式 (9-71) 導出の試み

問題 9-10 にも関係する式 (9-71) は, どのようにして得られたのであろうか？．自分で納得できるような導出は行えなかった．以下に示すのは, 本文の指示に従って「無理にこじつける」ことで得た導出である．

まずは, 式 (9-71) の前書き (前ブログの問題文に示した) を翻訳すると,

エネルギー補正電磁気学的エネルギーの補正 $δ E$ を検討するために, 「物質系は移動電荷を1つだけ持つ」という最も単純な場合（例えば, 無限に重い原子核を持つ水素原子や, 空っぽの空間にある自由電子）を考えることにし, その座標を $R$ とする．従って,

$\begin{matrix} (1) & j_{k} = e \dot{R} e^{- i k \cdot R} = e \frac{p}{m} e^{- i k \cdot R}, \to | j_{k} |^{2} = j_{k} \cdot j_{k}^{†} = \frac{e}{m} p e^{- i k \cdot R} \cdot \frac{e}{m} e^{i k \cdot R} p^{†} = \frac{e^{2}}{m^{2}} p^{2} \end{matrix}$

この場合 $j_{k}$ に $\dot{R}$ を含むことになり, そして 2次の項を考えるには, 7-3節で述べたように, 適切な注意が必要である．すなわち速度二乗項 ${\dot{R}}^{2}$ からの付加項が $δ E$ に追加されるのである．7-5節のように $\dot{R}$ を運動量演算子 $p$ で表わすと, 次の式が得られる：

$\begin{aligned} δ E_{1} & = \frac{e^{2}}{m^{2}} \sum_{N} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} (| (p_{1} e^{- i k \cdot R})_{N M} |^{2} + | (p_{2} e^{- i k \cdot R})_{N M} |^{2}) \frac{1}{E_{M} - E_{N} - ℏ k c} \\ (9-71) & + \frac{e^{2}}{m} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \end{aligned}$

この前書きから, 7-3節の議論を用いるべきであると推量される．最も関係する式は次の式 (7-54) 及び式 (7-99) であろう：

\begin{matrix} (7-54) & ⟨ \frac{m}{2} (\frac{x_{k + 1} - x_{k}}{ε}) (\frac{x_{k} - x_{k - 1}}{ε}) ⟩ = ⟨ \frac{m}{2} {(\frac{x_{k + 1} - x_{k}}{ε})}^{2} ⟩ + \frac{ℏ}{2 i ε} ⟨ 1 ⟩ \end{matrix}

『運動量の２乗

p^{2}

は

p p

, すなわち2つの「連続する速度」(successive velocities) に質量を掛け合わせたものに対応する』ことに注意する．これは1つの時刻に於ける速度の単純な２乗

⟨ m^{2} (x_{k + 1} - x_{k})^{2} / ε^{2} ⟩

には相当しない．なぜなら, § 7-3 , 特に式 (7-49) で見たように,

ε \to 0

のときそれは

m ℏ / i ε

として無限大に発散してしまうからである：

\begin{matrix} (7-49) & ⟨ {(\frac{(x_{k + 1} - x_{k})}{ε})}^{2} ⟩ = - \frac{ℏ}{i m ε} ⟨ 1 ⟩ = i \frac{ℏ}{m ε} ⟨ 1 ⟩ \to \infty as ε \to 0 \end{matrix}

この表現式

m ℏ / i ε

と式 (7-97) の左辺(運動量の2乗

p^{2}

に相当する)との差は,

ε \to 0

の極限では実際に

p^{2}

となる？？』．すなわち,

\begin{matrix} (7-99) & ⟨ χ | m \frac{x_{k + 1} - x_{k}}{ε} m \frac{x_{k} - x_{k - 1}}{ε} | ψ ⟩ = ⟨ χ | m^{2} \frac{(x_{k + 1} - x_{k})^{2}}{ε^{2}} | ψ ⟩ + \frac{m ℏ}{i ε} ⟨ χ | 1 | ψ ⟩ \end{matrix}

この場合に上記のことを用いるとするならば, あまり納得しないけれども,

N = M

の場合の行列要素に適用するべきなのであろうと推察し, 次として見よう：

\begin{matrix} (2) & ⟨ p^{2} ⟩ = ⟨ p_{M}^{2} ⟩ + \frac{m ℏ}{i ε^{'}} ⟨ 1 ⟩, \to ⟨ p_{M}^{2} ⟩ = ⟨ p^{2} ⟩ - \frac{m ℏ}{i ε^{'}} ⟨ 1 ⟩ \end{matrix}

従って,

| (j_{1 k})_{M M} |^{2} + | (j_{2 k})_{M M} |^{2}

はおよそ次のように書くことが出来るであろう：

\begin{aligned} | (j_{1 k})_{M M} |^{2} + | (j_{2 k})_{M M} |^{2} & = \frac{e^{2}}{m^{2}} | ⟨ p_{M}^{2} ⟩ | \\ = \frac{e^{2}}{m^{2}} | ⟨ p^{2} ⟩ - \frac{m ℏ}{i ε^{'}} ⟨ 1 ⟩ | \\ (3) & \equiv \frac{e^{2}}{m^{2}} {| ⟨ p^{2} ⟩ | - \frac{m ℏ}{Δ t}} \end{aligned}

そして式 (9-69) に於いて

N = M

の場合を抜き出して書き, それに式 (1) を当てはめてみると,

\begin{aligned} δ E & = \sum_{N \neq M} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} (| (j_{1 k})_{N M} |^{2} + | (j_{2 k})_{N M} |^{2}) P . P . (\frac{1}{E_{N} - E_{M} - ℏ k c}) \\ + \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \frac{e^{2}}{m^{2}} (p_{M}^{2})_{M M} P . P . (\frac{1}{E_{M} - E_{M} - ℏ k c}) \\ = \sum_{N \neq M} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \frac{e^{2}}{m^{2}} (| (p_{1} e^{- i k \cdot R})_{N M} |^{2} + | (p_{2} e^{- i k \cdot R})_{N M} |^{2}) \frac{1}{E_{M} - E_{N} - ℏ k c} \\ (4) & + \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \frac{e^{2}}{m^{2}} (p_{M}^{2})_{M M} (\frac{1}{- ℏ k c}) \end{aligned}

この右辺第２項は, 式 (3) を当てはめることで次のように書ける：

\begin{aligned} \int & \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \frac{e^{2}}{m^{2}} (p_{M}^{2})_{M M} (\frac{1}{- ℏ k c}) \\ = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \frac{e^{2}}{m^{2}} {| ⟨ p^{2} ⟩ | - \frac{m ℏ}{Δ t}} (\frac{1}{- ℏ k c}) \\ = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \frac{e^{2}}{m^{2}} (p^{2})_{M M} (\frac{1}{- ℏ k c}) + \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \frac{e^{2}}{m^{2}} \frac{m ℏ}{Δ t} (\frac{1}{ℏ k c}) \\ (5) & = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} {| (j_{1 k})_{M M} |^{2} + | (j_{2 k})_{M M}} (\frac{1}{E_{M} - E_{M} - ℏ k c}) + \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \frac{e^{2}}{m} \frac{ℏ}{Δ t} (\frac{1}{ℏ k c}) \end{aligned}

この式 (5) を元の式 (4) に代入する．第１項目は和

\sum_{N \neq M}

の方へ含ませてしまうならば,

\begin{aligned} δ E & = \sum_{N} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \frac{e^{2}}{m^{2}} (| (p_{1} e^{- i k \cdot R})_{N M} |^{2} + | (p_{2} e^{- i k \cdot R})_{N M} |^{2}) (\frac{1}{E_{N} - E_{M} - ℏ k c}) \\ (6) & + \frac{e^{2}}{m} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \frac{ℏ}{Δ t} (\frac{1}{ℏ k c}) \end{aligned}

ここで, 式 (9-69) に於ける光子の放射と吸収の過程は「実光子(actual photon)」の放射や吸収とは異なったもので, 一般にエネルギー保存を満たさないことに注意する．そのような光子は「仮想光子(virtual photon) 」と呼ばれる．
『エネルギー保存の制約から離れて, あらゆる可能な運動量と偏極を持つ「仮想光子」を放射したり吸収したりすることに付随する相互作用エネルギーが, エネルギーシフトの実部

δ E

を生ずるのである』．
従って, 式 (6) の最後の項中の量

ℏ k c

は, 仮想光子のエネルギー

Δ E^{'} = ℏ ω = ℏ k c

と見做せる．そして, エネルギー保存則を満たさないのであるから, 次の式を満たすような仮想光子を考えることが許されるであろう：

\begin{matrix} (7) & Δ t \cdot Δ E^{'} = ℏ \end{matrix}

これを式 (6) の第２項に用いるならば,

\begin{matrix} (8) & \frac{e^{2}}{m} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \frac{ℏ}{Δ t \cdot Δ E^{'}} = \frac{e^{2}}{m} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \frac{ℏ}{ℏ} = \frac{e^{2}}{m} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \end{matrix}

従って, エネルギーシフトの実部

δ E

の式 (6) は式 (9-71) のようになる：

\begin{aligned} δ E & = \frac{e^{2}}{m^{2}} \sum_{N} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} (| (p_{1} e^{- i k \cdot R})_{N M} |^{2} + | (p_{2} e^{- i k \cdot R})_{N M} |^{2}) \frac{1}{E_{M} - E_{N} - ℏ k c} \\ (9-71) & + \frac{e^{2}}{m} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \frac{2 π ℏ}{k c} \end{aligned}

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References
↑1	ここの文章は意味が理解できない．少しおかしいように思われた．式 (7-99) の右辺は $\infty - \infty$ 型の不定形の極限となっており, それが運動量の2乗 $p^{2}$ に相当するのであろう： $⟨ p^{2} ⟩ = ⟨ χ \| m \frac{x_{k + 1} - x_{k}}{ε} m \frac{x_{k} - x_{k - 1}}{ε} \| ψ ⟩ = ⟨ χ \| m^{2} \frac{(x_{k + 1} - x_{k})^{2}}{ε^{2}} \| ψ ⟩ - i \frac{m ℏ}{ε} ⟨ χ \| 1 \| ψ ⟩ = \infty - \infty (ε \to 0)$

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