
Problem 9-10
In order to study the electromagnetic energy correction , we shall consider the simplest case: that in which the matter system has only one moving charge (e.g., a hydrogen atom with an infinitely heavy nucleus or a free electron in empty space) whose coordinates we shall call . Thus . We have here a case where contains , and in considering second-order terms we must take appropriate care, as discussed in Sec. 7-3. There is an additional term to from the squared velocity term . Expressing in terms of the momentum operator , as in Sec. 7-5, we obtain
Why do we not need to be careful to write in the matrix elements?
( 解答 ) 輻射場中に物質系が存在すると, その系から光子の吸収・放出が生起する.ここでは, 電磁場中に電荷 を持って運動する荷電粒子(例えば原子内電子)が一個だけ存在する場合を考える.この系の粒子と輻射場の相互作用ハミルトニアン は次となる (前述のブログ記事中の式 (1.64) で とした場合):
しかし「輻射(電磁波)は横波である」から, ここで「
横波条件」:
を想定する(「
クーロン・ゲージ」を用いる)ならば, は に置き換えることが許される . 従って, 上式は次式のように書くことが出来る:
この相互作用によって, 粒子は光子を放出・吸収し, その粒子状態は始状態 から終状態 へ遷移する.
従って, 例えば「
放出過程」を考えるならば, その遷移行列の「行列要素」でゼロでないのは, 式 (2) の を用いて次となる (やはり前述のブログ記事中の式 (1.65) で とし偏極が の場合):
ただし とした.すなわち は, 運動量 の偏極ベクトル 方向の成分である.
次に, この相互作用ハミルトニアン に 式 (2) でなく, 「
ゲージ条件: を考慮しない式 (1) をそのまま用いて」みよう.その場合の「遷移行列」は次となる:
この結果は, 式 (3) の行列要素を次のように置き換えたものになっている:
従って, 『
輻射場は「横波の条件」(transversality condition) すなわち「クーロン・ゲージ」(Coulomb gauge) を満たす必要があることを考慮する」ならば, 行列要素中の演算子に でなく を用いる必要はないことが分かった.