問題 6-2 の解答例

Problem 6-2
Suppose a system consists of two particles which interact only through a potential $V (x, y)$ , where $x$ represents the coordinates of the first particle and $y$ represents the coordinates of the second [cf. Sec. 3-8 and Eq. (3-75) ]. Apart from this interaction, the particles are free. If $V$ were $0$ , then $K$ would be simply a product of the two free-particle kernels. Using this fact, develop a perturbation expansion for $K_{V} (x_{b}, y_{b}, t_{b}; x_{a}, y_{a}, t_{a})$ . By what rules of physical reasoning can the various terms in this expression be described ?

(解答) 式 (3.75)を参照して, この場合の核を書くならば次となる：

\begin{matrix} (1) & K_{V} (b, a) = \int_{a}^{b} D x (t) \int_{a}^{b} D y (t) \exp [\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t {\frac{m}{2} {\dot{x}}^{2} + \frac{M}{2} {\dot{y}}^{2} - V (x, y)}] \end{matrix}

これをまず経路

y (t)

について積分するならば, 形式的に次のように書ける：

\begin{matrix} (2) & K_{V} (b, a) = \int_{a}^{b} D x (t) \exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{m}{2} {\dot{x}}^{2}) T_{V} [x (t)], \end{matrix}

ただし,

\begin{matrix} (3) & T_{V} [x (t)] = \int_{a}^{b} D y (t) \exp [\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t {\frac{M}{2} {\dot{y}}^{2} - V (x, y)}] \end{matrix}

このとき式 (3) で定義された汎関数

T_{V} [x (t)]

は, ポテンシャル

V (x, y)

の影響下で第 2 粒子のみが端点

y_{a}, y_{b}

の間を動く振幅

T_{V} (b, a)

である．
このときポテンシャル

V (x, y)

が小さければ，

V (x, y)

は式 (6.3) と同様に級数展開できる：

\begin{matrix} (4) & \exp [- \frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t V (x, y)] = 1 - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t V (x, y) + \frac{1}{2!} {(\frac{i}{ℏ})}^{2} {[\int_{t_{a}}^{t_{b}} d t V (x, y)]}^{2} + \dots \end{matrix}

この展開を式 (3) に代入すれば, 振幅

T_{V} (b, a)

は次のように書ける：

T_{V} (b, a) = T_{V} [x (t)] = T_{0} (b, a) + T^{(1)} (b, a) + T^{(2)} (b, a) + \dots

ただし各項は次である：

\begin{aligned} (6) & T_{0} (b, a) & = \int_{a}^{b} D y (t) \exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{M}{2} {\dot{y}}^{2}), \\ (7) & T^{(1)} (b, a) & = - \frac{i}{ℏ} \int_{a}^{b} D y (t) \exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{M}{2} {\dot{y}}^{2}) \int_{t_{a}}^{t_{b}} d s V [x (s), y (s)], \\ (8) & T^{(2)} (b, a) & = - \frac{1}{2 ℏ^{2}} \int_{a}^{b} D y (t) \exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{M}{2} {\dot{y}}^{2}) \int_{t_{a}}^{t_{b}} d s V [x (s), y (s)] \int_{t_{a}}^{t_{b}} d s^{‘} V [x (s^{‘}), y (s^{‘})] \end{aligned}

すると, 式 (2) の

K_{V} (b, a)

は次のように書ける：

\begin{aligned} K_{V} (b, a) = \int_{a}^{b} D x (t) \exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{m}{2} {\dot{x}}^{2}) (T_{0} (b, a) + T^{(1)} (b, a) + T^{(2)} (b, a) + \dots) \\ = \int_{a}^{b} D x (t) \exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{m}{2} {\dot{x}}^{2}) T_{0} (b, a) + \int_{a}^{b} D x (t) \exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{m}{2} {\dot{x}}^{2}) T^{(1)} (b, a) \\ + \int_{a}^{b} D x (t) \exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{m}{2} {\dot{x}}^{2}) T^{(2)} (b, a) + \dots \end{aligned}

この第 1 項は, 第 1 粒子と第 2 粒子が相互作用せず自由に運動する場合の振幅である：

\begin{aligned} K_{0} (x_{b}, y_{b}, t_{b}; x_{a}, y_{a}, t_{a}) = \int_{a}^{b} D x (t) \exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{m}{2} {\dot{x}}^{2}) T_{0} (b, a) \\ = \int_{a}^{b} D x (t) \exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{m}{2} {\dot{x}}^{2}) \int_{a}^{b} D y (t) \exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{M}{2} {\dot{y}}^{2}) \\ (9) & \to K_{0} (b, a) = K_{0} (x_{b}, t_{b}; x_{a}, t_{a}) K_{0} (y_{b}, t_{b}; y_{a}, t_{a}) \end{aligned}

第 2 項は, 単一散乱 (一度だけ相互作用

V (x_{c}, y_{c})

をする) の振幅

K^{(1)} (b, a)

である：

\begin{aligned} K^{(1)} (b, a) = \int_{a}^{b} D x (t) \exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{m}{2} {\dot{x}}^{2}) T^{(1)} (b, a) \\ = \int_{a}^{b} D x (t) \exp {\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{m}{2} {\dot{x}}^{2}} (- \frac{i}{ℏ}) \int_{a}^{b} D y (t) \exp {\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{M}{2} {\dot{y}}^{2}} \\ \times \int_{t_{a}}^{t_{b}} d s V [x (s), y (s)] \\ (10) & = - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t_{c} \int_{- \infty}^{\infty} d x_{c} K_{0} (b, c) V [x_{c}, y_{c}] K_{0} (c, a) \end{aligned}

第 3 項は 2 重散乱の振幅, すなわち 2 粒子は位置

d

で相互作用

V [x_{d}, y_{d}]

を行なった後, 自由運動して行き, 再び位置

c

で 2 回めの相互作用

V [x_{c}, y_{c}]

を行い, その後は互いに自由運動して去って行く振幅である：

\begin{aligned} K^{(2)} (b, a) & = \int_{a}^{b} D x (t) \exp (\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{m}{2} {\dot{x}}^{2}) T^{(2)} (b, a) \\ = \int_{a}^{b} D x (t) \exp {\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{m}{2} {\dot{x}}^{2}} (- \frac{1}{2 ℏ^{2}}) \int_{a}^{b} D y (t) \exp {\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \frac{M}{2} {\dot{y}}^{2}} \\ \times \int_{t_{a}}^{t_{b}} d s V [x (s), y (s)] \int_{t_{a}}^{t_{b}} d s^{‘} V [x (s^{‘}), y (s^{‘})] \\ (11) & = {(- \frac{i}{ℏ})}^{2} \int d τ_{c} \int d τ_{d} K_{0} (b, c) V [x_{c}, y_{c}] K_{0} (c, d) V [x_{d}, y_{d}] K_{0} (d, a) \end{aligned}

ただし

d τ_{c} = d x_{c} d t_{c}

及び

d τ_{d} = d x_{d} d t_{d}

である．
以上の各項をまとめて書くならば, 次のような摂動展開をしたことになる：

\begin{matrix} (12) & K_{V} (b, a) = K_{0} (b, a) + K^{(1)} (b, a) + K^{(2)} (b, a) + \dots \end{matrix}

この摂動展開の物理的な意味は下図 1. を参照して欲しい．

図 1. (1) では, 第 1 粒子と第 2 粒子は相互作用せずに自由に運動する．(2) では, 各々が自由粒子の運動をして来て, 位置 $x_{c}$ と $y_{c}$ で相互作用 $V (x_{c}, y_{c})$ をした (散乱) 後, 自由粒子として去って行く．(3) では, 各粒子は位置 $(x_{d}, y_{d})$ と $(x_{c}, y_{c})$ で相互作用 $V (x_{d}, y_{d})$ 及び $V (x_{c}, y_{c})$ を受けて 2 回の散乱をした後で, 自由粒子として去って行く．

月	火	水	木	金	土	日
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30