問題 7-12 の解答例

Problem 7-12
Show, if $V$ is any function of position only, that

\begin{matrix} (7-89) & ⟨ χ | \frac{d V}{d t} | ψ ⟩ = ⟨ χ | \frac{V (x_{k + 1}) - V (x_{k})}{ε} | ψ ⟩ = \frac{i}{ℏ} \int_{- \infty}^{\infty} χ^{*} (H V - V H) ψ d x \end{matrix}

Consider the case that

V

is also a function of the time. Show that the transition element of

d V / d t

is equivalent to the transition element of the operator

(i / ℏ) (H V - V H) + \partial V / \partial t

(解答)　 $F$ として $d V / d t$ である場合を考えると, 式 (7-72) に相当するものは,

F = \frac{d V}{d t} = \dot{V} (x) = \frac{V (x_{k + 1}) - V (x_{k})}{ε}

であるから,

\begin{aligned} ⟨ χ | \frac{d V}{d t} | ψ ⟩ & = ⟨ χ | \frac{V (x_{k + 1}) - V (x_{k})}{ε} | ψ ⟩ \\ (1) & = \frac{1}{ε} {⟨ χ | V (x_{k + 1}) | ψ ⟩ - ⟨ χ | V (x_{k}) | ψ ⟩} \end{aligned}

本文の式 (7-73) から式 (7-74) までの議論と同様な手順を行なう．まず, 上式 (1) の第1項を

ε

の1次まで展開すると,

\begin{aligned} ⟨ χ | V (x_{k + 1}) | ψ ⟩ & = \int d x χ^{*} (x, t + ε) V (x, t + ε) ψ (x, t + ε) \\ = \int d x χ^{*} (x) (1 + \frac{i ε}{ℏ} H) (V (x) + ε \frac{\partial V}{\partial t}) (1 - \frac{i ε}{ℏ} H) ψ (x) \\ \approx \int d x χ^{*} (x) V (x) ψ (x) + \frac{i ε}{ℏ} \int d x χ^{*} (x) H V (x) ψ (x) \\ (2) & + ε \int d x χ^{*} (x) \frac{\partial V}{\partial t} ψ (x) - \frac{i ε}{ℏ} \int d x χ^{*} V (x) H ψ (x) \end{aligned}

従って, 式(1)は次となる：

\begin{aligned} ⟨ χ | \frac{d V}{d t} | ψ ⟩ & = \frac{1}{ε} {⟨ χ | V (x_{k + 1}) | ψ ⟩ - ⟨ χ | V (x_{k}) | ψ ⟩} \\ = \frac{i}{ℏ} \int d x χ^{*} (x) H V (x) ψ (x) + \int d x χ^{*} (x) \frac{\partial V}{\partial t} ψ (x) \\ - \frac{i}{ℏ} \int d x χ^{*} V (x) H ψ (x) \\ (3) & = \int d x χ^{*} (x) [\frac{i}{ℏ} (H V (x) - V (x) H) + \frac{\partial V}{\partial t}] ψ (x) \end{aligned}

よって,

\begin{matrix} (4) & ⟨ χ | \frac{d V}{d t} | ψ ⟩ = ⟨ \frac{i}{ℏ} (H V (x) - V (x) H) + \frac{\partial V}{\partial t} ⟩ \end{matrix}

ただし

V

が時間依存していない, 即ち関数

V

に時間

t

が含まれていないならば

\frac{\partial V}{\partial t} = 0

であるから, その場合には式 (2) に於いて

\frac{\partial V}{\partial t} = 0

とすれば, 問題文の式 (7-89) となる：

\begin{matrix} (5) & ⟨ χ | \frac{d V}{d t} | ψ ⟩ = \frac{i}{ℏ} \int χ^{*} (x) (H V (x) - V (x) H) ψ (x) d x \end{matrix}