\(\)
Problem 8-4
Show that the ground-state wave function for the lagrangian of Eq. (8-78) can be written
\begin{equation}
\Phi_{0} = A\,\exp\left(-\frac{1}{2\hbar}\sum_{\alpha=0}^{N-1} \omega_{\alpha} Q^{*}_{\alpha}Q_{\alpha}\right)
\tag{8-83}
\end{equation}
\Phi_{0} = A\,\exp\left(-\frac{1}{2\hbar}\sum_{\alpha=0}^{N-1} \omega_{\alpha} Q^{*}_{\alpha}Q_{\alpha}\right)
\tag{8-83}
\end{equation}
(where \(A\) is a constant) by starting with the wave function in terms of the real variables \(Q_{\alpha}^{C}\) and \(Q_{\alpha}^{S}\).
( 解答 ) 前述の問題 8-3 に於いて，「\(Q_{\alpha}^{\,C}\) と \(Q_{\alpha}^{\,S}\) は共に基準座標であり, そして系のラグランジアン (8-78′) は, 式 (8-79) と式 (8-81) を用いると次に書ける」ことが分かった：
\begin{align}
\def\half{\frac{1}{2}}
L&=\half \sum_{\alpha=-\half(N-1)}^{\half(N-1)} \Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,*}\dot{Q}_{\alpha}
– \omega_{\alpha}^{\,2}Q_{\alpha}^{\,*} Q_{\alpha} \Big)\tag{8-78′}\\
&=\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)} \half\left\{\Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}
-\omega_{\alpha}^{2}\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}\right\}
+\sum_{\alpha=1}^{\half(N-1)} \half\left\{\Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}
-\omega_{\alpha}^{2}\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right\}\\
&=\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)} \mathscr{L}_{\alpha}^{\,C}+\sum_{\alpha=1}^{\half(N-1)} \mathscr{L}_{\alpha}^{\,S}
\tag{1}
\end{align}
\def\half{\frac{1}{2}}
L&=\half \sum_{\alpha=-\half(N-1)}^{\half(N-1)} \Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,*}\dot{Q}_{\alpha}
– \omega_{\alpha}^{\,2}Q_{\alpha}^{\,*} Q_{\alpha} \Big)\tag{8-78′}\\
&=\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)} \half\left\{\Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}
-\omega_{\alpha}^{2}\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}\right\}
+\sum_{\alpha=1}^{\half(N-1)} \half\left\{\Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}
-\omega_{\alpha}^{2}\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right\}\\
&=\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)} \mathscr{L}_{\alpha}^{\,C}+\sum_{\alpha=1}^{\half(N-1)} \mathscr{L}_{\alpha}^{\,S}
\tag{1}
\end{align}
従って, 系のラグランジアン \(L\) は \(\half(N+1)\) 個のラグランジアン \(\mathscr{L}_{\alpha}^{\,C}\) と \(\half(N-1)\) 個のラグランジアン \(\mathscr{L}_{\alpha}^{\,S}\) とを合計した \(N\) 個のラグランジアンの和として表されることになる．
また, 式 (8-2) のラグランジアンに対する基底状態の波動関数は式 (8-17) であった：
\begin{equation}
\mathscr{L}=\half \Bigl(m\dot{x}^{2}-m\omega^{2}x^{2}\Bigr)\quad\Rightarrow\quad \phi_0(x)
=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\exp\left(-\frac{1}{2\hbar}m\omega x^{2}\right)
\tag{2}
\end{equation}
\mathscr{L}=\half \Bigl(m\dot{x}^{2}-m\omega^{2}x^{2}\Bigr)\quad\Rightarrow\quad \phi_0(x)
=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\exp\left(-\frac{1}{2\hbar}m\omega x^{2}\right)
\tag{2}
\end{equation}
本文に於いて, ラグランジアン \(L\) が式 (8-57) で与えられるときに, 全系の波動関数は式 (8-62) で与えられた：
\begin{equation}
L=\half\sum_{\alpha=1}^{n} \left(\dot{Q}_{\alpha}^{\,2}-\omega_{\alpha}^{\,2}Q_{\alpha}^{\,2}\right)
\quad \rightarrow\quad \Phi=\prod_{\alpha=1}^{n}\phi_{m_{\alpha}}(Q_{\alpha})
\tag{3}
\end{equation}
L=\half\sum_{\alpha=1}^{n} \left(\dot{Q}_{\alpha}^{\,2}-\omega_{\alpha}^{\,2}Q_{\alpha}^{\,2}\right)
\quad \rightarrow\quad \Phi=\prod_{\alpha=1}^{n}\phi_{m_{\alpha}}(Q_{\alpha})
\tag{3}
\end{equation}
これと同様に考えるならば, 式 (1) と式 (2) から, 系の基底状態の波動関数 \(\Phi_0\) は, 式 (2) の \(\mathscr{L}\) に於いて
\begin{equation}
m\to 1,\quad \omega\to \omega_{\alpha},\quad x\to Q_{\alpha}^{\,C},\quad \mathrm{or}\quad x\to Q_{\alpha}^{\ S}
\end{equation}
m\to 1,\quad \omega\to \omega_{\alpha},\quad x\to Q_{\alpha}^{\,C},\quad \mathrm{or}\quad x\to Q_{\alpha}^{\ S}
\end{equation}
の置き換えに対応した次の関数 \(\phi_{\alpha}\) の \(\alpha\) についての積となるであろう：
\begin{align}
\Phi_0&=\prod_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\phi_{\alpha}^{\,C}\prod_{\alpha=1}^{\half(N-1)}\phi_{\alpha}^{\,S},\notag\\
\phi_{\alpha}^{\,C}&=A_{\alpha}^{\,C}\exp\left\{-\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha}\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}\right\},\quad
\phi_{\alpha}^{\,C}=A_{\alpha}^{\,S}\exp\left\{-\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha}\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right\}
\tag{4}
\end{align}
\Phi_0&=\prod_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\phi_{\alpha}^{\,C}\prod_{\alpha=1}^{\half(N-1)}\phi_{\alpha}^{\,S},\notag\\
\phi_{\alpha}^{\,C}&=A_{\alpha}^{\,C}\exp\left\{-\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha}\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}\right\},\quad
\phi_{\alpha}^{\,C}=A_{\alpha}^{\,S}\exp\left\{-\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha}\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right\}
\tag{4}
\end{align}
\(Q_{0}^{\,S}=0\) より \(\phi_{0}^{\,S}=1\) であることを考慮すると, \(\Phi_0\) は次としてもよい：
\begin{equation*}
\Phi_0=\prod_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\phi_{\alpha}^{\,C}\prod_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\phi_{\alpha}^{\,S}
=\prod_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\phi_{\alpha}^{\,C}\,\phi_{\alpha}^{\,S}
\end{equation*}
\Phi_0=\prod_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\phi_{\alpha}^{\,C}\prod_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\phi_{\alpha}^{\,S}
=\prod_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\phi_{\alpha}^{\,C}\,\phi_{\alpha}^{\,S}
\end{equation*}
また \(A=\prod A_{\alpha}^{\,C}A_{\alpha}^{\,S}\) とする．すると
\begin{align}
\Phi_0&=\prod_{\alpha=0}^{\half(N-1)}A_{\alpha}^{\,C}\exp\left\{-\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha}\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}\right\}
A_{\alpha}^{\,S}\exp\left\{-\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha}\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right\}\notag\\
&=A\prod_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\exp\left[-\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha}
\left\{\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}+\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right\}\right]
\tag{5}
\end{align}
\Phi_0&=\prod_{\alpha=0}^{\half(N-1)}A_{\alpha}^{\,C}\exp\left\{-\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha}\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}\right\}
A_{\alpha}^{\,S}\exp\left\{-\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha}\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right\}\notag\\
&=A\prod_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\exp\left[-\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha}
\left\{\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}+\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right\}\right]
\tag{5}
\end{align}
ここで, 式 (8-79) より
\begin{equation}
Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}=\half\left\{\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}+\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right\}\quad
\rightarrow\quad \Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}+\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}=2Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}
\tag{6}
\end{equation}
Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}=\half\left\{\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}+\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right\}\quad
\rightarrow\quad \Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}+\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}=2Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}
\tag{6}
\end{equation}
よって,
\begin{equation}
\Phi_0=A\prod_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\exp\left[-\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha} 2Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}\right]
=A\exp\left[\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\left\{ -\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha} 2Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}\right\}\right]
\tag{7}
\end{equation}
\Phi_0=A\prod_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\exp\left[-\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha} 2Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}\right]
=A\exp\left[\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\left\{ -\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha} 2Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}\right\}\right]
\tag{7}
\end{equation}
このとき \(\omega_{-\alpha}=\omega_{\alpha}\), そして \(Q_{-\alpha}^{*}Q_{-\alpha}=Q_{\alpha}Q^{*}_{\alpha}\) であるから,
\begin{align}
2\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\omega_{\alpha} Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}
&=\sum_{\alpha>0}\omega_{-\alpha}Q_{-\alpha}^{*}Q_{-\alpha}+\sum_{\alpha>0}\omega_{\alpha}Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}
=\sum_{\alpha<0}\omega_{\alpha}Q_{\alpha}Q_{\alpha}^{*}+\sum_{\alpha>0}\omega_{\alpha}Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}\notag\\
&=\sum_{\alpha=-\half(N-1)}^{\half(N-1)}\omega_{\alpha}Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}
=\sum_{\alpha=0}^{N-1}\omega_{\alpha}Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}
\tag{8}
\end{align}
2\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\omega_{\alpha} Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}
&=\sum_{\alpha>0}\omega_{-\alpha}Q_{-\alpha}^{*}Q_{-\alpha}+\sum_{\alpha>0}\omega_{\alpha}Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}
=\sum_{\alpha<0}\omega_{\alpha}Q_{\alpha}Q_{\alpha}^{*}+\sum_{\alpha>0}\omega_{\alpha}Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}\notag\\
&=\sum_{\alpha=-\half(N-1)}^{\half(N-1)}\omega_{\alpha}Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}
=\sum_{\alpha=0}^{N-1}\omega_{\alpha}Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}
\tag{8}
\end{align}
これを上式 (7) に代入すると, 基底状態の波動関数 \(\Phi_0\) は, 結局 次に書ける：
\begin{equation}
\Phi_0=A\exp\left[-\frac{1}{2\hbar}\times 2\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\omega_{\alpha} Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}\right]
=A\exp\left( -\frac{1}{2\hbar}\sum_{\alpha=0}^{N-1} \omega_{\alpha} Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha} \right)
\tag{9}
\end{equation}
\Phi_0=A\exp\left[-\frac{1}{2\hbar}\times 2\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\omega_{\alpha} Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}\right]
=A\exp\left( -\frac{1}{2\hbar}\sum_{\alpha=0}^{N-1} \omega_{\alpha} Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha} \right)
\tag{9}
\end{equation}
