問題 7-7 の解答例

Problem 7-7
Show that for any quadratic action

\begin{matrix} (7-57) & ⟨ x (t) ⟩ = \bar{x} (t) ⟨ 1 ⟩ \end{matrix}

( 解答 )　§ 3-5 の議論にあるように, 指定された端点 $a, b$ 間の古典軌道を $\bar{x} (t)$ とし, 変数 $x$ を古典軌道 $\bar{x} (t)$ とそれからのズレ $y (t)$ を用いて $x (t) = \bar{x} (t) + y (t)$ と表現する(下図 1. を参照)．

図 1.

このとき $d x_{i} = d y_{i}$ かつ $D x (t) = D y (t)$ であり, さらに端点は固定することが暗黙の了解になっているので $y (t_{b}) = y (t_{a}) = 0$ である．すると, 遷移要素の定義式 (7-3) から

\begin{aligned} ⟨ χ | x (t) | ψ ⟩_{S} = ⟨ χ | \bar{x} (t) + y (t) | ψ ⟩_{S} \\ = \int_{- \infty}^{\infty} d x_{b} \int_{- \infty}^{\infty} d x_{a} \int_{a}^{b} D x (t) χ^{*} (x_{b}) {\bar{x} (t) + y (t)} e^{i S / ℏ} ψ (x_{a}) \\ = \int d x_{b} \int d x_{a} \int_{a}^{b} D x (t) χ^{*} (x_{b}) \bar{x} (t) e^{i S / ℏ} ψ (x_{a}) \\ (1) & + \int d x_{b} \int d x_{a} \int_{0}^{0} D y (t) χ^{*} (x_{b}) y (t) e^{i S / ℏ} ψ (x_{a}) \end{aligned}

このとき, § 3-5「ガウス積分」での議論により,「作用が 2 次式である場合には，

y

の1次の項の積分はゼロになるべき」である．よって, 上式の第 2 項はゼロであるから,

\begin{aligned} ⟨ x (t) ⟩ = ⟨ χ | x (t) | ψ ⟩_{S} & = \int d x_{b} \int d x_{a} \int_{x_{a}}^{x_{b}} D x (t) χ^{*} (x_{b}) \bar{x} (t) e^{i S / ℏ} ψ (x_{a}) \\ (2) & = ⟨ χ | \bar{x} (t) | ψ ⟩_{S} = ⟨ \bar{x} (t) ⟩ \end{aligned}

さらに, この古典的経路

\bar{x} (t)

は決まった経路で経路積分には依存しない量である．従って

\bar{x} (t)

は積分の外へ出せる：

\begin{aligned} ⟨ x (t) ⟩ = ⟨ χ | \bar{x} (t) | ψ ⟩_{S} & = \int d x_{b} \int d x_{a} \int_{x_{a}}^{x_{b}} D x (t) χ^{*} (x_{b}) \bar{x} (t) e^{i S / ℏ} ψ (x_{a}) \\ = \bar{x} (t) \int d x_{2} \int d x_{1} \int_{a}^{b} D x (t) χ^{*} (x_{2}) e^{i S / ℏ} ψ (x_{1}) \\ (3) & = \bar{x} (t) ⟨ χ | 1 | ψ ⟩_{S} = \bar{x} (t) ⟨ 1 ⟩ \end{aligned}

よって, ラグランジアン

L

が2次関数で作用

S

が2次形式となる場合には, 式 (7-57) が成り立つと言える：

\begin{matrix} (4) & ⟨ x (t) ⟩ = ⟨ \bar{x} (t) + y (t) ⟩ = ⟨ \bar{x} (t) ⟩ = \bar{x} (t) ⟨ 1 ⟩ \end{matrix}

月	火	水	木	金	土	日
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