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Problem 6-17
Interpret Eq. (6-72) by explaining the meaning of each term. Then explain and verify the equation for the second-order coefficient
\begin{equation}
\lambda^{(2)}_{m n} = \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^{2}\int_{t_1}^{t_2}dt_4\int_{t_1}^{t_4}dt_3\,\sum_k e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{4})/\hbar}\,V_{m k}(t_4)\,e^{-i E_{k}(t_{4}-t_{3})/\hbar}\,V_{k n}(t_3)\,e^{-iE_{n}(t_{3}-t_{1})/\hbar}
\tag{6-74}
\end{equation}
\lambda^{(2)}_{m n} = \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^{2}\int_{t_1}^{t_2}dt_4\int_{t_1}^{t_4}dt_3\,\sum_k e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{4})/\hbar}\,V_{m k}(t_4)\,e^{-i E_{k}(t_{4}-t_{3})/\hbar}\,V_{k n}(t_3)\,e^{-iE_{n}(t_{3}-t_{1})/\hbar}
\tag{6-74}
\end{equation}
(解答例) 式 (6-72) は次であった：
\begin{equation}
\lambda_{mn}^{\ (1)}=-\frac{i}{\hbar}e^{-i(E_{m} t_{2}-iE_{n} t_{1})/\hbar}\int_{t_1}^{t_2}dt_3\,V_{mn}(t_3)
\,e^{i(E_m-E_n)t_3/\hbar}
\tag{6-72}
\end{equation}
\lambda_{mn}^{\ (1)}=-\frac{i}{\hbar}e^{-i(E_{m} t_{2}-iE_{n} t_{1})/\hbar}\int_{t_1}^{t_2}dt_3\,V_{mn}(t_3)
\,e^{i(E_m-E_n)t_3/\hbar}
\tag{6-72}
\end{equation}
この式は, 式 (6-70) の「遷移振幅」( transition amplitude ) の1次の項 \(\lambda^{(1)}_{mn}\) に同値である：
\begin{equation}
\lambda_{mn}^{\ (1)}=-\frac{i}{\hbar}\int_{t_1}^{t_2}dt_3\int_{-\infty}^{\infty}dx_3\,
\phi^{*}_m(x_3)\,V(x_3,t_3)\,\phi_n(x_3)\,e^{(i/\hbar)[E_m(t_3-t_2)-E_n(t_3-t_1)]}
\tag{6.70}
\end{equation}
\lambda_{mn}^{\ (1)}=-\frac{i}{\hbar}\int_{t_1}^{t_2}dt_3\int_{-\infty}^{\infty}dx_3\,
\phi^{*}_m(x_3)\,V(x_3,t_3)\,\phi_n(x_3)\,e^{(i/\hbar)[E_m(t_3-t_2)-E_n(t_3-t_1)]}
\tag{6.70}
\end{equation}
これは「時刻 \(t_1\) から運動をして来た状態 \(\phi_n\) の自由粒子が, 時刻 \(t_2\) でポテンシャル領域中の位置 \(x_3\) で 1 回の散乱を受けて状態 \(\phi_m(x_3)\) に遷移し, その後自由粒子として運動して, 時刻 \(t_2\) に状態 \(\phi_m\) で見出される確率振幅」を表している．
次に, 式 (6-17) の第 3 項目は以下であった：
\begin{equation}
K_V^{(2)}(2,1)=\left(-\frac{i}{\hbar}\right)^{2}\int d\tau_4\int d\tau_3\,K_0(2,4)\,V(4)\,K_0(4,3)\,V(3)\,
K_0(3,1)
\tag{1}
\end{equation}
K_V^{(2)}(2,1)=\left(-\frac{i}{\hbar}\right)^{2}\int d\tau_4\int d\tau_3\,K_0(2,4)\,V(4)\,K_0(4,3)\,V(3)\,
K_0(3,1)
\tag{1}
\end{equation}
このことから「遷移振幅の 2 次の係数」\(\lambda^{(2)}_{mn}\) の意味と, 上式 (1) が式 (6-74) の形になることを確かめて行こう．式 (1) は, 下図 1 のような 2 回の散乱過程の場合の遷移核 \(K^{(2)}\) に相当するのであった．
図 1. 時刻 \(t_3\) と \(t_4\) で散乱されるとすると, 2次(2回散乱)の核 \(K_2\) に相当する 2 次の係数 \(\lambda_{mn}^{(2)}\) は, ポテンシャル領域の全ての位置 \(x_4\) と \(x_3\) で散乱経路を足し合わせたもの, すなわち積分したもの \(V_{mk}(t_4)\) と \(V_{kn}(t_3)\) を, 更に時間 \(t_4\) と \(t_3\) で積分したものとなる．
式中の各自由粒子核 \(K_0\) を, 式 (6-66) と同様に無摂動ハミルトニアン \(H_0\) の固有関数を用いて表わすならば次となる：
\begin{align}
K_0(2,4)&=K_U(2,4)=\sum_m \phi_m(x_2)\,\phi_m^{*}(x_4)\,e^{-iE_m(t_2-t_4)}\quad [\,t_2 > t_4\,],\notag\\
K_0(4,3)&=K_U(4,3)=\sum_k \phi_k(x_4)\,\phi_k^{*}(x_3)\,e^{-iE_k(t_4-t_3)}\quad [\,t_4 > t_3\,],\tag{2}\\
K_0(3,1)&=K_U(3,1)=\sum_n \phi_n(x_3)\,\phi_n^{*}(x_1)\,e^{-iE_n(t_3-t_1)}\quad [\,t_3 > t_1\,]\end{align}
K_0(2,4)&=K_U(2,4)=\sum_m \phi_m(x_2)\,\phi_m^{*}(x_4)\,e^{-iE_m(t_2-t_4)}\quad [\,t_2 > t_4\,],\notag\\
K_0(4,3)&=K_U(4,3)=\sum_k \phi_k(x_4)\,\phi_k^{*}(x_3)\,e^{-iE_k(t_4-t_3)}\quad [\,t_4 > t_3\,],\tag{2}\\
K_0(3,1)&=K_U(3,1)=\sum_n \phi_n(x_3)\,\phi_n^{*}(x_1)\,e^{-iE_n(t_3-t_1)}\quad [\,t_3 > t_1\,]\end{align}
これらを上式(1)に代入すると,
\begin{align}
&K_V^{(2)}(2,1)=\left(-\frac{i}{\hbar}\right)^{2}\int_{-\infty}^{\infty} dx_4\int_{t_1}^{t_2} dt_4
\int_{-\infty}^{\infty} dx_3\int_{t_1}^{t_4} dt_3\sum_m\sum_k\sum_n\phi_m(x_2)\,\phi_m^{*}(x_4)\notag\\
&\quad\times \,e^{-iE_m(t_2-t_4)}\,V(4)\,\phi_k(x_4)\,\phi_k^{*}(x_3)\,e^{-iE_k(t_4-t_3)}
\,V(3)\,\phi_n(x_3)\,\phi_n^{*}(x_1)\,e^{-iE_n(t_3-t_1)}\notag\\
&=-\frac{1}{\hbar^{2}}\sum_m\sum_n\phi_m(x_2)\,\phi_n^{*}(x_1)\int_{t_1}^{t_2} dt_4\int_{t_1}^{t_4} dt_3
\,\sum_k e^{-iE_m(t_2-t_4)}\notag\\
&\quad\times\int_{-\infty}^{\infty} dx_4\,\phi_m^{*}(x_4)\,V(4)\,\phi_k(x_4)\,e^{-iE_k(t_4-t_3)}
\int_{-\infty}^{\infty} dx_3\,\phi_k^{*}(x_3)\,V(3)\,\phi_n(x_3)\,e^{-iE_n(t_3-t_1)}\notag\\
&=\sum_m\sum_n\phi_m(x_2)\,\phi_n^{*}(x_1)\bigg[-\frac{1}{\hbar^{2}}\int_{t_1}^{t_2}dt_4\int_{t_1}^{t_4}dt_3
\,\sum_{k}e^{-iE_m(t_2-t_4)/\hbar}\,V_{mk}(t_4)\,e^{-iE_k(t_4-t_3)/\hbar}\notag\\
&\quad\times\,V_{kn}(t_3)\,e^{-iE_n(t_3-t_1)/\hbar}\bigg]\notag\\
&\equiv \sum_m\sum_n \lambda_{m n}^{(2)}(t_2,t_1)\phi_m(x_2)\,\phi_n^{*}(x_1)
\tag{3}
\end{align}
&K_V^{(2)}(2,1)=\left(-\frac{i}{\hbar}\right)^{2}\int_{-\infty}^{\infty} dx_4\int_{t_1}^{t_2} dt_4
\int_{-\infty}^{\infty} dx_3\int_{t_1}^{t_4} dt_3\sum_m\sum_k\sum_n\phi_m(x_2)\,\phi_m^{*}(x_4)\notag\\
&\quad\times \,e^{-iE_m(t_2-t_4)}\,V(4)\,\phi_k(x_4)\,\phi_k^{*}(x_3)\,e^{-iE_k(t_4-t_3)}
\,V(3)\,\phi_n(x_3)\,\phi_n^{*}(x_1)\,e^{-iE_n(t_3-t_1)}\notag\\
&=-\frac{1}{\hbar^{2}}\sum_m\sum_n\phi_m(x_2)\,\phi_n^{*}(x_1)\int_{t_1}^{t_2} dt_4\int_{t_1}^{t_4} dt_3
\,\sum_k e^{-iE_m(t_2-t_4)}\notag\\
&\quad\times\int_{-\infty}^{\infty} dx_4\,\phi_m^{*}(x_4)\,V(4)\,\phi_k(x_4)\,e^{-iE_k(t_4-t_3)}
\int_{-\infty}^{\infty} dx_3\,\phi_k^{*}(x_3)\,V(3)\,\phi_n(x_3)\,e^{-iE_n(t_3-t_1)}\notag\\
&=\sum_m\sum_n\phi_m(x_2)\,\phi_n^{*}(x_1)\bigg[-\frac{1}{\hbar^{2}}\int_{t_1}^{t_2}dt_4\int_{t_1}^{t_4}dt_3
\,\sum_{k}e^{-iE_m(t_2-t_4)/\hbar}\,V_{mk}(t_4)\,e^{-iE_k(t_4-t_3)/\hbar}\notag\\
&\quad\times\,V_{kn}(t_3)\,e^{-iE_n(t_3-t_1)/\hbar}\bigg]\notag\\
&\equiv \sum_m\sum_n \lambda_{m n}^{(2)}(t_2,t_1)\phi_m(x_2)\,\phi_n^{*}(x_1)
\tag{3}
\end{align}
従って \(\lambda_{m n}^{(2)}\) は確かに式 (6-74) の形になっている：
\begin{equation}
\lambda_{m n}^{(2)}(t_2,t_1)=-\frac{1}{\hbar^{2}}\int_{t_1}^{t_2}dt_4\int_{t_1}^{t_4}dt_3\,\sum_{k}
e^{-iE_m(t_2-t_4)/\hbar}\,V_{mk}(t_4)\,e^{-iE_k(t_4-t_3)/\hbar}\,V_{kn}(t_3)\,e^{-iE_n(t_3-t_1)/\hbar}
\tag{4}
\end{equation}
\lambda_{m n}^{(2)}(t_2,t_1)=-\frac{1}{\hbar^{2}}\int_{t_1}^{t_2}dt_4\int_{t_1}^{t_4}dt_3\,\sum_{k}
e^{-iE_m(t_2-t_4)/\hbar}\,V_{mk}(t_4)\,e^{-iE_k(t_4-t_3)/\hbar}\,V_{kn}(t_3)\,e^{-iE_n(t_3-t_1)/\hbar}
\tag{4}
\end{equation}
