問題 7-13 の解答例

Problem 7-13
Show that

\begin{matrix} (7-90) & ⟨ χ | m \ddot{x} | ψ ⟩ = \frac{i}{ℏ} \int_{- \infty}^{\infty} χ^{*} (H p - p H) ψ d x \end{matrix}

and argue for any quantity

A

, given in terms of an operator or otherwise, that

d A / d t

is equivalent to

\partial A / \partial t + (i / ℏ) (H A - A H)

( 解答 )　 $F$ として $\dot{p} = m \ddot{x}$ を考えると, 式 (7-72) に相当する式は,

\begin{matrix} (1) & F = m \ddot{x} = \dot{p} = \frac{p_{k + 1} - p_{k}}{ε} \end{matrix}

となるから, この遷移要素は次となる：

\begin{matrix} (2) & ⟨ χ | m \ddot{x} | ψ ⟩ = ⟨ χ | \frac{p_{k + 1} - p_{k}}{ε} | ψ ⟩ = \frac{1}{ε} (⟨ χ | p_{k + 1} | ψ ⟩ - ⟨ χ | p_{k} | ψ ⟩) \end{matrix}

この右辺は, 式 (7-73) と全く同様にして式 (7-74) の形に表される：

\begin{aligned} \frac{1}{ε} (⟨ χ | p_{k + 1} | ψ ⟩ - ⟨ χ | p_{k} | ψ ⟩) \\ (3) & = \frac{1}{ε} [\int χ^{*} (x, t + ε) p_{x} ψ (x, t + ε) d x - \int χ^{*} (x) p_{x} ψ (x) d x] \end{aligned}

やはり全く同様な手順により, すなわち, 式 (7-75) と式 (7-76) を用いて

ε

の1次まで近似することで, これは次のように単純化することが出来る：

\begin{aligned} \frac{1}{ε} [\int χ^{*} (x, t + ε) p_{x} ψ (x, t + ε) d x - \int χ^{*} (x) p_{x} ψ (x) d x] \\ ≃ \frac{1}{ε} [\int {χ^{*} + \frac{i ε}{ℏ} (H χ)^{*}} p_{x} {ψ - \frac{i ε}{ℏ} H ψ} - \int χ^{*} (x) p_{x} ψ (x) d x] \\ = \frac{1}{ε} [\int χ^{*} (x) (1 + \frac{i ε}{ℏ} H) p_{x} (1 - \frac{i ε}{ℏ} H) ψ (x) d x - \int χ^{*} (x) p_{x} ψ (x) d x] \\ = \frac{1}{ε} [\int χ^{*} (x) (p_{x} - \frac{i}{ℏ} ε p_{x} H + \frac{i}{ℏ} ε H p_{x}) ψ (x) d x - \int χ^{*} (x) p_{x} ψ (x) d x] \\ (4) & = \frac{i}{ℏ} \int χ^{*} (H p_{x} - p_{x} H) ψ d x \end{aligned}

よって, 式 (2) は次に書ける：

\begin{matrix} (5) & ⟨ χ | m \ddot{x} | ψ ⟩ = ⟨ \frac{d p_{x}}{d t} ⟩ = \frac{i}{ℏ} \int χ^{*} (H p_{x} - p_{x} H) ψ d x \end{matrix}

古典解析力学に於ける物理量

A

は, 位置

x

と運動量

p

の関数

A = A (x, p)

として表わすことが出来るが, 運動量

p

は位置

x

と時間

t

を測定することで求められるから

p = p (x, t)

である．従って, 任意の「古典力学的観測量

A

」または「量子力学のオブザーバブル

A

」は, 結局,「位置

x

と時間

t

の関数

A = A (x, t)

として表わせる」と言える．
すると

d A / d t

の遷移要素については, 前の問題 7-12 の「位置の任意関数

V

が時間にも依存する場合」と全く同様に議論してよいから, 結果式もやはり同じ形になると言える：

\begin{aligned} ⟨ \frac{d V (x, t)}{d t} ⟩ = ⟨ \frac{i}{ℏ} (H V - V H) + \frac{\partial V}{\partial t} ⟩, \\ (6) & \Rightarrow & ⟨ \frac{d A (x, t)}{d t} ⟩ = ⟨ \frac{i}{ℏ} (H A - A H) + \frac{\partial A}{\partial t} ⟩ \end{aligned}