問題 6-4 の解答例

Problem 6-4
Using arguments similar to those leading to Eq. (6-19), show that the wave function $ψ (b)$ satisfies the integral equation

\begin{matrix} (6-26) & ψ (b) = ϕ (b) - \frac{i}{ℏ} \int d θ_{c} K_{0} (b, c) V (c) ψ (c) \end{matrix}

This integral equation is equivalent to the Schrödinger equation

\begin{matrix} (6-27) & - \frac{ℏ}{i} \frac{\partial ψ}{\partial t} + \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} ψ - V ψ = 0 \end{matrix}

Working in one dimension only, show how the Schrödinger equation may be deduced from the integral equation.

( 解答 ) 原書及び訳本では, 式 (6-27) の左辺の最終項が $+ V ψ$ となっているが, これも明らかにプリントミスと思われるので修正しておく (校訂版では修正されていた)．
過去の時刻 $t_{a}$ での波動関数を $ψ (a)$ と書くならば, 時刻 $t_{b}$ に於ける波動関数 $ψ (b)$ は式 (6-22) から次に書ける：

\begin{matrix} (1) & ψ (b) = \int d x_{a} K_{V} (b, a) ψ (a) \end{matrix}

この式中の核

K_V (b, a)

として, 前節の結果式 (6-17) を代入するならば,

\begin{aligned} ψ (b) = \int d x_{a} [K_{0} (b, a) - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t_{c} \int_{- \infty}^{\infty} d x_{c} K_{0} (b, c) V (c) K_{0} (c, a) \\ + {(- \frac{i}{ℏ})}^{2} \int d θ_{c} \int d θ_{d} K_{0} (b, c) V (c) K_{0} (c, d) V (d) K_{0} (d, a) + \dots] ψ (a) \\ = \int d x_{a} K_{0} (b, a) ψ (a) - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t_{c} \int_{- \infty}^{\infty} d x_{c} K_{0} (b, c) V (c) \int d x_{a} K_{0} (c, a) ψ (a) + \dots \end{aligned}

よって, 時刻

t_{b}

に於ける無摂動の波動関数を式 (6-24) と同様に

\begin{matrix} (2) & ϕ (b) = \int d x_{a} K_{0} (b, a) ψ (a), ϕ (c) = \int d x_{a} K_{0} (c, a) ψ (a), \dots \end{matrix}

と記すならば, 上式は式 (6-26) のように書ける：

\begin{aligned} ψ (b) & = ϕ (b) - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t_{c} \int_{- \infty}^{\infty} d x_{c} K_{0} (b, c) V (c) [ϕ (c) - \frac{i}{ℏ} \int d θ_{d} K_{0} (c, d) V (d) ϕ (d) + \dots] \\ = ϕ (b) - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t_{c} \int_{- \infty}^{\infty} d x_{c} K_{0} (b, c) V (c) ψ (c) \\ (3) & = ϕ (b) - \frac{i}{ℏ} \int d θ_{c} K_{0} (b, c) V (c) ψ (c) \end{aligned}

次に, 演算子

(- ℏ / i) \partial / \partial t_{b} + (ℏ^{2} / 2 m) \partial^{2} / \partial x_{b}^{2} - V (b)

を式 (1) に作用させてみる．右辺では, これらは全て核

K_{V} (b, a)

に作用することに注意すると,

\begin{aligned} [- \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial t_{b}} + \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{b}^{2}} - V (b)] ψ (b) = - \frac{ℏ}{i} \frac{\partial ψ (b)}{\partial t_{b}} + \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ (b)}{\partial x_{b}^{2}} - V (b) ψ (b) \\ (4) & = \int d x_{a} [- \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial t_{b}} K_{V} (b, a) + \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{b}^{2}} K_{V} (b, a) - V (b) K_{V} (b, a)] ψ (a) \end{aligned}

右辺の被積分項に対して問題 6-3 の式 (6-21) を利用することで次となる：

\begin{aligned} - \frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial t_{b}} ψ (b) + \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{b}^{2}} ψ (b) - V (b) ψ (b) & = i ℏ δ (t_{b} - t_{a}) \int d x_{a} δ (x_{b} - x_{a}) ψ (a) \\ (5) & = i ℏ δ (t_{b} - t_{a}) ψ (b) \end{aligned}

しかしながら, 今考えているのは時刻

t_{b}

に於ける微分方程式であるので, 明らかに右辺の時間についてのデルタ関数はゼロである．従って, この式 (5) の右辺はゼロとなる．よって, 1次元の場合の式 (6-27) に相当する式として次式が得られる：

\begin{matrix} (6) & - \frac{ℏ}{i} \frac{\partial ψ (b)}{\partial t_{b}} + \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ (b)}{\partial x_{b}^{2}} - V (b) ψ (b) = 0 \end{matrix}

月	火	水	木	金	土	日
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30