問題 8-4 の解答例

Problem 8-4
Show that the ground-state wave function for the lagrangian of Eq. (8-78) can be written

\begin{matrix} (8-83) & Φ_{0} = A \exp (- \frac{1}{2 ℏ} \sum_{α = 0}^{N - 1} ω_{α} Q_{α}^{*} Q_{α}) \end{matrix}

(where

A

is a constant) by starting with the wave function in terms of the real variables

Q_{α}^{C}

and

Q_{α}^{S}

( 解答 )　前述の問題 8-3 に於いて，「 $Q_{α}^{C}$ と $Q_{α}^{S}$ は共に基準座標であり, そして系のラグランジアン (8-78′) は, 式 (8-79) と式 (8-81) を用いると次に書ける」ことが分かった：

\begin{aligned} (8-78′) & L & = \frac{1}{2} \sum_{α = - \frac{1}{2} (N - 1)}^{\frac{1}{2} (N - 1)} ({\dot{Q}}_{α}^{*} {\dot{Q}}_{α} - ω_{α}^{2} Q_{α}^{*} Q_{α}) \\ = \sum_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} \frac{1}{2} {({\dot{Q}}_{α}^{C})^{2} - ω_{α}^{2} (Q_{α}^{C})^{2}} + \sum_{α = 1}^{\frac{1}{2} (N - 1)} \frac{1}{2} {({\dot{Q}}_{α}^{S})^{2} - ω_{α}^{2} (Q_{α}^{S})^{2}} \\ (1) & = \sum_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} L_{α}^{C} + \sum_{α = 1}^{\frac{1}{2} (N - 1)} L_{α}^{S} \end{aligned}

従って, 系のラグランジアン

L

は

\frac{1}{2} (N + 1)

個のラグランジアン

L_{α}^{C}

と

\frac{1}{2} (N - 1)

個のラグランジアン

L_{α}^{S}

とを合計した

N

個のラグランジアンの和として表されることになる．
また, 式 (8-2) のラグランジアンに対する基底状態の波動関数は式 (8-17) であった：

\begin{matrix} (2) & L = \frac{1}{2} (m {\dot{x}}^{2} - m ω^{2} x^{2}) \Rightarrow ϕ_{0} (x) = {(\frac{m ω}{π ℏ})}^{1 / 4} \exp (- \frac{1}{2 ℏ} m ω x^{2}) \end{matrix}

本文に於いて, ラグランジアン

L

が式 (8-57) で与えられるときに, 全系の波動関数は式 (8-62) で与えられた：

\begin{matrix} (3) & L = \frac{1}{2} \sum_{α = 1}^{n} ({\dot{Q}}_{α}^{2} - ω_{α}^{2} Q_{α}^{2}) \to Φ = \prod_{α = 1}^{n} ϕ_{m_{α}} (Q_{α}) \end{matrix}

これと同様に考えるならば, 式 (1) と式 (2) から, 系の基底状態の波動関数

Φ_{0}

は, 式 (2) の

L

に於いて

m \to 1, ω \to ω_{α}, x \to Q_{α}^{C}, or x \to Q_{α}^{S}

の置き換えに対応した次の関数

ϕ_{α}

の

α

についての積となるであろう：

\begin{aligned} Φ_{0} & = \prod_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} ϕ_{α}^{C} \prod_{α = 1}^{\frac{1}{2} (N - 1)} ϕ_{α}^{S}, \\ (4) & ϕ_{α}^{C} & = A_{α}^{C} \exp {- \frac{1}{2 ℏ} ω_{α} (Q_{α}^{C})^{2}}, ϕ_{α}^{C} = A_{α}^{S} \exp {- \frac{1}{2 ℏ} ω_{α} (Q_{α}^{S})^{2}} \end{aligned}

Q_{0}^{S} = 0

より

ϕ_{0}^{S} = 1

であることを考慮すると,

Φ_{0}

は次としてもよい：

Φ_{0} = \prod_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} ϕ_{α}^{C} \prod_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} ϕ_{α}^{S} = \prod_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} ϕ_{α}^{C} ϕ_{α}^{S}

また

A = \prod A_{α}^{C} A_{α}^{S}

とする．すると

\begin{aligned} Φ_{0} & = \prod_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} A_{α}^{C} \exp {- \frac{1}{2 ℏ} ω_{α} (Q_{α}^{C})^{2}} A_{α}^{S} \exp {- \frac{1}{2 ℏ} ω_{α} (Q_{α}^{S})^{2}} \\ (5) & = A \prod_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} \exp [- \frac{1}{2 ℏ} ω_{α} {(Q_{α}^{C})^{2} + (Q_{α}^{S})^{2}}] \end{aligned}

ここで, 式 (8-79) より

\begin{matrix} (6) & Q_{α}^{*} Q_{α} = \frac{1}{2} {(Q_{α}^{C})^{2} + (Q_{α}^{S})^{2}} \to (Q_{α}^{C})^{2} + (Q_{α}^{S})^{2} = 2 Q_{α}^{*} Q_{α} \end{matrix}

よって,

\begin{matrix} (7) & Φ_{0} = A \prod_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} \exp [- \frac{1}{2 ℏ} ω_{α} 2 Q_{α}^{*} Q_{α}] = A \exp [\sum_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} {- \frac{1}{2 ℏ} ω_{α} 2 Q_{α}^{*} Q_{α}}] \end{matrix}

このとき

ω_{- α} = ω_{α}

, そして

Q_{- α}^{*} Q_{- α} = Q_{α} Q_{α}^{*}

であるから,

\begin{aligned} 2 \sum_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} ω_{α} Q_{α}^{*} Q_{α} & = \sum_{α > 0} ω_{- α} Q_{- α}^{*} Q_{- α} + \sum_{α > 0} ω_{α} Q_{α}^{*} Q_{α} = \sum_{α < 0} ω_{α} Q_{α} Q_{α}^{*} + \sum_{α > 0} ω_{α} Q_{α}^{*} Q_{α} \\ (8) & = \sum_{α = - \frac{1}{2} (N - 1)}^{\frac{1}{2} (N - 1)} ω_{α} Q_{α}^{*} Q_{α} = \sum_{α = 0}^{N - 1} ω_{α} Q_{α}^{*} Q_{α} \end{aligned}

これを上式 (7) に代入すると, 基底状態の波動関数

Φ_{0}

は, 結局次に書ける：

\begin{matrix} (9) & Φ_{0} = A \exp [- \frac{1}{2 ℏ} \times 2 \sum_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} ω_{α} Q_{α}^{*} Q_{α}] = A \exp (- \frac{1}{2 ℏ} \sum_{α = 0}^{N - 1} ω_{α} Q_{α}^{*} Q_{α}) \end{matrix}