問題 9-10 の解答例

Feynman-Hibbs cover

Problem 9-10
In order to study the electromagnetic energy correction δE, we shall consider the simplest case: that in which the matter system has only one moving charge (e.g., a hydrogen atom with an infinitely heavy nucleus or a free electron in empty space) whose coordinates we shall call R. Thus jk=eR˙eikR. We have here a case where jk contains R˙, and in considering second-order terms we must take appropriate care, as discussed in Sec. 7-3. There is an additional term to δE from the squared velocity term R˙2. Expressing R˙ in terms of the momentum operator p, as in Sec. 7-5, we obtain

δE1=e2m2Nd3k(2π)32πkc(|(p1eikR)NM|2+|(p2eikR)NM|2)1EMENkc(9-71)+e2md3k(2π)32πkc

Why do we not need to be careful to write 12[p1eikR+eikRp1] in the matrix elements? [1]( 注意 ) 原書では, 題意の式 (9-71) 中の行列要素が (p1eikR)NM などと書かれているが, 解答する過程で これは … Continue reading


( 解答 ) 輻射場中に物質系が存在すると, その系から光子の吸収・放出が生起する.ここでは, 電磁場中に電荷 e を持って運動する荷電粒子(例えば原子内電子)が一個だけ存在する場合を考える.この系の粒子と輻射場の相互作用ハミルトニアン HI は次となる (前述のブログ記事中の式 (1.64) で i=1 とした場合):

(1)HI=e2m(pA+Ap)+e22mc2A2

しかし「輻射(電磁波)は横波である」から, ここで「横波条件」: A=0 を想定する(「クーロン・ゲージ」を用いる)ならば, pAAp に置き換えることが許される [2]運動量 p を量子化して演算子 p=i に置き換えて, HI をハミルトニアン演算子 H^I に移行する: \begin{equation} \hat{H}_I = … Continue reading. 従って, 上式は次式のように書くことが出来る:
(2)HI=emcAp+e22mc2A2

この相互作用によって, 粒子は光子を放出・吸収し, その粒子状態は始状態 |M から終状態 |N へ遷移する.
従って, 例えば「放出過程」を考えるならば, その遷移行列の「行列要素」でゼロでないのは, 式 (2) の HI を用いて次となる (やはり前述のブログ記事中の式 (1.65) で i=1 とし偏極が r=1 の場合):
N,n1(k)+1|HI|M,n1(k)=N,n1(k)+1|{emcAp+e22mc2A2}|M,n1(k)=N,n1(k)+1|(emcAp)|M,n1(k)=emcN,n1(k)+1|{ε1(k)a1(k)ei(kxωkt)}p|M,n1(k)=emc(c22Vωk)1/2n1(k)+1|a1(k)|n1(k)N|(ei(kxωkt)ε1(k)p)|M(3)=em(2Vωk)1/2n1(k)+1N|eikxp1|Meiωkt

ただし p1=ε1(k)p とした.すなわち p1 は, 運動量 p の偏極ベクトル ε1(k) 方向の成分である.
次に, この相互作用ハミルトニアン HI に 式 (2) でなく, 「ゲージ条件: A=0 を考慮しない式 (1) をそのまま用いて」みよう.その場合の「遷移行列」は次となる:
N,n1(k)+1|HI|M,n1(k)=N,n1(k)+1|{e2mc(Ap+pA)+e22mc2A2}|M,n1(k)=N,n1(k)+1|{e2mc(Ap+pA)}|M,n1(k)=e2mcB,n1(k)+1|{(ε1(k)a1(k)ei(kxωkt))p+p(ε1(k)a1(k)ei(kxωkt))}|M,n1(k)=e2mc(c22Vωk)1/2n1(k)+1|a1(k)|n1(k)N|(ei(kxωkt)ε1(k)p+pε1(k)ei(kxωkt))|M(4)=em(2Vωk)1/2n1(k)+1N|12(eikxp1+p1eikx)|Meiωkt

この結果は, 式 (3) の行列要素を次のように置き換えたものになっている:
(5)N|eikxp1|MN|12(eikxp1+p1eikx)|M

従って, 『輻射場は「横波の条件」(transversality condition) すなわち「クーロン・ゲージ」(Coulomb gauge) を満たす必要があることを考慮する」ならば, 行列要素中の演算子に eikxp1 でなく 12(eikxp1+p1eikx) を用いる必要はないことが分かった.

References

References
1 ( 注意 ) 原書では, 題意の式 (9-71) 中の行列要素が (p1eikR)NM などと書かれているが, 解答する過程で これは (eikRp1)NM などと表記した方が良いように思われた.
2 運動量 p を量子化して演算子 p=i に置き換えて, HI をハミルトニアン演算子 H^I に移行する:
H^I=e2m{(i)A+A(i)}+e22mc2A2=ie2m(A+A)+e22mc2A2

このとき, A(x) はその右側に来る位置 x の波動関数 ψ(x) に作用する演算子であることに注意する.すると の性質から,
A(x)ψ(x)={A(x)}ψ(x)+A(x)ψ(x)

となる.しかし, 横波の条件:A=0 により, 第1項はゼロとなる.よって,
A(x)ψ(x)=A(x)ψ(x),iA=A(i),p^A=Ap^

となり, 結局 p^AAp^ で置き換えることが許されることになる.