問題 9-7 の解答例

Feynman-Hibbs cover
\(\)
Problem 9-7
Show, for the vacuum state, the mean value of \(a_{1\mathbf{k}}^{*}a_{1\mathbf{l}}\) is \((\hbar/2kc)\delta_{\mathbf{k}\mathbf{l}}\). Develop a formula for the mean of \(\big(a_{1\mathbf{k}}^{*}a_{1\mathbf{k}}\big)^{r}\) for integral \(r\) and explain thereby how the mean of such quantities as \(\big(a_{1\mathbf{k}}^{*}a_{1\mathbf{k}}\big)^{r}\big(a_{1\mathbf{p}}^{*}a_{1\mathbf{p}}\big)^{s}\) can be got for \(\mathbf{p}\neq\mathbf{k}\). Show that the mean of \((a_{1\mathbf{k}})^{2}\) or \((a^{*}_{1\mathbf{k}})^{2}\) vanishes. Show that the mean of the product of any odd number of \(a\)’s is zero and that you can compute the expectation value of any product of \(a\)’s or \(a^{*}\)’s for the vacuum state.[1]校訂版では mean を expectation に書き換えている．しかし, 式 (8-84) で与えられる期待値の定義と, 式 (5-46) … Continue reading

( 解答 )　問題 8-5 より, 真空状態即ち基底状態 \(\varPhi_0\) に於ける \(F=Q^{*}_{\alpha}Q_{\beta}\) の期待値は, 式( 8.85)で 与えられることを確認した：

\begin{align}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^{2}}}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\ket#1{| #1 \rangle}
\def\bra#1{\langle #1 |}
\def\BraKet#1#2#3{\langle #1 | #2 | #3 \rangle}
\def\BK#1#2{\langle #1 \,|\, #2 \rangle}
\def\sbra{\langle}
\def\sket{\rangle}
\langle F \rangle &=\BraKet{\varPhi_0}{Q^{*}_{\alpha}Q_{\beta}}{\varPhi_0}=\int dQ_0\int dQ_1\dotsb\int dQ_{N-1}\,
\varPhi_0^{*}Q^{*}_{\alpha}Q_{\beta}\varPhi_0\notag\\
&=\frac{\hbar}{2\omega_{\alpha}}\,\delta_{\alpha\,\beta}\,\BraKet{\varPhi_0}{1}{\varPhi_0}
\tag{1}
\end{align}

またこの場合の「基準座標 \(Q_0,\dotsb,Q_{N-1}\) は \(a_{1\mb{k}},\,a_{2\mb{k}}\dotsb\) を考える」のであった．よって, 基底状態 \(\varPhi_0\) を式 (9-43) の規格化された波動関数とすれば， \(F=a_{1\mb{k}}^{*}a_{1\mb{l}}\) の平均値すなわち期待値は次となる (\(\omega_k=kc\) に注意する)：
\begin{align}
\BraKet{\varPhi_0}{a_{1\mb{k}}^{*}a_{1\mb{l}}}{\varPhi_0}&=\frac{\hbar}{2\omega_{k}}\,\delta_{\mb{k}\,\mb{l}}\,
\BraKet{\varPhi_0}{1}{\varPhi_0}=\frac{\hbar}{2kc}\delta_{\mb{k}\,\mb{l}}\,\int dx\, \varPhi^{*}_0(x)\varPhi_0(x)\notag\\
&=\frac{\hbar}{2kc}\delta_{\mb{k}\,\mb{l}}
\tag{2}
\end{align}

次以降の課題に対しては, 基準座標 \(Q_i\) の表記による一般化した議論を行うことにする．その際に, 複素座標 \(Q_\alpha\) を用いる場合には \(Q_\alpha^{*}=Q_{-\alpha}\) であるから, それを式 (8-79) のようにそれを2つの実数座標 \(Q^{C},\,Q^{S}\) で表わし, それらを \(N\) 個の基準座標とすればよいことに注意する．
\begin{equation}
Q_\alpha=\reverse{\sqrt{2}}\Bigl(Q^{C}_\alpha-iQ^{S}_\alpha\Bigr),\quad\rightarrow\quad
Q^{C}_{\alpha}=\reverse{\sqrt{2}}\Bigl(Q_\alpha+Q_{-\alpha}\Bigr),\quad
Q^{S}_{\alpha}=\frac{i}{\sqrt{2}}\Bigl(Q_\alpha-Q_{-\alpha}\Bigr)
\tag{3}
\end{equation}

問題 8-5 での議論から, \(Q^{C}_{\alpha}\) と \(Q^{S}_{\alpha}\) を一緒にしたものを \(N\) 個の基準座標 \(Q_i\) とするならば, 基底状態 \(\varPhi_0\) はそれらの基準座標 \(Q_i\) の実関数 \(\phi_i(Q_i)\) の \(N\) 個の積で表わすことが出来た．そして基底状態 \(\varPhi_0\) 及び \(\BraKet{\varPhi_0}{F}{\varPhi_0}\) は次で与えられた：
\begin{align}
&\varPhi_0=A\exp\left\{-\reverse{2\hbar}\sum_{\alpha}\omega_{\alpha}Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha}\right\}
=A\prod_{\alpha=0}^{\reverse{2}(N-1)} \exp\left\{-\frac{\omega_{\alpha}}{2\hbar}Q_{\alpha}^{\,C\,2}\right\}
\exp\left\{-\frac{\omega_{\alpha}}{2\hbar}Q_{\alpha}^{\,S\,2}\right\}\notag\\
&\quad\equiv A\,\phi_0(Q_0)\phi_1(Q_1)\dotsb\phi_{N-2}(Q_{N-2})\phi_{N-1}(Q_{N-1}),\quad
\phi_i(Q_i)=\exp\left(-\frac{\omega_i}{2\hbar}Q_i^{\,2}\right),
\tag{4}\\
\BraKet{\varPhi_0}{F}{\varPhi_0}&=\int dQ_0\dotsb dQ_{N-1}\,\varPhi_0^{\,*}F\varPhi_0\notag\\
&=|A|^{2}\idotsint dQ_0^{\,C}\dotsb dQ_{\reverse{2}(N-1)}^{\,C}dQ_0^{\,S}\dotsb dQ_{\reverse{2}(N-1)}^{\,S}
\prod_{\mu=0}^{\reverse{2}(N-1)}\exp\left\{-\frac{\omega_{\mu}}{\hbar}Q_{\mu}^{\,C\,2}\right\}\,F\notag\\
&\qquad\times \prod_{\nu=0}^{\reverse{2}(N-1)}\exp\left\{-\frac{\omega_{\nu}}{\hbar}Q_{\nu}^{\,S\,2}\right\}
\tag{5}
\end{align}

この場合の \(F=(Q^{\,*}_{\alpha}Q_{\beta})^{r}\) または \((Q^{\,*}_{\alpha}Q_{\alpha})^{r}\) は, 問題 8-5の 式 (3) と2項定理から,
\begin{align}
&(Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\beta})^{r}=\reverse{2^{r}}\left(Q_{\alpha}^{\,C}+iQ_{\alpha}^{\,S}\right)^{r}
\left(Q_{\beta}^{\,C}-iQ_{\beta}^{\,S}\right)^{r}
=\reverse{2^{r}}\sum_{m=0}^{r} {}_r\mathrm{C}_m\,(Q_{\alpha}^{\,C})^{r-m}(iQ_{\alpha}^{\,S})^{m}
\sum_{n=0}^{r} {}_r\mathrm{C}_n\,(Q_{\alpha}^{\,C})^{r-n}(-iQ_{\alpha}^{\,S})^{n},\notag\\
&(Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha})^{r}=\reverse{2^{r}}\left(Q_{\alpha}^{\,C\,2}+Q_{\alpha}^{\,S\,2}\right)^{r}
=\reverse{2^{r}}\sum_{m=0}^{r} {}_r\mathrm{C}_m\,(Q_{\alpha}^{\,C})^{2(r-m)}(Q_{\alpha}^{\,S\,2})^{2m}
\tag{6}
\end{align}

従って \(F=(Q^{\,*}_{\alpha}Q_{\beta})^{r}\) の場合 (ただし \(\alpha\neq\beta\) ), 式 (5) は
\begin{equation*}
\sbra F\sket=\BraKet{\varPhi_0}{(Q^{*}_{\alpha}Q_{\beta})^{r}}{\varPhi_0}
=\int dQ_0\int dQ_1\dotsb\int dQ_{N-1}\,\varPhi_0^{*}\,(Q^{*}_{\alpha}Q_{\beta})^{r}\,\varPhi_0
\end{equation*}

である．従って,
\begin{align}
\sbra F\sket&=|A|^{2}\prod_{\gamma\neq \alpha,\,\beta} \int dQ_{\gamma}^{\,C}
\exp\left(-\frac{\omega_{\gamma}}{\hbar}Q_{\gamma}^{\,C\,2}\right)\int dQ_{\gamma}^{\,S}
\exp\left(-\frac{\omega_{\gamma}}{\hbar}Q_{\gamma}^{\,S\,2}\right)\notag\\
&\times\int dQ_{\alpha}^{\,C}\int dQ_{\alpha}^{\,S}\int dQ_{\beta}^{\,C}\int dQ_{\beta}^{\,S}
\reverse{2^{r}}\sum_{m=0}^{r} {}_r\mathrm{C}_m\,(Q_{\alpha}^{\,C})^{r-m}(iQ_{\alpha}^{\,S})^{m}
\sum_{n=0}^{r} {}_r\mathrm{C}_n\,(Q_{\beta}^{\,C})^{r-n}(-iQ_{\beta}^{\,S})^{n}\notag\\
&\times\exp\left(-\frac{\omega_{\alpha}}{\hbar}Q_{\alpha}^{\,C\,2}\right)
\exp\left(-\frac{\omega_{\alpha}}{\hbar}Q_{\alpha}^{\,S\,2}\right)\exp\left(-\frac{\omega_{\beta}}{\hbar}
Q_{\beta}^{\,C\,2}\right)\exp\left(-\frac{\omega_{\beta}}{\hbar}Q_{\beta}^{\,S\,2}\right)
\tag{7}
\end{align}

この式中の積分を \(I_1\) 及び \(I_2\) とする：
\begin{align}
I_1&\equiv \int dQ_{\gamma}^{\,C}
\exp\left(-\frac{\omega_{\gamma}}{\hbar}Q_{\gamma}^{\,C\,2}\right)\int dQ_{\gamma}^{\,S}
\exp\left(-\frac{\omega_{\gamma}}{\hbar}Q_{\gamma}^{\,S\,2}\right),\notag\\
I_2&\equiv \int dQ_{\alpha}^{\,C}\int dQ_{\alpha}^{\,S}\int dQ_{\beta}^{\,C}\int dQ_{\beta}^{\,S}
\reverse{2^{r}}\sum_{m=0}^{r} {}_r\mathrm{C}_m\,(Q_{\alpha}^{\,C})^{r-m}(iQ_{\alpha}^{\,S})^{m}
\sum_{n=0}^{r} {}_r\mathrm{C}_n\,(Q_{\beta}^{\,C})^{r-n}(-iQ_{\beta}^{\,S})^{n}\notag\\
&\quad \times\exp\left(-\frac{\omega_{\alpha}}{\hbar}Q_{\alpha}^{\,C\,2}\right)
\exp\left(-\frac{\omega_{\alpha}}{\hbar}Q_{\alpha}^{\,S\,2}\right)\exp\left(-\frac{\omega_{\beta}}{\hbar}
Q_{\beta}^{\,C\,2}\right)\exp\left(-\frac{\omega_{\beta}}{\hbar}Q_{\beta}^{\,S\,2}\right)
\end{align}

まず, 積分 \(I_1\) はファインマン=ヒッブスの巻末にある次の公式
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^{2}}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\tag{8}\]
を利用して計算できる：
\begin{equation}
I_1 =\int dQ_{\gamma}^{\,C}\exp\left(-\frac{\omega_{\gamma}}{\hbar}Q_{\gamma}^{\,C\,2}\right)
\int dQ_{\gamma}^{\,S}\exp\left(-\frac{\omega_{\gamma}}{\hbar}Q_{\gamma}^{\,S\,2}\right)
=\left(\sqrt{\frac{\pi\hbar}{\omega_\gamma}}\,\right)^{2}=\frac{\pi\hbar}{\omega_\gamma}
\tag{9}
\end{equation}

また積分 \(I_2\) については, 式 (8) を部分積分することで, 次の公式が得られることに注意する．ただし \(b=0\) の場合には, 明らかに \((b-1)!!\to 1\) とすべきことに注意する： [2]式(10)の公式が成立するすることは,以下のように示すことが出来る： \(r\) が奇数のときは被積分関数は奇関数となるので明らかにゼロとなる．\(r\) … Continue reading
\[\def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}\int_{-\infty}^{\infty} x^{b}\,e^{-ax^{2}}\,dx=
\begin{cases}\ds{\frac{(b-1)!!}{(2a)^{b/2}}\sqrt{\frac{\pi}{a}}} & b:\text{even}\\ \quad 0 & b:\text{odd} \end{cases}\tag{10}\]
ただし, \(n!!\) は次を表わす (岩波：数学公式に用いられている記号に従った)：
\[n!!=\begin{cases} n(n-2)(n-4)\dotsb 4\cdot 2 & [\,n:\text{偶数}\,]\\
n(n-2)(n-4)\dotsb 3\cdot1 & [\,n:\text{奇数}\,]\end{cases}\tag{11}\]
積分 \(I_2\) は, この結果を利用することで計算できる．
\begin{align*}
I_2&=\reverse{2^{r}}\sum_{m=0}^{r}\sum_{n=0}^{r}\,i^{m-n}\,{}_r\mathrm{C}_m\,{}_r\mathrm{C}_n
\int dQ_{\alpha}^{\,C}(Q_{\alpha}^{\,C})^{r-m}\exp\left(-\frac{\omega_{\alpha}}{\hbar}Q_{\alpha}^{\,C\,2}\right)
\int dQ_{\alpha}^{\,S}(Q_{\alpha}^{\,S})^{m}\exp\left(-\frac{\omega_{\alpha}}{\hbar}Q_{\alpha}^{\,S\,2}\right)\\
&\quad \times\int dQ_{\beta}^{\,C}(Q_{\beta}^{\,C})^{r-n}\exp\left(-\frac{\omega_{\beta}}{\hbar}
Q_{\beta}^{\,C\,2}\right)\int dQ_{\beta}^{\,S}(Q_{\beta}^{\,S})^{n}\exp\left(-\frac{\omega_{\beta}}{\hbar}
Q_{\beta}^{\,S\,2}\right)
\end{align*}
結果は \(r\) が偶数の場合のみ次となる：
\begin{align}
I_2 &=\reverse{2^{r}}\sum_{m=0}^{r}\sum_{n=0}^{r}\,i^{\,m-n}\,{}_r\mathrm{C}_m\,{}_r\mathrm{C}_n
\frac{\hbar^{(r-m)/2}(r-m-1)!!}{(2\omega_{\alpha})^{(r-m)/2}}\sqrt{\frac{\pi\hbar}{\omega_{\alpha}}}\times
\frac{\hbar^{m/2}(m-1)!!}{(2\omega_{\alpha})^{m/2}}\sqrt{\frac{\pi\hbar}{\omega_{\alpha}}}\notag\\
&\quad\times\frac{\hbar^{(r-n)/2}(r-n-1)!!}{(2\omega_{\beta})^{(r-n)/2}}\sqrt{\frac{\pi\hbar}{\omega_{\beta}}}
\times\frac{\hbar^{n/2}(n-1)!!}{(2\omega_{\beta})^{n/2}}\sqrt{\frac{\pi\hbar}{\omega_{\beta}}}\notag\\
&=\left(\frac{\hbar}{4\sqrt{\omega_{\alpha}\omega_{\beta}}}\right)^{r}\frac{\pi\hbar}{\omega_{\alpha}}\cdot
\frac{\pi\hbar}{\omega_{\beta}}\sum_{m=0}^{r}\sum_{n=0}^{r}\,i^{\,m-n}\,{}_r\mathrm{C}_m\,{}_r\mathrm{C}_n
\,(r-m-1)!!(m-1)!!(r-n-1)!!(n-1)!!\notag\\
&=\left(\frac{\hbar}{4\sqrt{\omega_{\alpha}\omega_{\beta}}}\right)^{r}\frac{\pi\hbar}{\omega_{\alpha}}\cdot
\frac{\pi\hbar}{\omega_{\beta}}\sum_{m=0}^{r}\sum_{n=0}^{r}\,i^{\,m-n}\frac{r!}{m!!(r-m)!!}
\frac{r!}{n!!(r-n)!!}
\tag{12}
\end{align}

ただし, この場合にも \(m,\,n\) が奇数の項はやはりゼロになることに注意するならば, これは次のように書き直すことが出来る：
\begin{align}
I_2 &=\left(\frac{\hbar}{4\sqrt{\omega_{\alpha}\omega_{\beta}}}\right)^{r}
\frac{\pi\hbar}{\omega_{\alpha}}\cdot\frac{\pi\hbar}{\omega_{\beta}}\sum_{j=0}^{r/2}\sum_{k=0}^{r/2}\,
(-1)^{j-k}\,\frac{r!}{(2j)!!(r-2j)!!}\cdot\frac{r!}{(2k)!!(r-2k)!!}
\tag{13}
\end{align}

すると,　式 (9) と (12) 及び問題 8-5 の結果式 (14) から, 式 (7) は \(r\) が偶数の場合には次式になる：
\begin{align}
&\BraKet{\varPhi_0}{(Q^{*}_{\alpha}Q_{\beta})^{r}}{\varPhi_0}
=|A|^{2}\left\{\prod_{\gamma\neq\alpha,\,\beta}^{\reverse{2}(N-1)}\frac{\pi\hbar}{\omega_{\gamma}}\right\}\times
\frac{\pi\hbar}{\omega_{\alpha}}\cdot\frac{\pi\hbar}{\omega_{\beta}}
\left(\frac{\hbar}{4\sqrt{\omega_{\alpha}\omega_{\beta}}}\right)^{r}\notag\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\times\sum_{j=0}^{r/2}\sum_{k=0}^{r/2}\,
(-1)^{j-k}\,\frac{r!}{(2j)!!(r-2j)!!}\cdot\frac{r!}{(2k)!!(r-2k)!!}\notag\\
&=\BraKet{\varPhi_0}{1}{\varPhi_0}\left(\frac{\hbar}{4\sqrt{\omega_{\alpha}\omega_{\beta}}}\right)^{r}
\sum_{j=0}^{r/2}\sum_{k=0}^{r/2}\,(-1)^{j-k}\,\frac{r!}{(2j)!!(r-2j)!!}\cdot\frac{r!}{(2k)!!(r-2k)!!}
\tag{14}
\end{align}

\(r\) が奇数の場合には, 式 (7) はゼロとなることは明らかである．

次に \(F=(Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha})^{r}\) の場合を考えると, 式 (5) は次となる：

\begin{align}
\sbra F\sket&=\BraKet{\varPhi_0}{(Q^{*}_{\alpha}Q_{\alpha})^{r}}{\varPhi_0}
=\int dQ_0\int dQ_1\dotsb\int dQ_{N-1}\,\varPhi_0^{*}\,(Q^{*}_{\alpha}Q_{\alpha})^{r}\,\varPhi_0\notag\\
&=|A|^{2}\prod_{\gamma\neq \alpha}\int dQ_{\gamma}^{\,C}
\exp\left(-\frac{\omega_{\gamma}}{\hbar}Q_{\gamma}^{\,C\,2}\right)\int dQ_{\gamma}^{\,S}
\exp\left(-\frac{\omega_{\gamma}}{\hbar}Q_{\gamma}^{\,S\,2}\right)\notag\\
&\times\reverse{2^{r}}\sum_{m=0}^{r}\,{}_r\mathrm{C}_m\,\int dQ_{\alpha}^{\,C}\,(Q_{\alpha}^{\,C})^{2(r-m)}
\exp\left(-\frac{\omega_{\alpha}}{\hbar}Q_{\alpha}^{\,C\,2}\right)\int dQ_{\alpha}^{\,S}
\,(Q_{\alpha}^{\,S})^{2m}\exp\left(-\frac{\omega_{\alpha}}{\hbar}Q_{\alpha}^{\,S\,2}\right)
\tag{15}
\end{align}

この場合どちらの \(dQ_{\alpha}\) 積分も, 式 (10) で \(b\) が偶数の場合の積分となる．上の場合と同様な手順によって, 結果は次となる．ただし \(m=1\) のときは, 式 (10) の \(b=0\) の場合に相当するから \(\{2(r-m)-1\}!!\to 1\) とすることに注意する：
\begin{align}
\BraKet{\varPhi_0}{(Q^{*}_{\alpha}Q_{\alpha})^{r}}{\varPhi_0}
&=\BraKet{\varPhi_0}{1}{\varPhi_0}\reverse{2^{r}}\sum_{m=0}^{r}\,{}_r\mathrm{C}_m
\,\frac{\hbar^{r-m}\{2(r-m)-1\}!!}{(2\omega_{\alpha})^{r-m}}\frac{\hbar^{m}(2m-1)!!}{(2\omega_{\alpha})^{m}}\notag\\
&=\left(\frac{\hbar}{4\omega_{\alpha}}\right)^{r}\BraKet{\varPhi_0}{1}{\varPhi_0}\sum_{m=0}^{r}
\,{}_r\mathrm{C}_m\,\{2(r-m)-1\}!!(2m-1)!!\notag\\
&=\left(\frac{\hbar}{4\omega_{\alpha}}\right)^{r}\BraKet{\varPhi_0}{1}{\varPhi_0}\sum_{m=0}^{r}\,
\frac{r!\{2(r-m)-1\}!!(2m-1)!!}{m!(r-m)!}
\tag{16}
\end{align}

以上の結果について, 式 (1) に相当する \(\BraKet{\varPhi_0}{Q^{*}_{\alpha}Q_{\beta}}{\varPhi_0}\) を検討して見よう． \(\alpha\neq\beta\) の場合は, 式 (14) で \(r=1\) の場合であるからゼロである． \(\alpha=\beta\) の場合は, 式 (16) に於いて \(r=1\) の場合であり, 確かに結果が式 (1) の結果と一致することが分かる：
\begin{equation*}
\BraKet{\varPhi_0}{Q^{*}_{\alpha}Q_{\alpha}}{\varPhi_0}=\frac{\hbar}{4\omega_{\alpha}}
\BraKet{\varPhi_0}{1}{\varPhi_0}\times 2=\frac{\hbar}{2\omega_{\alpha}}\BraKet{\varPhi_0}{1}{\varPhi_0}
\end{equation*}

今度は, \(F=(Q_{\alpha}^{\,*}Q_{\alpha})^{r}(Q_{\beta}^{\,*}Q_{\beta})^{s}\) の場合を考えると, 式 (5) は次となる：
\begin{align}
&\BraKet{\varPhi_0}{(Q^{*}_{\alpha}Q_{\alpha})^{r}(Q_{\beta}^{\,*}Q_{\beta})^{s}}{\varPhi_0}
=\int dQ_0\int dQ_1\dotsb\int dQ_{N-1}\,\varPhi_0^{*}\,(Q^{*}_{\alpha}Q_{\alpha})^{r}(Q_{\beta}^{\,*}Q_{\beta})^{s}\,\varPhi_0\notag\\
&=|A|^{2}\prod_{\gamma\neq \alpha,\,\beta}\int dQ_{\gamma}^{\,C}\exp\left(-\frac{\omega_{\gamma}}{\hbar}Q_{\gamma}^{\,C\,2}\right)\int dQ_{\gamma}^{\,S}
\exp\left(-\frac{\omega_{\gamma}}{\hbar}Q_{\gamma}^{\,S\,2}\right)\notag\\
&\quad\times\reverse{2^{r}}\sum_{m=0}^{r}\,{}_r\mathrm{C}_m\,\int dQ_{\alpha}^{\,C}\,(Q_{\alpha}^{\,C})^{2(r-m)}
\exp\left(-\frac{\omega_{\alpha}}{\hbar}Q_{\alpha}^{\,C\,2}\right)\int dQ_{\alpha}^{\,S}
\,(Q_{\alpha}^{\,S})^{2m}\exp\left(-\frac{\omega_{\alpha}}{\hbar}Q_{\alpha}^{\,S\,2}\right)\notag\\
&\quad\times\reverse{2^{s}}\sum_{n=0}^{s}\,{}_s\mathrm{C}_n\,\int dQ_{\beta}^{\,C}\,(Q_{\beta}^{\,C})^{2(s-n)}
\exp\left(-\frac{\omega_{\beta}}{\hbar}Q_{\beta}^{\,C\,2}\right)\int dQ_{\beta}^{\,S}
\,(Q_{\beta}^{\,S})^{2n}\exp\left(-\frac{\omega_{\beta}}{\hbar}Q_{\beta}^{\,S\,2}\right)\notag\\
&=\left(\frac{\hbar}{4\omega_{\alpha}}\right)^{r}\left(\frac{\hbar}{4\omega_{\beta}}\right)^{s}
\BraKet{\varPhi_0}{1}{\varPhi_0}\sum_{m=0}^{r}\,\frac{r!\{2(r-m)-1\}!!(2m-1)!!}{m!(r-m)!}\sum_{n=0}^{s}\,\frac{s!\{2(s-n)-1\}!!(2n-1)!!}{n!(s-n)!}
\tag{17}
\end{align}

さらに \(F=(Q_{\alpha})^{2}\) または \(F=(Q_{\alpha}^{\,*})^{2}\) の場合であるが,　これは既に問題 8-5 で示してあるようにゼロである：
\begin{equation}
\BraKet{\varPhi_0}{Q_{\alpha}^{\,2}}{\varPhi_0}=0,\qquad \BraKet{\varPhi_0}{Q_{\alpha}^{\,*\,2}}{\varPhi_0}=0
\tag{18}
\end{equation}

さらに今度は, 任意の奇数個の \(Q_{\alpha}\) または \(Q_{\alpha}^{\,*}\) の積の平均値を考える． \(n\) を奇数としたときの \((Q_{\alpha})^{n}\) または \((Q_{\alpha}^{\,*})^{n}\) は 2項定理から次に表せる：
\begin{align}
&\left(Q_{\alpha}\right)^{n}=\reverse{2^{n/2}}\left(Q_{\alpha}^{\,C}-iQ_{\alpha}^{\,S}\right)^{n}
=\reverse{2^{n/2}}\sum_{r=0}^{n}\,{}_n\mathrm{C}_r\,\left(Q_{\alpha}^{\,C}\right)^{n-r}\left(-iQ_{\alpha}^{\,S}\right)^{r},\notag\\
&\left(Q_{\alpha}^{\,*}\right)^{n}=\reverse{2^{n/2}}\left(Q_{\alpha}^{\,C}+iQ_{\alpha}^{\,S}\right)^{n}
=\reverse{2^{n/2}}\sum_{r=0}^{n}\,{}_n\mathrm{C}_r\,\left(Q_{\alpha}^{\,C}\right)^{n-r}\left(iQ_{\alpha}^{\,S}\right)^{r}
\tag{19}
\end{align}

すると \((Q_{\alpha})^{n}\) または \((Q_{\alpha}^{\,*})^{n}\) の両者を略して \(Q^{n}\) で表わすなら, その平均値は次となる：
\begin{align}
&\BraKet{\varPhi_0}{Q^{n}}{\varPhi_0}=\int dQ_0\int dQ_1\dotsb\int dQ_{N-1}\,\varPhi_0^{*}\,Q^{n}\,\varPhi_0\notag\\
&=|A|^{2}\prod_{\gamma\neq \alpha}\int dQ_{\gamma}^{\,C}\exp\left(-\frac{\omega_{\gamma}}{\hbar}Q_{\gamma}^{\,C\,2}\right)\int dQ_{\gamma}^{\,S}
\exp\left(-\frac{\omega_{\gamma}}{\hbar}Q_{\gamma}^{\,S\,2}\right)\notag\\
&\times\reverse{2^{n/2}}\sum_{r=0}^{n}\,i^{\pm r}{}_n\mathrm{C}_r\,\int dQ_{\alpha}^{\,C}
\,(Q_{\alpha}^{\,C})^{n-r}\exp\left(-\frac{\omega_{\alpha}}{\hbar}Q_{\alpha}^{\,C\,2}\right)\int dQ_{\alpha}^{\,S}
\,(Q_{\alpha}^{\,S})^{r}\exp\left(-\frac{\omega_{\alpha}}{\hbar}Q_{\alpha}^{\,S\,2}\right)
\tag{20}
\end{align}

このとき \(n\) が奇数であったから, 任意の \(r\) について \(n-r\) か \(r\) の何れかは必ず奇数となる．従って最後の2積分 \(\displaystyle{\int dQ_{\alpha}^{\,C}\int dQ_{\alpha}^{\,S}}\) は, 両者のどちらかが式 (10) の \(b\) が奇数の場合となるのでゼロとなることが分かる．よって, この式全体は必ずゼロとなると言える：
\begin{equation}
\BraKet{\varPhi_0}{Q_{\alpha}^{\,n}}{\varPhi_0}=0,\qquad \BraKet{\varPhi_0}{Q_{\alpha}^{\,*\,n}}{\varPhi_0}=0
\tag{21}
\end{equation}

最後に \(Q_{\alpha}\) と \(Q_{\beta}^{\,*}\) の任意の積の期待値を考えよう．式 (19) を用いるならば， \(r,\,s\) を任意の整数としたときの \((Q_{\alpha})^{r}(Q_{\beta}^{*})^{s}\) は,
\begin{equation}
(Q_{\alpha}^{\,*})^{r}(Q_{\beta})^{s}=\reverse{2^{r/2}}\sum_{m=0}^{r}\,{}_r\mathrm{C}_m\left(Q_{\alpha}^{\,C}
\right)^{r-m}\left(iQ_{\alpha}^{\,S}\right)^{m}\times\reverse{2^{s/2}}\sum_{n=0}^{s}\,{}_s\mathrm{C}_n
\left(Q_{\alpha}^{\,C}\right)^{s-n}\left(-iQ_{\alpha}^{\,S}\right)^{n}
\tag{22}
\end{equation}

と表せる．これは式 (6) に於いて \(Q_{\beta}\) の冪指数を \(r\) から \(s\) に変えたものに過ぎない．従って, この平均値は結果式 (14) を参照することで次に書けるであろう：
\begin{align}
&\BraKet{\varPhi_0}{(Q_{\alpha})^{r}(Q_{\beta}^{*})^{s}}{\varPhi_0}=\int dQ_0\int dQ_1\dotsb\int dQ_{N-1}
\,\varPhi_0^{*}\,(Q_{\alpha})^{r}(Q_{\beta}^{*})^{s}\,\varPhi_0\notag\\
&=\BraKet{\varPhi_0}{1}{\varPhi_0}\left(\frac{\hbar}{4\omega_{\alpha}}\right)^{r/2}
\left(\frac{\hbar}{4\omega_{\beta}}\right)^{s/2}
\sum_{j=0}^{r/2}\sum_{k=0}^{s/2}\,(-1)^{j-k}\,\frac{r!}{(2j)!!(r-2j)!!}\cdot\frac{s!}{(2k)!!(s-2k)!!}
\tag{23}
\end{align}

以上の結果をこの問題の解答とするには, 基準座標 \(Q_{\alpha},\,Q_{\beta}^{*}\) などを全て \(a_{1\mb{k}},a^{*}_{1\mb{p}}\) などで置き換えるだけである．

References

References
↑1 校訂版では mean を expectation に書き換えている．しかし, 式 (8-84) で与えられる期待値の定義と, 式 (5-46) で与えられる演算子の「平均値」の定義は一致する．そのことを以下で確認しておく：
\begin{equation*}
\left\{\
\begin{aligned}
\sbra A \sket&=\int dx\,f^{*}(x)\,\mathscr{A}\,f(x) & \quad (5.46′) \\
\sbra A \sket&=\int dQ_0\int dQ_1\dotsb\int dQ_N\,\varPhi^{*}_0\,A\,\varPhi_0 & \quad (8.84′)
\end{aligned}\right.
\end{equation*}

具体的に, 基準座標 \(Q_i\) が運動量のデカルト座標系 \(p_i\) とした場合に一致することを見て行こう．問題 5-6 で述べたように, 基準座標 \(Q_i=p_i\) の特性関数は \(\chi^{*}_{p_x,p_y,p_z}(x)=e^{-i\mb{p}\cdot\mb{x}/\hbar}\) であるから, 式 (5-36) 及び式 (5-37) そして式 (5-40) に相当するものは, 運動量が連続量であるために和は積分に置き換わり次となる：
\begin{align*}
&F_{p_x,p_y,p_z}=\int d^{3}\mb{x}\,\chi^{*}_{p_x,p_y,p_z}(\mb{x})\,f(\mb{x})
=\int d^{3}\mb{x}\, e^{-i\mb{p}\cdot\mb{x}/\hbar}\,f(\mb{x}),\tag{a}\\
&f(\mb{x})=\int \frac{dp_x}{2\pi}\int\frac{dp_y}{2\pi}\int\frac{dp_z}{2\pi}\,\chi_{p_x,p_y,p_z}(\mb{x})
\,F_{p_x,p_y,p_z}=\int \frac{d^{3}\mb{p}}{(2\pi)^{3}}\,e^{i\mb{p}\cdot\mb{x}/\hbar}\,F_{p_x,p_y,p_z},\tag{b}\\
&\sbra A \sket=\sum_{p_x}\sum_{p_y}\sum_{p_z} p_i|F_{p_x,p_y,p_z}|^{2}\ \Rightarrow\
\sbra A \sket=\int\frac{dp_x}{2\pi}\int\frac{dp_y}{2\pi}\int\frac{dp_z}{2\pi}\,p_i|F_{p_x,p_y,p_z}|^{2}
\tag{c}
\end{align*}
ここで具体例的に \(f(\mb{x})\) として系の基底状態 \(\varPhi_0\) の場合を考えてみよう．その際にその基底ケット \(\ket{\varPhi_0}\) を運動量演算子 \(\mb{p}\) の固有ケット \(\ket{\mb{p}’}\) で展開したとする：
\begin{equation*}
f(\mb{x})=\varPhi_0(\mb{x})=\BK{\mb{x}}{\varPhi_0},\quad
\ket{\varPhi_0}=\int \frac{d^{3}\mb{p}’}{(2\pi)^{3}}\,\ket{\mb{p}’}\BK{\mb{p}’}{\varPhi_0}
\tag{d}
\end{equation*}

すると, 基底状態 \(\varPhi_0\) に於ける運動量演算子 \(p_i\) の期待値 \(\sbra p_i\sket\) は, 上の展開式 (d) を \(\ket{\varPhi_0}\) に用るならば, \[\BK{\mb{p}”}{\mb{p}’}=(2\pi)^{3}\delta(\mb{p}”-\mb{p}’)\] であることから次となる：
\begin{align*}
\sbra p_i\sket&=\BraKet{\varPhi_0}{p_i}{\varPhi_0}=\int\frac{d^{3}\mb{p}”}{(2\pi)^{3}}\,
\BK{\varPhi_0}{\mb{p}”}\bra{\mb{p}”}\,p_i\int\frac{d^{3}\mb{p}’}{(2\pi)^{3}}\,\ket{\mb{p}’}\BK{\mb{p}’}{\varPhi_0}\\
&=\int\frac{d^{3}\mb{p}”}{(2\pi)^{3}}\,\BK{\mb{p}”}{\varPhi_0}^{*}
\int\frac{d^{3}\mb{p}’}{(2\pi)^{3}}\,p’_i\,\BK{\mb{p}’}{\varPhi_0}\,\BK{\mb{p}”}{\mb{p}’}\\
&=\int\frac{d^{3}\mb{p}”}{(2\pi)^{3}}\,\BK{\mb{p}”}{\varPhi_0}^{*}
\int\frac{d^{3}\mb{p}’}{(2\pi)^{3}}\,p’_i\,\BK{\mb{p}’}{\varPhi_0}\,(2\pi)^{3}\delta(\mb{p}”-\mb{p}’)\\
&=\int\frac{d^{3}\mb{p}’}{(2\pi)^{3}}\,p’_i\,\BK{\mb{p}’}{\varPhi_0}^{*}\BK{\mb{p}’}{\varPhi_0}\\
&=\int\frac{d^{3}p_x}{2\pi}\int\frac{d^{3}p_y}{2\pi}\int\frac{d^{3}p_z}{2\pi}\,p_i\,\left|\BK{\mb{p}}{\varPhi_0}\right|^{2}
\tag{e}
\end{align*}
この式 (e) は, ちょうど式 (c) に相当するものになっている．従って, この場合の \(F_{p_x,p_y,p_z}\) は式 (a) の表現に一致することが分かる：
\begin{align*}
F_{p_x,p_y,p_z}&=\BK{\mb{p}}{\varPhi_0}
=\bra{\mb{p}}\left(\int d^{3}\mb{x}\,|\mb{x}\rangle\langle\mb{x}|\right)\ket{\varPhi_0}
=\int d^{3}\mb{x}\,\BK{\mb{p}}{\mb{x}}\BK{\mb{x}}{\varPhi_0}\\
&=\int d^{3}\mb{x}\,\BK{\mb{x}}{\mb{p}}^{*}\,\BK{\mb{x}}{\varPhi_0}
=\int d^{3}\mb{x}\,e^{-i\mb{p}\cdot\mb{x}/\hbar}\,\varPhi_0(\mb{x})
\tag{f}
\end{align*}
他方, 式 (5-46) の「平均値」の表現はこの場合, 次のようになる：
\begin{align*}
\sbra p_i\sket&=\int d^{3}\mb{x}\,\varPhi_0^{*}(\mb{x})\,p_i\,\varPhi_0(\mb{x})
=\int d^{3}\mb{x}\,\BK{\varPhi_0}{\mb{x}}\,p_i\,\BK{\mb{x}}{\varPhi_0}
=\bra{\varPhi_0}\,p_i\,\left(\int d^{3}\mb{x}\,|\mb{x}\rangle\langle\mb{x}|\right)\ket{\varPhi_0}\\
&=\BraKet{\varPhi_0}{p_i}{\varPhi_0}
\tag{g}
\end{align*}
これはちょうど式 (e) の期待値に一致している!．よって, 式 (5-46) の平均値と式 (8-84) の期待値の定義は一致することが, 具体的に基準座標が運動量の場合に示すことが出来た．一般的に, 任意の演算子(オブザーバブル) \(A\) に対して, 式 (5-46) の「平均値」と式 (8-84) の「期待値」の定義は一致することになる．
↑2 式(10)の公式が成立するすることは,以下のように示すことが出来る：
\(r\) が奇数のときは被積分関数は奇関数となるので明らかにゼロとなる．\(r\) が偶数の場合には, 部分積分により次となることに注意すればよい：
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{\infty}x^{r}\,e^{-ax^{2}}\,dx
&=\left[\frac{x^{r+1}}{r+1}\right]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{x^{r+1}}{r+1}(-2ax)e^{-ax^{2}}\,dx=\frac{2a}{r+1}\int_{-\infty}^{\infty}x^{r+2}e^{-ax^{2}}\,dx\\
\rightarrow\quad &\int_{-\infty}^{\infty}x^{r+2}e^{-ax^{2}}\,dx
=\frac{r+1}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}x^{r}e^{-ax^{2}}\,dx\\
\therefore\ \int_{-\infty}^{\infty}x^{r}e^{-ax^{2}}\,dx&=\frac{r-1}{2a}\int_{-\infty}^{\infty}x^{r-2}e^{-ax^{2}}\,dx
=\frac{r-1}{2a}\frac{r-3}{2a}\int_{-\infty}^{\infty} x^{r-4}e^{-ax^{2}}\,dx\\
&=\dotsb=\frac{r-1}{2a}\frac{r-3}{2a}\dotsb\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{align*}