\(\)
Problem 7-3
Show that \(\displaystyle{\frac{\delta F}{\delta j(\mathbf{r},s)}}\), where
\begin{equation}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
F=\exp\left[\frac{1}{2}\int d^{3}\mb{r}_2 \int dt_2\int d^{3}\mb{r}_1 \int dt_1\,j(\mb{r}_1,t_1)j(\mb{r}_2,t_1)
R(\mb{r}_1-\mb{r}_2,t_1-t_2)\right]
\end{equation}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
F=\exp\left[\frac{1}{2}\int d^{3}\mb{r}_2 \int dt_2\int d^{3}\mb{r}_1 \int dt_1\,j(\mb{r}_1,t_1)j(\mb{r}_2,t_1)
R(\mb{r}_1-\mb{r}_2,t_1-t_2)\right]
\end{equation}
is given by
\begin{equation}
\frac{\delta F}{\delta j(\mb{x},s)}=F\int d^{3}\mb{r}\int dt\,j(\mb{r},t)\,\frac{1}{2}\big[R(\mb{r}-\mb{x},t-s)+R(\mb{x}-\mb{r},s-t)\big]
\tag{7-27}
\end{equation}
\frac{\delta F}{\delta j(\mb{x},s)}=F\int d^{3}\mb{r}\int dt\,j(\mb{r},t)\,\frac{1}{2}\big[R(\mb{r}-\mb{x},t-s)+R(\mb{x}-\mb{r},s-t)\big]
\tag{7-27}
\end{equation}
Note that the function \(j(\mb{r},t)\) is a function of the four variables \((x,y,z,t)\). Thus the single coordinate \(s\), as used in Eq. (7-14), for example, must be replaced by the set of coordinates \((x,y,z,t)\) in specifying the point at which the functional derivative is evaluated.
( 解答 ) まず題意に従って, 4元変数をギリシャ文字で表し, 例えば \(\alpha=(x,y,z,t)\) とする． すると, 上式たちは4元変数を用いて次のように書き直すことが出来る：
\begin{align}
F&=\exp\left[\frac{1}{2}\int d\beta \int d\alpha\,j(\beta)\,j(\alpha)\,R(\beta-\alpha)\right]\tag{1}\\
\frac{\delta F}{\delta j(\gamma)}&=F\,\int d\tau\,j(\tau)\frac{1}{2}\big[ R(\tau-\gamma)+R(\gamma-\tau)\big]
\tag{2}
\end{align}
F&=\exp\left[\frac{1}{2}\int d\beta \int d\alpha\,j(\beta)\,j(\alpha)\,R(\beta-\alpha)\right]\tag{1}\\
\frac{\delta F}{\delta j(\gamma)}&=F\,\int d\tau\,j(\tau)\frac{1}{2}\big[ R(\tau-\gamma)+R(\gamma-\tau)\big]
\tag{2}
\end{align}
次に式 (1) の \(\log\) をとったものを \(G\) とする：
\begin{equation}
G=\log F(\theta) =\frac{1}{2}\int d\beta \int d\alpha\,j(\beta)\,j(\alpha)\,R(\beta-\alpha)
\tag{3}
\end{equation}
G=\log F(\theta) =\frac{1}{2}\int d\beta \int d\alpha\,j(\beta)\,j(\alpha)\,R(\beta-\alpha)
\tag{3}
\end{equation}
そして \(j(\alpha)\) によるその汎関数微分を考え, それにチェーンルール (sw-10) を用いるならば,
\begin{equation}
\frac{\delta G}{\delta j(\gamma)}=\frac{\delta \log F(\theta)}{\delta j(\gamma)}
=\int d\tau\, \frac{\delta \log F(\theta)}{\delta F(\tau)}\frac{\delta F(\tau)}{\delta j(\gamma)}
\tag{4}
\end{equation}
\frac{\delta G}{\delta j(\gamma)}=\frac{\delta \log F(\theta)}{\delta j(\gamma)}
=\int d\tau\, \frac{\delta \log F(\theta)}{\delta F(\tau)}\frac{\delta F(\tau)}{\delta j(\gamma)}
\tag{4}
\end{equation}
このとき, 汎関数微分 \(\displaystyle{\frac{\delta \log F}{\delta F(\tau)}}\) は公式 (sw-1) より次となる：
\begin{align}
\frac{\delta \log F(\theta)}{\delta F(\tau)}&=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon}\Big[\log\big\{F+\varepsilon\delta(\tau-\theta)\big\}-\log F \Big]\\
&=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon}\log\left\{1+\frac{\varepsilon}{F}\delta(\tau-\theta)\right\}\\
&\simeq \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon}\frac{\varepsilon}{F}\delta(\tau-\theta)\\
&=\frac{\delta(\tau-\theta)}{F}
\tag{5}
\end{align}
\frac{\delta \log F(\theta)}{\delta F(\tau)}&=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon}\Big[\log\big\{F+\varepsilon\delta(\tau-\theta)\big\}-\log F \Big]\\
&=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon}\log\left\{1+\frac{\varepsilon}{F}\delta(\tau-\theta)\right\}\\
&\simeq \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon}\frac{\varepsilon}{F}\delta(\tau-\theta)\\
&=\frac{\delta(\tau-\theta)}{F}
\tag{5}
\end{align}
この結果を式 (4) に代入すると,
\begin{align}
&\frac{\delta G}{\delta j(\gamma)}=\frac{\delta \log F(\theta)}{\delta j(\gamma)}=\int d\tau\, \frac{1}{F}\frac{\delta F(\tau)}{\delta j(\gamma)}\delta(\tau-\theta)=\frac{1}{F}\frac{\delta F(\theta)}{\delta j(\gamma)},\\
\rightarrow&\quad \frac{\delta F(\theta)}{\delta j(\gamma)}=F\,\frac{\delta G}{\delta j(\gamma)}
\tag{6}
\end{align}
&\frac{\delta G}{\delta j(\gamma)}=\frac{\delta \log F(\theta)}{\delta j(\gamma)}=\int d\tau\, \frac{1}{F}\frac{\delta F(\tau)}{\delta j(\gamma)}\delta(\tau-\theta)=\frac{1}{F}\frac{\delta F(\theta)}{\delta j(\gamma)},\\
\rightarrow&\quad \frac{\delta F(\theta)}{\delta j(\gamma)}=F\,\frac{\delta G}{\delta j(\gamma)}
\tag{6}
\end{align}
また, 式 (3) の \(G\) の汎関数微分を式 (sw-2) を利用して求めると,
\begin{align}
\frac{\delta G}{\delta j(\gamma)}&=\frac{1}{2}\int d\beta\int d\alpha\,\frac{\delta j(\beta)}{\delta j(\gamma)}j(\alpha)
R(\beta-\alpha)+\frac{1}{2}\int d\beta\int d\alpha\,j(\beta)\frac{\delta j(\alpha)}{\delta j(\gamma)}R(\beta-\alpha)\\
&=\frac{1}{2}\int d\beta\int d\alpha\,j(\alpha)R(\beta-\alpha)\delta(\beta-\gamma)
+\frac{1}{2}\int d\beta\int d\alpha\,j(\beta)R(\beta-\alpha)\delta(\alpha-\gamma)\\
&=\frac{1}{2}\int d\alpha\,j(\alpha)R(\gamma-\alpha)+\frac{1}{2}\int d\beta\,j(\beta)R(\beta-\gamma)
\end{align}
\frac{\delta G}{\delta j(\gamma)}&=\frac{1}{2}\int d\beta\int d\alpha\,\frac{\delta j(\beta)}{\delta j(\gamma)}j(\alpha)
R(\beta-\alpha)+\frac{1}{2}\int d\beta\int d\alpha\,j(\beta)\frac{\delta j(\alpha)}{\delta j(\gamma)}R(\beta-\alpha)\\
&=\frac{1}{2}\int d\beta\int d\alpha\,j(\alpha)R(\beta-\alpha)\delta(\beta-\gamma)
+\frac{1}{2}\int d\beta\int d\alpha\,j(\beta)R(\beta-\alpha)\delta(\alpha-\gamma)\\
&=\frac{1}{2}\int d\alpha\,j(\alpha)R(\gamma-\alpha)+\frac{1}{2}\int d\beta\,j(\beta)R(\beta-\gamma)
\end{align}
ここで, 第1項も第2項もその積分変数を \(\tau\) に置き換えてしまうと(単なる書き換えである),
\begin{align}
\frac{\delta G}{\delta j(\gamma)}&=\frac{1}{2}\int d\tau\,j(\tau)R(\gamma-\tau)+\frac{1}{2}\int d\tau\,j(\tau)R(\tau-\gamma)\\
&=\int d\tau\,j(\tau)\frac{1}{2}\big[R(\gamma-\tau)+R(\tau-\gamma)\big]
\tag{7}
\end{align}
\frac{\delta G}{\delta j(\gamma)}&=\frac{1}{2}\int d\tau\,j(\tau)R(\gamma-\tau)+\frac{1}{2}\int d\tau\,j(\tau)R(\tau-\gamma)\\
&=\int d\tau\,j(\tau)\frac{1}{2}\big[R(\gamma-\tau)+R(\tau-\gamma)\big]
\tag{7}
\end{align}
以上の結果式 (6) と (7) から,
\begin{equation}
\frac{\delta F(\theta)}{\delta j(\gamma)}=F\,\int d\tau\,j(\tau)\frac{1}{2}\big[R(\gamma-\tau)+R(\tau-\gamma)\big]
\tag{8}
\end{equation}
\frac{\delta F(\theta)}{\delta j(\gamma)}=F\,\int d\tau\,j(\tau)\frac{1}{2}\big[R(\gamma-\tau)+R(\tau-\gamma)\big]
\tag{8}
\end{equation}
上式の積分変数を4元変数から通常の3次元座標と時間座標に分けて \(\gamma=(\mb{x},s), \tau=(\mb{r},t)\) と表現するならば, これは式 (7-27) に一致する：
\begin{equation}
\frac{\delta F}{\delta j(\mb{x},s)}=F\,\int d^{3}\mb{r}\int dt\,j(\mb{r},t)\frac{1}{2}\big[R(\mb{r}-\mb{x},t-s)+R(\mb{x}-\mb{r},s-t)\big]
\tag{9}
\end{equation}
\frac{\delta F}{\delta j(\mb{x},s)}=F\,\int d^{3}\mb{r}\int dt\,j(\mb{r},t)\frac{1}{2}\big[R(\mb{r}-\mb{x},t-s)+R(\mb{x}-\mb{r},s-t)\big]
\tag{9}
\end{equation}
[ 参考 ] 式 (7-27) 中の因子 \(R(\alpha-\beta)\) が偶関数である場合を考えてみよう．すると \(R(\alpha-\beta)=R(\beta-\alpha)\) であるから, 式 (8) または式 (9) は次のように書ける：
\begin{align}
\frac{\delta F(\theta)}{\delta j(\gamma)}&=F\,\int d\tau\,j(\tau)\frac{1}{2}\big[R(\gamma-\tau)+R(\tau-\gamma)\big]\\
&=F\,\int d\tau\,j(\tau)R(\tau-\gamma)\\
\mathrm{or}\quad \frac{\delta F}{\delta j(\mb{x},s)}
&=F\,\int d^{3}\mb{r}\int dt\,j(\mb{r},t)\frac{1}{2}\big[R(\mb{r}-\mb{x},t-s)+R(\mb{x}-\mb{r},s-t)\big]\\
&=F\,\int d^{3}\mb{r}\int dt\,j(\mb{r},t)R(\mb{x}-\mb{r},s-t)
\tag{10}
\end{align}
\frac{\delta F(\theta)}{\delta j(\gamma)}&=F\,\int d\tau\,j(\tau)\frac{1}{2}\big[R(\gamma-\tau)+R(\tau-\gamma)\big]\\
&=F\,\int d\tau\,j(\tau)R(\tau-\gamma)\\
\mathrm{or}\quad \frac{\delta F}{\delta j(\mb{x},s)}
&=F\,\int d^{3}\mb{r}\int dt\,j(\mb{r},t)\frac{1}{2}\big[R(\mb{r}-\mb{x},t-s)+R(\mb{x}-\mb{r},s-t)\big]\\
&=F\,\int d^{3}\mb{r}\int dt\,j(\mb{r},t)R(\mb{x}-\mb{r},s-t)
\tag{10}
\end{align}
実は, 問題文の式 (7-27) は校訂版の修正された式であり, ファインマンの原書でのその表現は上式 (10) のものであった．問題文の \(F\) にわざわざ因子 \(1/2\) を入れたのは, 結果式が上式 (10) となることを予想してのことではなかろうか？．ファインマンは, 暗黙の内に「因子 \(R(\alpha-\beta)\) は偶関数である」と考えていたのであろう．また, 問題文中の \(F\) の式に類似した式として, 第12章の § 12-4 ガウス雑音 に書かれている「特性汎関数の式 (12-43)」があるので注意する：
\begin{equation}
\Phi[k(t)]=\exp\left[-\frac{1}{2}\int dt\int dt’\,k(t)k(t’)A(t-t’)\right]
\tag{12-43}
\end{equation}
\Phi[k(t)]=\exp\left[-\frac{1}{2}\int dt\int dt’\,k(t)k(t’)A(t-t’)\right]
\tag{12-43}
\end{equation}
このときの関数 \(A(\tau)\) は「相関関数」と呼ばれる．
