - α)$ であるから, 式 (8) または式 (9) は次のように書ける：

\begin{aligned} \frac{δ F (θ)}{δ j (γ)} & = F \int d τ j (τ) \frac{1}{2} [R (γ - τ) + R (τ - γ)] \\ = F \int d τ j (τ) R (τ - γ) \\ or \frac{δ F}{δ j (x, s)} & = F \int d^{3} r \int d t j (r, t) \frac{1}{2} [R (r - x, t - s) + R (x - r, s - t)] \\ (10) & = F \int d^{3} r \int d t j (r, t) R (x - r, s - t) \end{aligned}

実は, 問題文の式 (7-27) は校訂版の修正された式であり, ファインマンの原書でのその表現は上式 (10) のものであった．問題文の

F

にわざわざ因子

1 / 2

を入れたのは, 結果式が上式 (10) となることを予想してのことではなかろうか？．ファインマンは, 暗黙の内に「因子

R (α - β)

は偶関数である」と考えていたのであろう．また, 問題文中の

F

の式に類似した式として, 第12章の § 12-4 ガウス雑音に書かれている「特性汎関数の式 (12-43)」があるので注意する：

\begin{matrix} (12-43) & Φ [k (t)] = \exp [- \frac{1}{2} \int d t \int d t^{'} k (t) k (t^{'}) A (t - t^{'})] \end{matrix}

このときの関数

A (τ)

は「相関関数」と呼ばれる．