\(\)
Problem 6-18
Derive and interpret the integral equation
\begin{equation}
\lambda_{m n}(t_{2},t_{1})=\delta_{m n}\,e^{-iE_{m}(t_{2}-t_{1})/\hbar}-\frac{i}{\hbar}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt_{3}\,e^{-iE_{m}(t_{2}-t_{3})/\hbar}\sum_{k} V_{m k}(t_{3})\,\lambda_{k n}(t_{3},t_{1})
\tag{6-75}
\end{equation}
\lambda_{m n}(t_{2},t_{1})=\delta_{m n}\,e^{-iE_{m}(t_{2}-t_{1})/\hbar}-\frac{i}{\hbar}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt_{3}\,e^{-iE_{m}(t_{2}-t_{3})/\hbar}\sum_{k} V_{m k}(t_{3})\,\lambda_{k n}(t_{3},t_{1})
\tag{6-75}
\end{equation}
(解答) 式 (6-17) の \(K_{V}\) は式 (6-19) のように書くことが出来るのであった：
\begin{equation}
K_{V}(b,a)=K_{0}(b,a)-\frac{i}{\hbar}\int d\tau_{c}\,K_{0}(b,c)\,V(c)\,K_{V}(c,a)
\tag{6.19}
\end{equation}
K_{V}(b,a)=K_{0}(b,a)-\frac{i}{\hbar}\int d\tau_{c}\,K_{0}(b,c)\,V(c)\,K_{V}(c,a)
\tag{6.19}
\end{equation}
この式 (6-19) の持つ物理的意味は § 6.2 に次のように記述されている ：
「\(a\) から \(b\) への系の遷移に対する全振幅は, 散乱の数がいくらあっても2つの選択肢の和で表される． 1つの選択肢は散乱なしに遷移が起こる振幅であり \(K_{0}\) と表される． 2番目の選択肢は1つ以上の散乱によって遷移が起こる振幅であり, 式(6-19)の第2項で表される． この第2項の点 \(c\) は最後の散乱が起こった点であると考えることが出来る． ポテンシャル場の中で系は \(a\) から \(c\) へ運動するが, その運動は \(K_{V}(c,a)\) によって厳密に記述される． そして点 \(c\) において最後の散乱が起こり,その後系は自由な系として(散乱を受けないで)点 \(b\) に到る． この運動は \(K_{0}\) によって表される」．
そして, この解釈は本文の図6-3 に示されている ：
図 6-3. (1) では, 粒子は自由粒子としてポテンシャルを通過して \(a\) から \(b\) まで動く． この振幅は \(K_{0}(b,a)\) である． (2)では, 粒子は \(V\) によって1回以上散乱される． 最後の散乱は \(c\) で起こる． \(a\) から \(c\) への運動は \(K_{V}(c,a)\) によって記述され， \(c\) から \(b\) への運動は \(K_{0}(b,c)\) によって記述される． \(c\) のあらゆる位置が考慮されるときに, (1) と (2) の状況を組み合わせたものは, あらゆる可能な場合を尽くすことになり， \(K_{V}(b,a)\) は式(6.19)の形で与えられる．
このとき, 自由粒子核を \(K_{U}\) とするならば上式は次のように表せる：
\begin{equation}
K_{V}(2,1)=K_{U}(2,1)-\frac{i}{\hbar}\int dx_{3}\int_{t_{1}}^{t_{2}} dt_{3}\,K_{U}(2,3)\,V(3)\,K_{V}(3,1)
\tag{1}
\end{equation}
K_{V}(2,1)=K_{U}(2,1)-\frac{i}{\hbar}\int dx_{3}\int_{t_{1}}^{t_{2}} dt_{3}\,K_{U}(2,3)\,V(3)\,K_{V}(3,1)
\tag{1}
\end{equation}
この式 (1) で, 自由粒子核 \(K_{U}\) を式 (6-66) の形に, そして \(K_{V}(3,1)\) に式 (6-68) の形を用いる ：
\begin{align}
K_{U}(2,1)&=\sum_{n} \phi_{n}(x_{2})\phi^{*}_{n}(x_{1})\,e^{-i E_{n}(t_{2}-t_{1})/\hbar},\quad
K_{U}(2,3)=\sum_{m} \phi_{m}(x_{2})\phi^{*}_{m} (x_{3})\,e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{3})/\hbar},\tag{6-66}\\
K_{V}(3,1)&=\sum_{n}\sum_{k} \lambda_{k n}(t_{3},t_{1})\,\phi_{k}(x_{3})\,\phi^{*}_{n}(x_{1})
\tag{6-68}
\end{align}
K_{U}(2,1)&=\sum_{n} \phi_{n}(x_{2})\phi^{*}_{n}(x_{1})\,e^{-i E_{n}(t_{2}-t_{1})/\hbar},\quad
K_{U}(2,3)=\sum_{m} \phi_{m}(x_{2})\phi^{*}_{m} (x_{3})\,e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{3})/\hbar},\tag{6-66}\\
K_{V}(3,1)&=\sum_{n}\sum_{k} \lambda_{k n}(t_{3},t_{1})\,\phi_{k}(x_{3})\,\phi^{*}_{n}(x_{1})
\tag{6-68}
\end{align}
すると, 式 (1) は \(V_{m k}\) の定義式 (6-71) も用いることで次のように書くことが出来る ：
\begin{align}
&K_{V}(2,1)=\sum_{n} \phi_{n}(x_{2})\phi^{*}_{n}(x_{1})\,e^{-i E_{n}(t_{2}-t_{1})/\hbar}\\
&\qquad-\frac{i}{\hbar}\int dx_{3}\int_{t_{1}}^{t_{2}} dt_{3}\,\sum_{m} \phi_{m}(x_{2})\phi^{*}_{m}(x_{3})\,
e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{3})/\hbar}\,V(3)\,\sum_{n}\sum_{k}\lambda_{k n}(t_{3},t_{1})\phi_{k}(x_{3})\,\phi_{n}^{*}(x_{1})\\
&\quad=\sum_{n}\sum_{m}\delta_{m n}\,e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{1})/\hbar}\phi_{m}(x_{2})\,\phi_{n}^{*}(x_{1})\\
&\qquad -\frac{i}{\hbar}\sum_{m}\sum_{n}\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt_{3}\,e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{3})/\hbar}
\sum_{k} \underbrace{\int dx_{3}\,\phi^{*}_{m}(x_{3})\,V(3)\,\phi_{k}(x_{3})}_{V_{m k}(t_{3})}\,\lambda_{k n}(t_{3},t_{1})\phi_{m}(x_{2})\,\phi_{n}^{*}(x_{1})\\
&\quad=\sum_{n}\sum_{m}\left\{\delta_{m n}\,e^{-iE_{m}(t_{2}-t_{1})/\hbar}-\frac{i}{\hbar}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt_{3}\,e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{3})/\hbar}\sum_{k} V_{m k}(t_{3})\,\lambda_{k n}(t_{3},t_{1})\right\}
\phi_{m}(x_{2})\,\phi_{n}^{*}(x_{1})\tag{2}\\
&\quad\equiv \sum_{n}\sum_{m} \lambda_{m n}(t_{2},t_{1})\,\phi_{m}(x_{2})\,\phi_{n}^{*}(x_{1})
\tag{3}
\end{align}
&K_{V}(2,1)=\sum_{n} \phi_{n}(x_{2})\phi^{*}_{n}(x_{1})\,e^{-i E_{n}(t_{2}-t_{1})/\hbar}\\
&\qquad-\frac{i}{\hbar}\int dx_{3}\int_{t_{1}}^{t_{2}} dt_{3}\,\sum_{m} \phi_{m}(x_{2})\phi^{*}_{m}(x_{3})\,
e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{3})/\hbar}\,V(3)\,\sum_{n}\sum_{k}\lambda_{k n}(t_{3},t_{1})\phi_{k}(x_{3})\,\phi_{n}^{*}(x_{1})\\
&\quad=\sum_{n}\sum_{m}\delta_{m n}\,e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{1})/\hbar}\phi_{m}(x_{2})\,\phi_{n}^{*}(x_{1})\\
&\qquad -\frac{i}{\hbar}\sum_{m}\sum_{n}\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt_{3}\,e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{3})/\hbar}
\sum_{k} \underbrace{\int dx_{3}\,\phi^{*}_{m}(x_{3})\,V(3)\,\phi_{k}(x_{3})}_{V_{m k}(t_{3})}\,\lambda_{k n}(t_{3},t_{1})\phi_{m}(x_{2})\,\phi_{n}^{*}(x_{1})\\
&\quad=\sum_{n}\sum_{m}\left\{\delta_{m n}\,e^{-iE_{m}(t_{2}-t_{1})/\hbar}-\frac{i}{\hbar}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt_{3}\,e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{3})/\hbar}\sum_{k} V_{m k}(t_{3})\,\lambda_{k n}(t_{3},t_{1})\right\}
\phi_{m}(x_{2})\,\phi_{n}^{*}(x_{1})\tag{2}\\
&\quad\equiv \sum_{n}\sum_{m} \lambda_{m n}(t_{2},t_{1})\,\phi_{m}(x_{2})\,\phi_{n}^{*}(x_{1})
\tag{3}
\end{align}
このとき, 前段の式(2)の \(\{\ \}\) 中が, 最終式(3)の \(\lambda_{m n}(t_{2},t_{1})\) であることは明らかである． よって,
\begin{equation}
\lambda_{m n}(t_{2},t_{1})=\delta_{m n}\,e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{1})/\hbar}-\frac{i}{\hbar}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt_{3}\,e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{3})/\hbar}\sum_{k} V_{m k}(t_{3})\,\lambda_{k n}(t_{3},t_{1})
\tag{3}
\end{equation}
\lambda_{m n}(t_{2},t_{1})=\delta_{m n}\,e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{1})/\hbar}-\frac{i}{\hbar}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt_{3}\,e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{3})/\hbar}\sum_{k} V_{m k}(t_{3})\,\lambda_{k n}(t_{3},t_{1})
\tag{3}
\end{equation}
この式 (3) が示す物理的意味は上述の式(6-19)と同じである．すなわち, 終状態の波動関数 \(\psi(x_{2},t_{2})\) を無摂動ハミルトニアンの固有関数 \(\phi(x_{2})\) で展開したとき \(\lambda_{m n}\) を用いて,
\begin{equation}
\psi(x_{2},t_{2})=\sum_{m} \lambda_{m n}(t_{2},t_{1})\,\phi_{m}(x_{2})
\tag{4}
\end{equation}
\psi(x_{2},t_{2})=\sum_{m} \lambda_{m n}(t_{2},t_{1})\,\phi_{m}(x_{2})
\tag{4}
\end{equation}
と表せるのであったから, これに式(3)の \(\lambda_{m n}\) を代入するならば,
\begin{align}
\psi(x_{2},t_{2})&=\sum_{m}\delta_{m n}\phi_{m}(x_{2})\, e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{1})/\hbar}-\sum_{m}\frac{i}{\hbar}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt_{3}\,e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{3})/\hbar}\sum_{k} V_{m k}(t_{3})\,\lambda_{k n}(t_{3},t_{1})\phi_{m}(x_{2})\\
&\equiv \phi_{n}(x_{2})\,e^{-i E_{n}(t_{2}-t_{1})/\hbar}+\sum_{m}\lambda_{m n}(t_{2},t_{1})\,\phi_{m}(x_{2})
\tag{5}
\end{align}
\psi(x_{2},t_{2})&=\sum_{m}\delta_{m n}\phi_{m}(x_{2})\, e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{1})/\hbar}-\sum_{m}\frac{i}{\hbar}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}dt_{3}\,e^{-i E_{m}(t_{2}-t_{3})/\hbar}\sum_{k} V_{m k}(t_{3})\,\lambda_{k n}(t_{3},t_{1})\phi_{m}(x_{2})\\
&\equiv \phi_{n}(x_{2})\,e^{-i E_{n}(t_{2}-t_{1})/\hbar}+\sum_{m}\lambda_{m n}(t_{2},t_{1})\,\phi_{m}(x_{2})
\tag{5}
\end{align}
となる．このとき第1項目は散乱を受けずに状態 \(n\) に留まる確率振幅であり, 第2項目は散乱を受けて他の状態 \(m\) たちへ遷移する確率振幅すなわち「遷移振幅」である．
ただし, 第2項目に於ける状態 \(n\) に見出される振幅すなわち「\(m=n\) のときの遷移振幅 \(\lambda_{n n}\)」というのは, 本文で後述されているように「ポテンシャル \(V\) による状態 \(n\) からの散乱が可能な振幅と解釈するべき」である．
