Problem 6-14
\(\)
Use the wave function approach to discuss the scattering of an electron from a sinusoidally oscillating field whose potential is given by
\begin{equation}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\mfrac}[2]{\frac{#1}{#2}}
V(\mb{r},t)=U(\mb{r})\cos\omega t
\tag{6-65}
\end{equation}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\mfrac}[2]{\frac{#1}{#2}}
V(\mb{r},t)=U(\mb{r})\cos\omega t
\tag{6-65}
\end{equation}
Show that in the first-order Born approximation the energy of the outgoing wave is changed by either \(+\hbar\omega\) or \(-\hbar\omega\). What happens in the higher-order terms ?
( 解答例 ) この場合は, 式(6.61) に \(V(\mb{r},t)=U(r)\cos\omega t\) を代入すればよい．このとき肝要なのは，\(\cos\omega t\) を指数関数で表現することである：
\begin{equation}
V(\mb{r},t)=U(\mb{r})\cos\omega t=\mfrac{U(\mb{r})}{2}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})
\tag{1}
\end{equation}
V(\mb{r},t)=U(\mb{r})\cos\omega t=\mfrac{U(\mb{r})}{2}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})
\tag{1}
\end{equation}
このとき, 散乱波 \(\psi_S\) は式 (6.61) より次となる：
\begin{align}
\psi_S&=-\mfrac{i}{\hbar}\int_0^{t_b}dt_c\int d^{3}\mb{r}_c\,K_0(\mb{R}_b,t_b;\mb{r}_c,t_c)\,V(\mb{r},t_c)
\,e^{i\mb{p}_a\cdot\mb{r}/\hbar}e^{-iE_at_c/\hbar}\\
&=-\mfrac{i}{\hbar}\int_0^{t_b}dt_c\int d^{3}\mb{r}_c\,\left(\mfrac{m}{2\pi i\hbar(t_b-t_c)}\right)^{3/2}
\exp\left[\mfrac{im(\mb{R}_b-\mb{r}_c)^{2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]
\mfrac{U(r_c)}{2}(e^{i\omega t_c}+e^{-i\omega t_c})\,e^{i\mb{p}_a\cdot\mb{r}/\hbar}e^{-iE_at_c/\hbar}
\tag{2}
\end{align}
\psi_S&=-\mfrac{i}{\hbar}\int_0^{t_b}dt_c\int d^{3}\mb{r}_c\,K_0(\mb{R}_b,t_b;\mb{r}_c,t_c)\,V(\mb{r},t_c)
\,e^{i\mb{p}_a\cdot\mb{r}/\hbar}e^{-iE_at_c/\hbar}\\
&=-\mfrac{i}{\hbar}\int_0^{t_b}dt_c\int d^{3}\mb{r}_c\,\left(\mfrac{m}{2\pi i\hbar(t_b-t_c)}\right)^{3/2}
\exp\left[\mfrac{im(\mb{R}_b-\mb{r}_c)^{2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]
\mfrac{U(r_c)}{2}(e^{i\omega t_c}+e^{-i\omega t_c})\,e^{i\mb{p}_a\cdot\mb{r}/\hbar}e^{-iE_at_c/\hbar}
\tag{2}
\end{align}
これは, 前の問題 6-13 の解答中の式(3)の\(I\) に於いて \(\displaystyle{V(\mb{r}_c,t_c)
=\frac{U(\mb{r}_c)}{2}\Big(e^{i\omega t_c}+e^{-i\omega t_c}\Big)} \) としたものに相当するから, 次に書き換えることが出来る：
\begin{align}
\psi_S&=-\mfrac{i}{\hbar}\left(\mfrac{m}{2\pi i\hbar}\right)^{3/2}\int_0^{t_b}dt_c
\mfrac{e^{i\omega t_c}+e^{-i\omega t_c}}{2}\int d^{3}\mb{r}_c\,
(t_b-t_c)^{-3/2}\exp\left[\mfrac{imr_{bc}^{2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]\,U(\mb{r}_c)
\,e^{i\mb{p}_a\cdot\mb{r}_c/\hbar}\,e^{-iE_at_c/\hbar}\\
&=-\mfrac{m}{4\pi\hbar^{2}}\left(\mfrac{m}{2\pi i\hbar}\right)^{1/2}\int d^{3}\mb{r}_c\,e^{i\mb{p}_a\cdot\mb{r}_c/\hbar}\,U(\mb{r}_c)\int_0^{t_b}dt_c\,
\mfrac{e^{i\omega t_c}+e^{-i\omega t_c}}{(t_b-t_c)^{3/2}}
\exp\left[\mfrac{imr_{bc}^{\ 2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]\,e^{-iE_at_c/\hbar}
\tag{3}
\end{align}
\psi_S&=-\mfrac{i}{\hbar}\left(\mfrac{m}{2\pi i\hbar}\right)^{3/2}\int_0^{t_b}dt_c
\mfrac{e^{i\omega t_c}+e^{-i\omega t_c}}{2}\int d^{3}\mb{r}_c\,
(t_b-t_c)^{-3/2}\exp\left[\mfrac{imr_{bc}^{2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]\,U(\mb{r}_c)
\,e^{i\mb{p}_a\cdot\mb{r}_c/\hbar}\,e^{-iE_at_c/\hbar}\\
&=-\mfrac{m}{4\pi\hbar^{2}}\left(\mfrac{m}{2\pi i\hbar}\right)^{1/2}\int d^{3}\mb{r}_c\,e^{i\mb{p}_a\cdot\mb{r}_c/\hbar}\,U(\mb{r}_c)\int_0^{t_b}dt_c\,
\mfrac{e^{i\omega t_c}+e^{-i\omega t_c}}{(t_b-t_c)^{3/2}}
\exp\left[\mfrac{imr_{bc}^{\ 2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]\,e^{-iE_at_c/\hbar}
\tag{3}
\end{align}
そこで, 前の問題 6-13 の解答と同様に時間積分だけを取り出して考え, それを \(I_t\) とすると,
\begin{align}
I_t&=\int_0^{t_b}dt_c\,\mfrac{e^{i\omega t_c}+e^{-i\omega t_c}}{(t_b-t_c)^{3/2}}
\exp\left[\mfrac{imr_{bc}^{\ 2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]\,e^{-iE_at_c/\hbar}\\
&=\int_0^{t_b}dt_c\,\mfrac{e^{i\omega t_c}}{(t_b-t_c)^{3/2}}
\exp\left[\mfrac{imr_{bc}^{\ 2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]\,e^{-iE_at_c/\hbar}
+\int_0^{t_b}dt_c\,\mfrac{e^{-i\omega t_c}}{(t_b-t_c)^{3/2}}
\exp\left[\mfrac{imr_{bc}^{\ 2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]\,e^{-iE_at_c/\hbar}
\tag{4}
\end{align}
I_t&=\int_0^{t_b}dt_c\,\mfrac{e^{i\omega t_c}+e^{-i\omega t_c}}{(t_b-t_c)^{3/2}}
\exp\left[\mfrac{imr_{bc}^{\ 2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]\,e^{-iE_at_c/\hbar}\\
&=\int_0^{t_b}dt_c\,\mfrac{e^{i\omega t_c}}{(t_b-t_c)^{3/2}}
\exp\left[\mfrac{imr_{bc}^{\ 2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]\,e^{-iE_at_c/\hbar}
+\int_0^{t_b}dt_c\,\mfrac{e^{-i\omega t_c}}{(t_b-t_c)^{3/2}}
\exp\left[\mfrac{imr_{bc}^{\ 2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]\,e^{-iE_at_c/\hbar}
\tag{4}
\end{align}
このとき \(e^{i\omega t_c}\) と \(e^{-i\omega t_c}\) とは, 次のように書けることに注意する：
\begin{equation}
\exp\Big(i\omega t_c\Big)=\exp\left(i\mfrac{\hbar\omega}{\hbar}t_c\right),\quad
\exp\Big(-i\omega t_c\Big)=\exp\left(-i\mfrac{\hbar\omega}{\hbar}t_c\right)
\tag{5}
\end{equation}
\exp\Big(i\omega t_c\Big)=\exp\left(i\mfrac{\hbar\omega}{\hbar}t_c\right),\quad
\exp\Big(-i\omega t_c\Big)=\exp\left(-i\mfrac{\hbar\omega}{\hbar}t_c\right)
\tag{5}
\end{equation}
従って, 式(4)は次のように書き直すことが出来る：
\begin{align}
I_t&=\int_0^{t_b}dt_c\,\mfrac{e^{-i(E_a-\hbar\omega)t_c/\hbar}}{(t_b-t_c)^{3/2}}
\exp\left[\mfrac{imr_{bc}^{\ 2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]
+\int_0^{t_b}dt_c\,\mfrac{e^{-i(E_a+\hbar\omega)t_c/\hbar}}{(t_b-t_c)^{3/2}}
\exp\left[\mfrac{imr_{bc}^{\ 2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]
\tag{6}
\end{align}
I_t&=\int_0^{t_b}dt_c\,\mfrac{e^{-i(E_a-\hbar\omega)t_c/\hbar}}{(t_b-t_c)^{3/2}}
\exp\left[\mfrac{imr_{bc}^{\ 2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]
+\int_0^{t_b}dt_c\,\mfrac{e^{-i(E_a+\hbar\omega)t_c/\hbar}}{(t_b-t_c)^{3/2}}
\exp\left[\mfrac{imr_{bc}^{\ 2}}{2\hbar(t_b-t_c)}\right]
\tag{6}
\end{align}
これは, 前の問題 6-13 の解答中の式(4)に於いて \(E_a\to E_a-\hbar\omega\) としたものと \(E_a\to E_a+\hbar\omega\) としたものとの和と見做すことが出来る．よって, 前の結果をそこだけ修正すればよい．従って, 前の問題 6-13 の式 (6-62) の「散乱波」に相当する第2項目の式は次となる：
\begin{align}
\psi_S=-\mfrac{m}{2\pi\hbar^{2}} e^{-i(E_a-\hbar\omega)t_b/\hbar}
\int d^{3}\mb{r}_c\,\mfrac{e^{ipr_{bc}/\hbar}}{r_{bc}}U(r_c)\,e^{i\mb{p}_a\cdot\mb{r}_c/\hbar}
-\mfrac{m}{2\pi\hbar^{2}}e^{-i(E_a+\hbar\omega)t_b/\hbar}
\int d^{3}\mb{r}_c\,\mfrac{e^{ipr_{bc}/\hbar}}{r_{bc}}U(r_c)\,e^{i\mb{p}_a\cdot\mb{r}_c/\hbar}
\tag{7}
\end{align}
\psi_S=-\mfrac{m}{2\pi\hbar^{2}} e^{-i(E_a-\hbar\omega)t_b/\hbar}
\int d^{3}\mb{r}_c\,\mfrac{e^{ipr_{bc}/\hbar}}{r_{bc}}U(r_c)\,e^{i\mb{p}_a\cdot\mb{r}_c/\hbar}
-\mfrac{m}{2\pi\hbar^{2}}e^{-i(E_a+\hbar\omega)t_b/\hbar}
\int d^{3}\mb{r}_c\,\mfrac{e^{ipr_{bc}/\hbar}}{r_{bc}}U(r_c)\,e^{i\mb{p}_a\cdot\mb{r}_c/\hbar}
\tag{7}
\end{align}
また, 同様にして前の問題 6-13 の式 (6-63) の散乱波に相当する第2項目の式は次となる：
\begin{align}
\psi_S&=e^{-i(E_a-\hbar\omega)t_b/\hbar}f(\mb{q})\,\mfrac{e^{ipR_b/\hbar}}{R_b}
+e^{-i(E_a+\hbar\omega)t_b/\hbar}f(\mb{q})\,\mfrac{e^{ipR_b/\hbar}}{R_b}
\tag{8}
\end{align}
\psi_S&=e^{-i(E_a-\hbar\omega)t_b/\hbar}f(\mb{q})\,\mfrac{e^{ipR_b/\hbar}}{R_b}
+e^{-i(E_a+\hbar\omega)t_b/\hbar}f(\mb{q})\,\mfrac{e^{ipR_b/\hbar}}{R_b}
\tag{8}
\end{align}
このとき形状因子\(f(\mb{q})\) は式 (6-64) の \(V(\mb{r})\) を \(U(\mb{r})\) とするだけであることは明らかである：
\begin{equation}
f(\mb{q})=-\mfrac{m}{2\pi\hbar^{2}}v(\mb{q})\,,\quad v(\mb{q})=\int d^{3}\mb{r}
\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,U(\mb{r}),\quad \mb{q}=\mb{p}_a-\mb{p}_b
\tag{6.64′}
\end{equation}
f(\mb{q})=-\mfrac{m}{2\pi\hbar^{2}}v(\mb{q})\,,\quad v(\mb{q})=\int d^{3}\mb{r}
\,e^{i\mb{q}\cdot\mb{r}/\hbar}\,U(\mb{r}),\quad \mb{q}=\mb{p}_a-\mb{p}_b
\tag{6.64′}
\end{equation}
以上から，1次のボルン散乱波 \(\psi_S\) のエネルギーは, 入射波のエネルギー \(E_a\) に比べ \(+\hbar\omega\) または \(-\hbar\omega\) だけ変化すると言える．
高次の項については, 次節の問題 (6-27) に類似した設問がされている．よって, 高次の項についての考察はそこで行うことにして, ここでは省略することにしよう．
