問題 9-10 にも関係する式 (9-71) は, どのようにして得られたのであろうか？． 自分で納得できるような導出は行えなかった． 以下に示すのは, 本文の指示に従って「無理にこじつける」ことで得た導出である．
\(\)
まずは, 式 (9-71) の前書き (前ブログの問題文に示した) を翻訳すると,
エネルギー補正 電磁気学的エネルギーの補正 \(\delta E\) を検討するために, 「物質系は移動電荷を1つだけ持つ」という最も単純な場合（例えば, 無限に重い原子核を持つ水素原子や, 空っぽの空間にある自由電子）を考えることにし, その座標を \(\def\mb#1{\mathbf{#1}}\mb{R}\) とする．従って,
\begin{equation}
\mb{j}_{\mb{k}}=e\dot{\mb{R}}\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}=e\frac{\mb{p}}{m}\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}},\quad\rightarrow\quad
\big|\mb{j}_{\mb{k}}\big|^{2}=\mb{j}_{\mb{k}}\cdot\mb{j}_{\mb{k}}^{\dagger}=\frac{e}{m}\mb{p}\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\cdot\frac{e}{m}
e^{i\mb{k}\cdot\mb{R}}\mb{p}^{\dagger}=\frac{e^{2}}{m^{2}}\mb{p}^{2}
\tag{1}
\end{equation}
この場合 \(\mb{j}_{\mb{k}}\) に \(\dot{\mb{R}}\) を含むことになり, そして 2次の項を考えるには, 7-3節で述べたように, 適切な注意が必要である．すなわち速度二乗項 \(\dot{\mb{R}}^{2}\) からの付加項が \(\delta E\) に追加されるのである．7-5節のように \(\dot{\mb{R}}\) を運動量演算子 \(\mb{p}\) で表わすと, 次の式が得られる：
\begin{align}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^{2}}}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\BK#1#2{\langle #1 | #2 \rangle}
\def\BraKet#1#2#3{\langle #1 | #2 | #3 \rangle}
\def\ket#1{| #1 \rangle}
\def\bra#1{\langle #1 |}
\delta E_1 &= \frac{e^{2}}{m^{2}}\sum_{N} \int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\bigg(\big|\big(\mb{p}_1\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\big)_{NM}\big|^{2}
+\big|\big(\mb{p}_2\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\big)_{NM}\big|^{2}\bigg)
\frac{1}{E_M-E_N-\hbar kc}\notag\\
&\qquad +\frac{e^{2}}{m}\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\tag{9-71}
\end{align}
この前書きから, 7-3節の議論を用いるべきであると推量される．最も関係する式は次の式 (7-54) 及び式 (7-99) であろう：
\begin{equation}
\Big\langle \frac{m}{2}\left(\frac{x_{k+1}-x_{k}}{\varepsilon}\right)\left(\frac{x_{k}-x_{k-1}}{\varepsilon}\right)\Big\rangle
=\Big\langle \frac{m}{2}\left(\frac{x_{k+1}-x_{k}}{\varepsilon}\right)^{2}\Big\rangle +\frac{\hbar}{2i\varepsilon}\langle 1 \rangle
\tag{7-54}
\end{equation}
\Big\langle \frac{m}{2}\left(\frac{x_{k+1}-x_{k}}{\varepsilon}\right)\left(\frac{x_{k}-x_{k-1}}{\varepsilon}\right)\Big\rangle
=\Big\langle \frac{m}{2}\left(\frac{x_{k+1}-x_{k}}{\varepsilon}\right)^{2}\Big\rangle +\frac{\hbar}{2i\varepsilon}\langle 1 \rangle
\tag{7-54}
\end{equation}
『運動量の２乗 \(p^{2}\) は \(pp\), すなわち2つの「連続する速度」(successive velocities) に質量を掛け合わせたものに対応する』ことに注意する．これは1つの時刻に於ける速度の単純な２乗 \(\langle m^{2}(x_{k+1}-x_k)^{2}/\varepsilon^{2}\rangle\) には相当しない．なぜなら, § 7-3 , 特に式 (7-49) で見たように, \(\varepsilon\to 0\) のときそれは \(m\hbar/i\varepsilon\) として無限大に発散してしまうからである：
\begin{equation}
\Big\langle \left(\frac{(x_{k+1}-x_k)}{\varepsilon}\right)^{2}\Big\rangle = -\frac{\hbar}{im\varepsilon}\langle 1 \rangle= i\frac{\hbar}{m\varepsilon}\langle 1 \rangle \to \infty \quad \mathrm{as}\quad \varepsilon\to 0
\tag{7-49}
\end{equation}
\Big\langle \left(\frac{(x_{k+1}-x_k)}{\varepsilon}\right)^{2}\Big\rangle = -\frac{\hbar}{im\varepsilon}\langle 1 \rangle= i\frac{\hbar}{m\varepsilon}\langle 1 \rangle \to \infty \quad \mathrm{as}\quad \varepsilon\to 0
\tag{7-49}
\end{equation}
この表現式 \(m\hbar/i\varepsilon\) と式 (7-97) の左辺(運動量の2乗 \(p^{2}\) に相当する)との差は, \(\varepsilon\to 0\) の極限では実際に \(p^{2}\) となる？？ [1]ここの文章は意味が理解できない．少しおかしいように思われた．式 (7-99) の右辺は \(\infty – \infty\) 型の不定形の極限となっており, … Continue reading 』． すなわち,
\begin{equation}
\Big\langle \chi \Big| m\frac{x_{k+1}-x_k}{\varepsilon}m\frac{x_{k}-x_{k-1}}{\varepsilon}\Big|\psi\Big\rangle
=\Big\langle \chi \Big| m^{2}\frac{(x_{k+1}-x_k)^{2}}{\varepsilon^{2}}\Big|\psi\Big\rangle
+\frac{m\hbar}{i \varepsilon} \BraKet{\chi}{1}{\psi}
\tag{7-99}
\end{equation}
\Big\langle \chi \Big| m\frac{x_{k+1}-x_k}{\varepsilon}m\frac{x_{k}-x_{k-1}}{\varepsilon}\Big|\psi\Big\rangle
=\Big\langle \chi \Big| m^{2}\frac{(x_{k+1}-x_k)^{2}}{\varepsilon^{2}}\Big|\psi\Big\rangle
+\frac{m\hbar}{i \varepsilon} \BraKet{\chi}{1}{\psi}
\tag{7-99}
\end{equation}
この場合に上記のことを用いるとするならば, あまり納得しないけれども, \(N=M\) の場合の行列要素に適用するべきなのであろうと推察し, 次として見よう：
\begin{equation}
\langle \mb{p}^{2} \rangle = \langle \mb{p}_M^{2}\rangle + \frac{m\hbar}{i\varepsilon’}\langle 1 \rangle,\quad
\rightarrow\quad \langle \mb{p}_M^{2}\rangle = \langle \mb{p}^{2} \rangle\, – \frac{m\hbar}{i\varepsilon’}\langle 1 \rangle
\tag{2}
\end{equation}
\langle \mb{p}^{2} \rangle = \langle \mb{p}_M^{2}\rangle + \frac{m\hbar}{i\varepsilon’}\langle 1 \rangle,\quad
\rightarrow\quad \langle \mb{p}_M^{2}\rangle = \langle \mb{p}^{2} \rangle\, – \frac{m\hbar}{i\varepsilon’}\langle 1 \rangle
\tag{2}
\end{equation}
従って, \(\big|\big(j_{1\mb{k}}\big)_{MM}\big|^{2}+\big|\big(j_{2\mb{k}}\big)_{MM}\big|^{2}\) はおよそ次のように書くことが出来るであろう：
\begin{align}
\big|\big(j_{1\mb{k}}\big)_{MM}\big|^{2}+\big|\big(j_{2\mb{k}}\big)_{MM}\big|^{2}&=\frac{e^{2}}{m^{2}}\bigg|\langle\mb{p}^{2}_M\rangle\bigg|\\
&=\frac{e^{2}}{m^{2}}\bigg|\langle \mb{p}^{2} \rangle\, – \frac{m\hbar}{i\varepsilon’}\langle 1 \rangle\bigg|\\
&\equiv \frac{e^{2}}{m^{2}}\left\{\big|\langle\mb{p}^{2}\rangle\big|\, – \frac{m\hbar}{\Delta t}\right\}
\tag{3}
\end{align}
\big|\big(j_{1\mb{k}}\big)_{MM}\big|^{2}+\big|\big(j_{2\mb{k}}\big)_{MM}\big|^{2}&=\frac{e^{2}}{m^{2}}\bigg|\langle\mb{p}^{2}_M\rangle\bigg|\\
&=\frac{e^{2}}{m^{2}}\bigg|\langle \mb{p}^{2} \rangle\, – \frac{m\hbar}{i\varepsilon’}\langle 1 \rangle\bigg|\\
&\equiv \frac{e^{2}}{m^{2}}\left\{\big|\langle\mb{p}^{2}\rangle\big|\, – \frac{m\hbar}{\Delta t}\right\}
\tag{3}
\end{align}
そして式 (9-69) に於いて \(N=M\) の場合を抜き出して書き, それに式 (1) を当てはめてみると,
\begin{align}
\delta E &=\sum_{N\ne M} \int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\bigg(\big|\big(j_{1\mb{k}}\big)_{NM}\big|^{2}+\big|\big(j_{2\mb{k}}\big)_{NM}\big|^{2}\bigg)
\,\mathrm{P.P.}\left(\frac{1}{E_N-E_M-\hbar kc}\right)\\
&\quad +\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{e^{2}}{m^{2}}\big(\mb{p}^{2}_M\big)_{MM}\,\mathrm{P.P.}\left(\frac{1}{E_M-E_M-\hbar kc}\right)\\
&=\sum_{N\ne M} \int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\frac{e^{2}}{m^{2}}\bigg(\big|\big(\mb{p}_1\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\big)_{NM}\big|^{2}
+\big|\big(\mb{p}_2\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\big)_{NM}\big|^{2}\bigg)\,\frac{1}{E_M-E_N-\hbar kc}\\
&\quad +\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{e^{2}}{m^{2}}\big(\mb{p}^{2}_M\big)_{MM}\,\left(\frac{1}{-\hbar kc}\right)
\tag{4}
\end{align}
\delta E &=\sum_{N\ne M} \int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\bigg(\big|\big(j_{1\mb{k}}\big)_{NM}\big|^{2}+\big|\big(j_{2\mb{k}}\big)_{NM}\big|^{2}\bigg)
\,\mathrm{P.P.}\left(\frac{1}{E_N-E_M-\hbar kc}\right)\\
&\quad +\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{e^{2}}{m^{2}}\big(\mb{p}^{2}_M\big)_{MM}\,\mathrm{P.P.}\left(\frac{1}{E_M-E_M-\hbar kc}\right)\\
&=\sum_{N\ne M} \int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\frac{e^{2}}{m^{2}}\bigg(\big|\big(\mb{p}_1\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\big)_{NM}\big|^{2}
+\big|\big(\mb{p}_2\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\big)_{NM}\big|^{2}\bigg)\,\frac{1}{E_M-E_N-\hbar kc}\\
&\quad +\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{e^{2}}{m^{2}}\big(\mb{p}^{2}_M\big)_{MM}\,\left(\frac{1}{-\hbar kc}\right)
\tag{4}
\end{align}
この右辺第２項は, 式 (3) を当てはめることで次のように書ける：
\begin{align}
\int&\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{e^{2}}{m^{2}}\big(\mb{p}^{2}_M\big)_{MM}\,\left(\frac{1}{-\hbar kc}\right)\\
&=\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{e^{2}}{m^{2}}\bigg\{\big|\langle\mb{p}^{2}\rangle\big|\, – \frac{m\hbar}{\Delta t}\bigg\}\,\left(\frac{1}{-\hbar kc}\right)\\
&=\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{e^{2}}{m^{2}}\big(\mb{p}^{2}\big)_{MM}\,\left(\frac{1}{-\hbar kc}\right)+\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{e^{2}}{m^{2}}\frac{m\hbar}{\Delta t}
\,\left(\frac{1}{\hbar kc}\right)\\
&=\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\bigg\{\big|\big(j_{1\mb{k}}\big)_{MM}\big|^{2}+\big|\big(j_{2\mb{k}}\big)_{MM}\bigg\}\,\left(\frac{1}{E_M-E_M-\hbar kc}\right)
+\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{e^{2}}{m}\frac{\hbar}{\Delta t}
\,\left(\frac{1}{\hbar kc}\right)
\tag{5}
\end{align}
\int&\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{e^{2}}{m^{2}}\big(\mb{p}^{2}_M\big)_{MM}\,\left(\frac{1}{-\hbar kc}\right)\\
&=\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{e^{2}}{m^{2}}\bigg\{\big|\langle\mb{p}^{2}\rangle\big|\, – \frac{m\hbar}{\Delta t}\bigg\}\,\left(\frac{1}{-\hbar kc}\right)\\
&=\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{e^{2}}{m^{2}}\big(\mb{p}^{2}\big)_{MM}\,\left(\frac{1}{-\hbar kc}\right)+\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{e^{2}}{m^{2}}\frac{m\hbar}{\Delta t}
\,\left(\frac{1}{\hbar kc}\right)\\
&=\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\bigg\{\big|\big(j_{1\mb{k}}\big)_{MM}\big|^{2}+\big|\big(j_{2\mb{k}}\big)_{MM}\bigg\}\,\left(\frac{1}{E_M-E_M-\hbar kc}\right)
+\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{e^{2}}{m}\frac{\hbar}{\Delta t}
\,\left(\frac{1}{\hbar kc}\right)
\tag{5}
\end{align}
この式 (5) を元の式 (4) に代入する．第１項目は和 \(\sum_{N\ne M}\) の方へ含ませてしまうならば,
\begin{align}
\delta E &=\sum_{N} \int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\frac{e^{2}}{m^{2}}\bigg(\big|\big(\mb{p}_1\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\big)_{NM}\big|^{2}
+\big|\big(\mb{p}_2\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\big)_{NM}\big|^{2}\bigg)\,\left(\frac{1}{E_N-E_M-\hbar kc}\right)\\
&\quad +\frac{e^{2}}{m}\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{\hbar}{\Delta t}
\,\left(\frac{1}{\hbar kc}\right)
\tag{6}
\end{align}
\delta E &=\sum_{N} \int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\frac{e^{2}}{m^{2}}\bigg(\big|\big(\mb{p}_1\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\big)_{NM}\big|^{2}
+\big|\big(\mb{p}_2\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\big)_{NM}\big|^{2}\bigg)\,\left(\frac{1}{E_N-E_M-\hbar kc}\right)\\
&\quad +\frac{e^{2}}{m}\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{\hbar}{\Delta t}
\,\left(\frac{1}{\hbar kc}\right)
\tag{6}
\end{align}
ここで, 式 (9-69) に於ける光子の放射と吸収の過程は「実光子(actual photon)」の放射や吸収とは異なったもので, 一般にエネルギー保存を満たさないことに注意する．そのような光子は「仮想光子(virtual photon) 」と呼ばれる．
『エネルギー保存の制約から離れて, あらゆる可能な運動量と偏極を持つ「仮想光子」を放射したり吸収したりすることに付随する相互作用エネルギーが, エネルギーシフトの実部 \(\delta E\) を生ずるのである』．
従って, 式 (6) の最後の項中の量 \(\hbar kc\) は, 仮想光子のエネルギー \(\Delta E’ = \hbar\omega =\hbar kc\) と見做せる．そして, エネルギー保存則を満たさないのであるから, 次の式を満たすような仮想光子を考えることが許されるであろう：
\begin{equation}
\Delta t \cdot \Delta E’ =\hbar
\tag{7}
\end{equation}
\Delta t \cdot \Delta E’ =\hbar
\tag{7}
\end{equation}
これを式 (6) の第２項に用いるならば,
\begin{equation}
\frac{e^{2}}{m}\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{\hbar}{\Delta t\cdot \Delta E’}
=\frac{e^{2}}{m}\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{\hbar}{\hbar}
=\frac{e^{2}}{m}\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\tag{8}
\end{equation}
\frac{e^{2}}{m}\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{\hbar}{\Delta t\cdot \Delta E’}
=\frac{e^{2}}{m}\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}\frac{\hbar}{\hbar}
=\frac{e^{2}}{m}\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\tag{8}
\end{equation}
従って, エネルギーシフトの実部 \(\delta E\) の式 (6) は式 (9-71) のようになる：
\begin{align}
\delta E &=\frac{e^{2}}{m^{2}}\sum_{N} \int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\bigg(\big|\big(\mb{p}_1\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\big)_{NM}\big|^{2}
+\big|\big(\mb{p}_2\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\big)_{NM}\big|^{2}\bigg)\frac{1}{E_M-E_N-\hbar kc}\\
&\qquad +\frac{e^{2}}{m}\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\tag{9-71}
\end{align}
\delta E &=\frac{e^{2}}{m^{2}}\sum_{N} \int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\bigg(\big|\big(\mb{p}_1\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\big)_{NM}\big|^{2}
+\big|\big(\mb{p}_2\,e^{-i\mb{k}\cdot\mb{R}}\big)_{NM}\big|^{2}\bigg)\frac{1}{E_M-E_N-\hbar kc}\\
&\qquad +\frac{e^{2}}{m}\int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\frac{2\pi\hbar}{kc}
\tag{9-71}
\end{align}
References
| ↑1 | ここの文章は意味が理解できない．少しおかしいように思われた．式 (7-99) の右辺は \(\infty – \infty\) 型の不定形の極限となっており, それが運動量の2乗 \(p^{2}\) に相当するのであろう： \begin{equation} \langle p^{2}\rangle = \Big\langle \chi \Big| m\frac{x_{k+1}-x_k}{\varepsilon}m\frac{x_{k}-x_{k-1}}{\varepsilon}\Big|\psi\Big\rangle =\Big\langle \chi \Big| m^{2}\frac{(x_{k+1}-x_k)^{2}}{\varepsilon^{2}}\Big|\psi\Big\rangle -i\frac{m\hbar}{\varepsilon} \BraKet{\chi}{1}{\psi} = \infty – \infty \quad (\ \varepsilon \to 0\ ) \end{equation} |
|---|
