問題 7-12 の解答例

Feynman-Hibbs cover
\(\)
Problem 7-12
Show, if \(V\) is any function of position only, that

\begin{equation}
\left\langle \chi \left| \frac{dV}{dt}\right| \psi\right\rangle
= \left\langle \chi \left| \frac{V(x_{k+1})-V(x_k)}{\varepsilon}\right| \psi\right\rangle
= \frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty} \chi^{*} \big(HV-VH\big)\psi\,dx
\tag{7-89}
\end{equation}

Consider the case that \(V\) is also a function of the time. Show that the transition element of \(dV/dt\) is equivalent to the transition element of the operator \((i/\hbar)\big(HV-VH\big)+\partial V/\partial t\).


 
(解答) \(F\) として \(dV/dt\) である場合を考えると, 式 (7-72) に相当するものは次となる:

\begin{equation}
F=\frac{dV}{dt}=\dot{V}(x)=\frac{V(x_{k+1})-V(x_k)}{\varepsilon}
\tag{1}
\end{equation}

このとき \(V\) が位置のみに依存し時間依存しない場合には, \(F\) が運動量 \(p=m\dot{x}\) の場合である式 (7-72) 以降の議論がそのまま成立する.従って, 式 (7-78) に相当する式は, 式 (7-78) に於いて単に \(mx\) を \(V(x)\) に置き換えるだけでよい.従って,
\begin{align}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\ket#1{|#1\rangle}
\def\bra#1{\langle #1 |}
\def\BK#1#2{\langle #1 | #2 \rangle}
\def\BraKet#1#2#3{\langle #1 | #2 | #3 \rangle}
\BraKet{\chi}{m\dot{x}}{\psi}&=\left\langle\chi\left|\frac{d (mx)}{dt} \right|\psi\right\rangle
=-\frac{im}{\hbar}\int \chi^{*}\bigl(xH-Hx\bigr)\,\psi\,dx\\
&=-\frac{i}{\hbar}\int \chi^{*}\Big\{ (m x) H-H (m x)\Big\}\,\psi\,dx,\\
\Rightarrow\quad \left\langle\,\chi\left|\frac{dV}{dt}\,\right|\psi\right\rangle
&=-\frac{i}{\hbar}\int \chi^{*}\Bigl\{V(x)H-HV(x)\Bigr\}\psi\,dx\\
&=\frac{i}{\hbar}\int \chi^{*}(HV-VH)\,\psi\,dx
\tag{2}
\end{align}

次に \(V\) が時間にも依存する場合を考える.本文に書かれているように, この場合には 式 (7-10) の関係を用いる必要がある:

\begin{equation}
\BraKet{\chi}{V[x(t),t]}{\psi}_{S_0}=\int dx_2\int dx_3\int dx_1\,\chi^{*}(x_2)K_0(2,3)V(3)K_0(3,1)\psi(x_1)
\tag{7-10}
\end{equation}

上式を用いて式 (1) の遷移要素を書くと次となる (ただし \(K_0\to K\) と簡略した):
\begin{align}
\left\langle\,\chi\left|\frac{dV(x,t)}{dt}\,\right|\psi\right\rangle&=\left\langle\,\chi\left|\,
\frac{V(x_{k+1})-V(x_k)}{\varepsilon}\,\right|\psi\right\rangle=\frac{1}{\varepsilon}\Bigl(
\BraKet{\chi}{V(x_{k+1})}{\psi}-\BraKet{\chi}{V(x_k)}{\psi}\Bigr)\\
&=\frac{1}{\varepsilon}\Bigg[ \int dx_2\int dx_1\int dx_{k+1}\,\chi^{*}(2)K(2,k+1)V(k+1)K(k+1,1)\psi(1)\\
&\qquad\quad-\int dx_2\int dx_1\int dx_k\,\chi^{*}(2)K(2,k)V(k)K(k,1)\psi(1)\Bigg]
\tag{3}
\end{align}

このとき式 (3-42) を利用し, また \(K(k,2)=K^{*}(2,k)\) から次が言える:
\begin{align}
&\psi(x_2,t_2)=\int_{-\infty}^{\infty} dx_3\,K(2,3)\,\psi(x_3,t_3)\quad\rightarrow\quad \psi(k)=\int dx_1\,K(k,1)\,\psi(1),\\
&\chi^{*}(k)=\int dx_2\,\chi^{*}(2)\,K^{*}(k,2)=\int dx_2\,\chi^{*}(2)\,K(2,k)
\tag{4}
\end{align}

また, 波動関数 \(\psi(x_{k+1}),\chi^{*}(x_{k+1})\) などに式 (7-75) と式 (7-76) を用い, またポテンシャル \(V(x_{k+1})\) は \(\varepsilon\) について 1 次までの級数展開により次に書くことが出来る:
\begin{align}
&\psi(x_{k+1})=\psi-\frac{i\varepsilon}{\hbar}H\,\psi=\left(1-\frac{i\varepsilon}{\hbar}\right)\psi,\\
&\chi^{*}(x_{k+1})=\chi^{*}+\frac{i\varepsilon}{\hbar}\Bigl[H\chi\Bigr]^{*}
=\chi^{*}\left(1+\frac{i\varepsilon}{\hbar}H\right),\\
&V(x_{k+1})\approx V(x_k)+\ppdiff{V}{t}\varepsilon\quad\rightarrow\quad V(k+1)= V(k)+\ppdiff{V}{t}\varepsilon,
\tag{5}
\end{align}

これらを式 (3) の右辺の各項に適用し 1 次まで求める. \(dx_{k+1}=d(x_k+\Delta)=dx_k\) を考慮すると次となる:
\begin{align}
\int dx_2 &\int dx_1\int dx_{k+1}\,\chi^{*}(2)\,K(2,k+1)\,V(k+1)\,K(k+1,1)\,\psi(1)\\
&=\int dx_{k+1}\left\{\int dx_2\,\chi^{*}(2)K(2,k+1)\right\}V(k+1)\left\{\int dx_1\,K(k+1,1)\psi(1)\right\}\\
&=\int dx_{k+1}\,\chi^{*}(k+1)\,V(k+1)\,\psi(k+1),\quad x_k\to x,\quad dx_{k+1}=dx_k=dx\\
&=\int dx\,\chi^{*}(x)\left(1+\frac{i\varepsilon}{\hbar}H\right)\left(V(x)+\ppdiff{V}{t}\varepsilon\right)
\left(1-\frac{i\varepsilon}{\hbar}H\right)\psi(x)\\
&\simeq \int dx\,\chi^{*}(x)V(x)\psi(x)+\frac{i\varepsilon}{\hbar}
\int dx\,\chi^{*}(HV-VH)\,\psi+\varepsilon\int dx\,\chi^{*}\ppdiff{V}{t}\psi \tag{6}\\
\int dx_2 &\int dx_1\int dx_k\,\chi^{*}(2)K(2,k)V(k)K(k,1)\psi(1)\\
&=\int dx_k\,\left\{\int dx_2\,\chi^{*}(2)\,K(2,k)\right\}V(k)\left\{\int dx_1\,K(k,1)\,\psi(1)\right\}\\
&=\int dx_k\,\chi^{*}(k)\,V(k)\,\psi(k)=\int dx\,\chi^{*}(x)V(x)\,\psi(x)
\tag{7}
\end{align}

式 (3) の右辺は, 式 (6) から式 (7) を引き算すればよい:
\begin{align}
\left\langle\,\chi\left|\frac{dV(x,t)}{dt}\,\right|\psi\right\rangle&=\frac{1}{\varepsilon}\Big\{ (6) – (7) \Big\}\\
&=\frac{1}{\varepsilon}\left\{\frac{i\varepsilon}{\hbar}\int dx\,\chi^{*}(HV-VH)\,\psi+\varepsilon\int dx\,\chi^{*}\ppdiff{V}{t}\psi\right\}\\
&=\frac{i}{\hbar}\int dx\,\chi^{*}(HV-VH)\,\psi+\int dx\,\chi^{*}\ppdiff{V}{t}\psi
\tag{8}
\end{align}

結局, 式(3)は次となる:
\begin{equation}
\left\langle\,\chi\left|\frac{dV(x,t)}{dt}\,\right|\psi\right\rangle
=\int dx\,\chi^{*}(x)\left\{\frac{i}{\hbar}(HV-VH)+\ppdiff{V}{t}\right\}\psi(x)
\tag{9}
\end{equation}

よって, 関数 \(V\) が時間依存する場合の \(dV/dt\) の遷移要素は, 演算子 \((i/\hbar)\big(HV-VH\big)+\partial V/\partial t\) の遷移要素に等価であると言える:
\begin{equation}
\left\langle\,\frac{dV(x,t)}{dt}\,\right\rangle=\left\langle\,\frac{i}{\hbar}(HV-VH)+\ppdiff{V}{t}\,\right\rangle
\tag{10}
\end{equation}