\(\)
Problem 7-8
Find the transition element \(\langle x(t)x(s)\rangle =f(t, s)\) when the potential is not constant but, rather, corresponds to that of a forced harmonic oscillator. Do this by obtaining differential equations for \(f(t,s)\) and trying the solution
\begin{equation}
\big\langle x(t)x(s) \big\rangle =f(t, s) = \big[ \bar{x}(t)\bar{x}(s) + g(t, s)\big] \big\langle 1 \big\rangle
\tag{7-65}
\end{equation}
\big\langle x(t)x(s) \big\rangle =f(t, s) = \big[ \bar{x}(t)\bar{x}(s) + g(t, s)\big] \big\langle 1 \big\rangle
\tag{7-65}
\end{equation}
Obtain an equation for \(g(t, s)\) showing that \(g\) is independent of the endpoint values \(x_1\) and \(x_2\) and of the forcing function [ derivative of the potential] \(\gamma(t)\). Show in general that, with \(T=t_2-t_1\),
\begin{equation}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\odiff#1{\frac{d}{d #1}}
\def\oodiff#1#2{\frac{d #1}{d #2}}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^2}}
\def\Bpdiff}[1]{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}}
\def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\def\bra#1{\langle #1 |}
\def\ket#1{| #1 \rangle}
g(t, s) = \begin{cases}
\ds{\frac{\hbar}{i m \omega \sin \omega T}} \sin \omega s \sin \omega (T-t) & \quad s < t \\
\ds{\frac{\hbar}{i m \omega \sin \omega T }} \sin \omega t \sin \omega (T-s) & \quad t < s
\end{cases}
\tag{7-66}
\end{equation}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\odiff#1{\frac{d}{d #1}}
\def\oodiff#1#2{\frac{d #1}{d #2}}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^2}}
\def\Bpdiff}[1]{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}}
\def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\def\bra#1{\langle #1 |}
\def\ket#1{| #1 \rangle}
g(t, s) = \begin{cases}
\ds{\frac{\hbar}{i m \omega \sin \omega T}} \sin \omega s \sin \omega (T-t) & \quad s < t \\
\ds{\frac{\hbar}{i m \omega \sin \omega T }} \sin \omega t \sin \omega (T-s) & \quad t < s
\end{cases}
\tag{7-66}
\end{equation}
( 解答 ) \(t\) を時間としたとき, 調和振動子が外力 \(\gamma(t)\)によって駆動される場合のラグランジアン \(L\) とポテンシャル \(V\) は (問題 3-11 を参照して),
\begin{equation}
L=T-V=\frac{m}{2}\dot{x}^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2}x^{2}+\gamma(t)x,
\quad V[x(t)]=\frac{m\omega^{2}}{2}x^{2}-\gamma(t)x
\tag{1}
\end{equation}
L=T-V=\frac{m}{2}\dot{x}^{2}-\frac{m\omega^{2}}{2}x^{2}+\gamma(t)x,
\quad V[x(t)]=\frac{m\omega^{2}}{2}x^{2}-\gamma(t)x
\tag{1}
\end{equation}
であるから, この場合の運動方程式は次である：
\begin{equation}
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\oodiff{V}{x}=-m\omega^{2}x+\gamma(t)\quad\rightarrow\quad
\ddot{x}+\omega^{2}x=\frac{1}{m}\gamma(t)
\tag{2}
\end{equation}
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\oodiff{V}{x}=-m\omega^{2}x+\gamma(t)\quad\rightarrow\quad
\ddot{x}+\omega^{2}x=\frac{1}{m}\gamma(t)
\tag{2}
\end{equation}
このとき, 調和振動子のラグランジアンを \(L_0\), 作用を \(S_0\) とすると, 強制調和振動子のラグランジアン \(L\) 及び作用 \(S\) は次のように表わせることに注意する：
\begin{equation}
L=L_0+\gamma(t)x, \quad S=\int L\, dt=\int L_0\, dt +\int \gamma(t)x\, dt=S_0+\int \gamma(t)x\, dt
\tag{3}
\end{equation}
L=L_0+\gamma(t)x, \quad S=\int L\, dt=\int L_0\, dt +\int \gamma(t)x\, dt=S_0+\int \gamma(t)x\, dt
\tag{3}
\end{equation}
「２つの離れた時刻に於ける \(x\) の値を含む汎関数の遷移要素」は, 式 (7-15) によって求めることが出来た：
\begin{equation}
\bra{\chi}V[x(t), t]V[x(s), s]\ket{\psi}=\int dx_4\int dx_3\, \chi^{*}(4)V(4)K(4, 3)V(3)\psi(3)
\tag{4}
\end{equation}
\bra{\chi}V[x(t), t]V[x(s), s]\ket{\psi}=\int dx_4\int dx_3\, \chi^{*}(4)V(4)K(4, 3)V(3)\psi(3)
\tag{4}
\end{equation}
ただし \(s<t\) のときは \(t_3=s, \, t_4=t\)とし \(t<s\) のときは \(t_3=t, \, t_4=s\) の置き換えをする． 従って, この場合は \(V[x(t), t]=x(t)\), \(V[x(s),s]=x(s)\) として次となる：
\begin{align}
\big\langle x(t)x(s)\big\rangle&=\bra{\chi}x(t)x(s)\ket{\psi}=\int dx_2\int dx_1\, \chi^{*}(2)x(2)K(2, 1)x(1)\psi(1)\notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{1}^{2}\mathscr{D}x(\tau)\,\chi^{*}(x_2)x(t)\,e^{iS/\hbar}\,x(s)\psi(x_1),
\notag\\
\text{where}&\quad S=\int_1^{2} d\tau\, L(x, \tau)
\tag{5}
\end{align}
\big\langle x(t)x(s)\big\rangle&=\bra{\chi}x(t)x(s)\ket{\psi}=\int dx_2\int dx_1\, \chi^{*}(2)x(2)K(2, 1)x(1)\psi(1)\notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{1}^{2}\mathscr{D}x(\tau)\,\chi^{*}(x_2)x(t)\,e^{iS/\hbar}\,x(s)\psi(x_1),
\notag\\
\text{where}&\quad S=\int_1^{2} d\tau\, L(x, \tau)
\tag{5}
\end{align}
調和振動子の作用 \(S_0\) はガウス型であるから強制振動子の作用 \(S\) もガウス型となる．従って, 調和振動子の場合の次の遷移要素は, 強制調和振動子の遷移要素 \(\langle x(t)x(s)\rangle_{S}\) と見做すことが出来る (§ 7-4 を参照のこと)：
\begin{align}
\left\langle x(t)x(s)\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int \gamma(\tau)x(\tau)\right]\right\rangle_{S_0}
&=\int_{a}^{b}\mathscr{D}x(\tau)\, x(t)x(s)\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int \gamma(\tau)x(\tau)\right]
\, e^{iS_0/\hbar}\notag\\
&=\int_{a}^{b}\mathscr{D}x(\tau)\, x(t)x(s)\, e^{iS/\hbar}\notag\\
&\equiv \big\langle x(t)x(s)\big\rangle_S
\tag{6}
\end{align}
\left\langle x(t)x(s)\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int \gamma(\tau)x(\tau)\right]\right\rangle_{S_0}
&=\int_{a}^{b}\mathscr{D}x(\tau)\, x(t)x(s)\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int \gamma(\tau)x(\tau)\right]
\, e^{iS_0/\hbar}\notag\\
&=\int_{a}^{b}\mathscr{D}x(\tau)\, x(t)x(s)\, e^{iS/\hbar}\notag\\
&\equiv \big\langle x(t)x(s)\big\rangle_S
\tag{6}
\end{align}
従って, この強制調和振動子場合の経路積分は § 3-5 の方法によって計算できる． すなわち \(x(t)=\bar{x}(t)+y(t), \, x(s)=\bar{x}(s)+y(s)\) そして \(x(\tau)=\bar{x}(\tau)+y(\tau)\) と表現する．すると,
\begin{align}
&\big\langle x(t)x(s)\big\rangle_S=\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{x_{1}}^{x_{2}}
\mathscr{D}x(\tau)\, \chi^{*}(x_2) x(t)x(s)\, e^{iS/\hbar}\psi(x_1)\notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{x_{1}}^{x_{2}}\mathscr{D}x(\tau)\,
\chi^{*}(x_2) \big[ \bar{x}(t)+y(t)\big]\big[\bar{x}(s)+y(s)\big]\, e^{iS/\hbar}\psi(x_1)\notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{x_{1}}^{x_{2}}\mathscr{D}x(\tau)\,
\chi^{*}(x_2) \big[ \bar{x}(t)\bar{x}(s)+\bar{x}(t)y(s)+\bar{x}(s)y(t)+y(t)y(s)\big]\,
e^{iS/\hbar}\psi(x_1)\notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{x_{1}}^{x_{2}}
\mathscr{D}x(\tau)\, \chi^{*}(x_2)\bar{x}(t)\bar{x}(s)\, e^{iS/\hbar}\psi(x_1)\notag\\
&\quad +\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{0}^{0}
\mathscr{D}y(\tau)\, \chi^{*}(x_2)\big[\bar{x}(t)y(s)+\bar{x}(s)y(t)+y(t)y(s)\big]\, e^{iS/\hbar}\psi(x_1)
\notag\\
&=\big\langle \bar{x}(t)\bar{x}(s)\big\rangle
+\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{0}^{0}
\mathscr{D}y(\tau)\, \chi^{*}(x_2)\big[\bar{x}(t)y(s)+\bar{x}(s)y(t)+y(t)y(s)\big]\, e^{iS/\hbar}\psi(x_1)
\tag{7}
\end{align}
&\big\langle x(t)x(s)\big\rangle_S=\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{x_{1}}^{x_{2}}
\mathscr{D}x(\tau)\, \chi^{*}(x_2) x(t)x(s)\, e^{iS/\hbar}\psi(x_1)\notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{x_{1}}^{x_{2}}\mathscr{D}x(\tau)\,
\chi^{*}(x_2) \big[ \bar{x}(t)+y(t)\big]\big[\bar{x}(s)+y(s)\big]\, e^{iS/\hbar}\psi(x_1)\notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{x_{1}}^{x_{2}}\mathscr{D}x(\tau)\,
\chi^{*}(x_2) \big[ \bar{x}(t)\bar{x}(s)+\bar{x}(t)y(s)+\bar{x}(s)y(t)+y(t)y(s)\big]\,
e^{iS/\hbar}\psi(x_1)\notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{x_{1}}^{x_{2}}
\mathscr{D}x(\tau)\, \chi^{*}(x_2)\bar{x}(t)\bar{x}(s)\, e^{iS/\hbar}\psi(x_1)\notag\\
&\quad +\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{0}^{0}
\mathscr{D}y(\tau)\, \chi^{*}(x_2)\big[\bar{x}(t)y(s)+\bar{x}(s)y(t)+y(t)y(s)\big]\, e^{iS/\hbar}\psi(x_1)
\notag\\
&=\big\langle \bar{x}(t)\bar{x}(s)\big\rangle
+\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{0}^{0}
\mathscr{D}y(\tau)\, \chi^{*}(x_2)\big[\bar{x}(t)y(s)+\bar{x}(s)y(t)+y(t)y(s)\big]\, e^{iS/\hbar}\psi(x_1)
\tag{7}
\end{align}
上式 (7) と式 (7-65) の比較から \(\langle g(t, s)\rangle=g(t, s)\langle 1\rangle\) は次のように表現することが出来る：
\begin{equation}
\big\langle g(t, s)\big\rangle =\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{0}^{0}
\mathscr{D}y(\tau)\, \chi^{*}(x_2)\big[\bar{x}(t)y(s)+\bar{x}(s)y(t)+y(t)y(s)\big]\, e^{iS/\hbar}\psi(x_1)
\tag{8}
\end{equation}
\big\langle g(t, s)\big\rangle =\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{0}^{0}
\mathscr{D}y(\tau)\, \chi^{*}(x_2)\big[\bar{x}(t)y(s)+\bar{x}(s)y(t)+y(t)y(s)\big]\, e^{iS/\hbar}\psi(x_1)
\tag{8}
\end{equation}
更に, § 3-5 の式 (3-48) で検討したように, ガウス積分では \(y\) について一次の項の積分はゼロとなるべきである．よって,
\begin{equation}
\big\langle g(t, s)\big\rangle =\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{0}^{0}
\mathscr{D}y(\tau)\, \chi^{*}(x_2)y(t)y(s)\, e^{iS/\hbar}\psi(x_1)
\tag{9}
\end{equation}
\big\langle g(t, s)\big\rangle =\int_{-\infty}^{\infty} dx_2\int_{-\infty}^{\infty} dx_1\int_{0}^{0}
\mathscr{D}y(\tau)\, \chi^{*}(x_2)y(t)y(s)\, e^{iS/\hbar}\psi(x_1)
\tag{9}
\end{equation}
このとき, 端点では \(y(t)\) 及び \(y(s)\) はゼロである． よって, 「 \(g(t, s)\) に端点位置 \(x_1, x_2\) は含まれない」すなわち「 \(g(t, s)\) は端点の値 \(x_1, x_2\) には依存しない」と言える． また「経路 \(y\) についての積分は関数 \(\gamma(t)\) には依存しない」とも言えるのであった (§ 7-4 を参照のこと)． 従って, 「 \(g(t, s)\) は \(\gamma(t)\) にも依存しない」と言える．
微分方程式 (2) の一般解は, 例えば, 野上：「力学演習」の § 4.3 強制振動 (p.82 \(\sim\) ) より次となる：
\begin{equation}
x(t)=a\cos(\omega_0 t+\alpha)+\frac{1}{m\omega_0}\int_{0}^{t}\gamma(t’)\sin\omega_0(t-t’)\, dt’
\tag{10}
\end{equation}
x(t)=a\cos(\omega_0 t+\alpha)+\frac{1}{m\omega_0}\int_{0}^{t}\gamma(t’)\sin\omega_0(t-t’)\, dt’
\tag{10}
\end{equation}
これに境界条件 \(x(t=0)=x_1,\, x(t=T)=x_2\) を課した古典軌道 \(\bar{x}(t)\) は次となる：
\begin{equation}
\bar{x}(t)=x_1\frac{\sin\omega(T-t)}{\sin\omega T}+x_2\frac{\sin\omega t}{\sin\omega T}
+\frac{1}{m\omega_0}\int_{0}^{t}\gamma(t’)\sin\omega_0(t-t’)\, dt’
\tag{11}
\end{equation}
\bar{x}(t)=x_1\frac{\sin\omega(T-t)}{\sin\omega T}+x_2\frac{\sin\omega t}{\sin\omega T}
+\frac{1}{m\omega_0}\int_{0}^{t}\gamma(t’)\sin\omega_0(t-t’)\, dt’
\tag{11}
\end{equation}
また, この場合の \(f(t, s)=\langle x(t)x(s)\rangle\) についての式 (7-59) は,
\begin{align}
\Bppdiff{f}{t}&=\left\langle \ddot{x}(t)\, x(s)\right\rangle
=\frac{\hbar}{i m}\delta(t-s)\big\langle 1 \big\rangle -\frac{1}{m}\left\langle\oodiff{V[x(t)]}{x(t)}x(s)\right\rangle\notag\\
&=\frac{\hbar}{i m}\delta(t-s)\big\langle 1 \big\rangle -\omega^{2}\bigl\langle x(t)\, x(s) \bigr\rangle
+\frac{1}{m}\bigl\langle\gamma(t)\, x(s)\bigr\rangle\notag\\
&=\frac{\hbar}{i m}\delta(t-s)\big\langle 1 \big\rangle – \omega^{2}\bigl\langle f \bigr\rangle
+\frac{1}{m}\bigl\langle\gamma(t)x(s)\bigr\rangle
\tag{12}
\end{align}
\Bppdiff{f}{t}&=\left\langle \ddot{x}(t)\, x(s)\right\rangle
=\frac{\hbar}{i m}\delta(t-s)\big\langle 1 \big\rangle -\frac{1}{m}\left\langle\oodiff{V[x(t)]}{x(t)}x(s)\right\rangle\notag\\
&=\frac{\hbar}{i m}\delta(t-s)\big\langle 1 \big\rangle -\omega^{2}\bigl\langle x(t)\, x(s) \bigr\rangle
+\frac{1}{m}\bigl\langle\gamma(t)\, x(s)\bigr\rangle\notag\\
&=\frac{\hbar}{i m}\delta(t-s)\big\langle 1 \big\rangle – \omega^{2}\bigl\langle f \bigr\rangle
+\frac{1}{m}\bigl\langle\gamma(t)x(s)\bigr\rangle
\tag{12}
\end{align}
従って， \(f(t, s)\) に対する微分方程式として次が得られる (ただし \(\langle\,\rangle\) は省略している)：
\begin{equation}
\Bppdiff{f}{t}+\omega^{2}\, f=\frac{\hbar}{im}\delta(t-s)+\frac{1}{m}\gamma(t)x(s)
\tag{13}
\end{equation}
\Bppdiff{f}{t}+\omega^{2}\, f=\frac{\hbar}{im}\delta(t-s)+\frac{1}{m}\gamma(t)x(s)
\tag{13}
\end{equation}
非同次微分方程式 (13) を前述の手順に従って解いて行けば良いのだが, この計算は非常に大変そうである． そこで, ここでは後述の § 7-4 の式 (7-71) を用いて \(\langle x(t)\, x(s)\rangle\) に於ける \(g(t, s)\) 部分を求めておくだけにしよう． 式(6)から、「強制調和振動子の場合の \(\langle x(t)x(s)\rangle\) は, 調和振動子の場合の式(6)の左辺に於いて \(\gamma=0\) としたもの」と言えるからである：
\begin{align}
\bigl\langle x(t)\, x(s)\bigr\rangle_S
&=\left.\left\langle x(t)x(s)\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int \gamma(\tau)x(\tau)\right]\right\rangle_{S_0}
\right|_{\gamma=0}=\bigl\langle x(t)\, x(s)\bigr\rangle_{S_0}\notag\\
&=\big\langle 1 \big\rangle_{S_0}
\left.\left\{\frac{\delta S^{‘}_{cl}}{\delta \gamma(t)}\frac{\delta S^{‘}_{cl}}{\delta \gamma(s)}
+\frac{\hbar}{i}\frac{\delta^{2}S_{cl}^{‘}}{\delta \gamma(t)\, \delta \gamma(s)}\right\}\right|_{\gamma=0}\notag\\
\rightarrow\quad &g(t, s)=\left.\frac{\hbar}{i}
\frac{\delta^{2}S_{cl}^{‘}}{\delta \gamma(t)\, \delta \gamma(s)}\right|_{\gamma=0}
\tag{14}
\end{align}
\bigl\langle x(t)\, x(s)\bigr\rangle_S
&=\left.\left\langle x(t)x(s)\exp\left[\frac{i}{\hbar}\int \gamma(\tau)x(\tau)\right]\right\rangle_{S_0}
\right|_{\gamma=0}=\bigl\langle x(t)\, x(s)\bigr\rangle_{S_0}\notag\\
&=\big\langle 1 \big\rangle_{S_0}
\left.\left\{\frac{\delta S^{‘}_{cl}}{\delta \gamma(t)}\frac{\delta S^{‘}_{cl}}{\delta \gamma(s)}
+\frac{\hbar}{i}\frac{\delta^{2}S_{cl}^{‘}}{\delta \gamma(t)\, \delta \gamma(s)}\right\}\right|_{\gamma=0}\notag\\
\rightarrow\quad &g(t, s)=\left.\frac{\hbar}{i}
\frac{\delta^{2}S_{cl}^{‘}}{\delta \gamma(t)\, \delta \gamma(s)}\right|_{\gamma=0}
\tag{14}
\end{align}
強制調和振動子の古典的作用 \(S_{cl}\) は, 問題3 -11 中の式 (3-66) に与えられている：
\begin{align}
S_{\mathrm{cl}}&=\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\biggl[(x_b^{2}+x_a^{2})\cos\omega T-2x_bx_a
+\frac{2x_b}{m\omega}\int_{t_a}^{t_b}dt\, \gamma(t)\sin \omega(t-t_a)\notag\\
&\qquad+\frac{2x_a}{m\omega}\int_{t_a}^{t_b}dt\, \gamma(t)\sin \omega(t_b-t)\notag\\
&\qquad-\frac{2}{m^{2}\omega^{2}}\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t}ds\, \gamma(t)\gamma(s)\sin \omega(t_b-t)\sin
\omega(s-t_a)\biggr]
\tag{15}
\end{align}
S_{\mathrm{cl}}&=\frac{m\omega}{2\sin\omega T}\biggl[(x_b^{2}+x_a^{2})\cos\omega T-2x_bx_a
+\frac{2x_b}{m\omega}\int_{t_a}^{t_b}dt\, \gamma(t)\sin \omega(t-t_a)\notag\\
&\qquad+\frac{2x_a}{m\omega}\int_{t_a}^{t_b}dt\, \gamma(t)\sin \omega(t_b-t)\notag\\
&\qquad-\frac{2}{m^{2}\omega^{2}}\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t}ds\, \gamma(t)\gamma(s)\sin \omega(t_b-t)\sin
\omega(s-t_a)\biggr]
\tag{15}
\end{align}
この作用 \(S_{cl}\) 中の \(\gamma\) を含む項だけが \(\gamma\) の汎関数微分に関係するので, 上式の第 1 項と第 2 項を除いた部分を改めて \(S’_{cl}\) とすると,
\begin{align}
S’_{\mathrm{cl}} &=\frac{x_b}{\sin\omega T}\int_{t_a}^{t_b}dt\, \gamma(t)\sin\omega(t-t_a)+
\frac{x_a}{\sin\omega T}\int_{t_a}^{t_b}dt\, \gamma(t)\sin\omega(t_b-t)\notag\\
&\quad -\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t}dt^{‘}\, \gamma(t)\gamma(t^{‘})
\sin\omega(t_b-t)\sin\omega(t^{‘}-t_a)
\tag{16}
\end{align}
S’_{\mathrm{cl}} &=\frac{x_b}{\sin\omega T}\int_{t_a}^{t_b}dt\, \gamma(t)\sin\omega(t-t_a)+
\frac{x_a}{\sin\omega T}\int_{t_a}^{t_b}dt\, \gamma(t)\sin\omega(t_b-t)\notag\\
&\quad -\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\int_{t_a}^{t_b}dt\int_{t_a}^{t}dt^{‘}\, \gamma(t)\gamma(t^{‘})
\sin\omega(t_b-t)\sin\omega(t^{‘}-t_a)
\tag{16}
\end{align}
第 1 項 \(F_1\) と第 2 項 \(F_2\)の \(\gamma(u)\) による汎関数微分は \(t_a=0, t_b=T\) として次となる：
\begin{align*}
\frac{\delta F_1[\gamma(t)]}{\delta \gamma(u)}&=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{x_b}{\sin\omega T}\frac{1}{\varepsilon}
\left[\, \int_{t_a}^{t_b} dt\, \bigl\{\gamma(t)+\varepsilon\delta(t-u)\bigr\}\sin\omega(t-t_a)-
\int_{t_a}^{t_b}dt\, \gamma(t)\sin\omega(t-t_a)\, \right]\\
&=\frac{x_b}{\sin\omega T}\int_{t_a}^{t_b}\sin\omega(t-t_a)\delta(t-u)\, dt
=\frac{x_b}{\sin\omega T}\sin\omega(u-t_a)=\frac{x_b}{\sin\omega T}\sin\omega u \\
\frac{\delta F_2[\gamma(t)]}{\delta \gamma(u)}&=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{x_a}{\sin\omega T}\frac{1}{\varepsilon}
\left[\, \int_{t_a}^{t_b} dt\, \bigl\{\gamma(t)+\varepsilon\delta(t-u)\bigr\}\sin\omega(t_b-t)
-\int_{t_a}^{t_b}dt\, \gamma(t)\sin\omega(t_b-t)\, \right] \\
&=\frac{x_a}{\sin\omega T}\int_{t_a}^{t_b}\sin\omega(t_b-t)\delta(t-u)\, dt
=\frac{x_a}{\sin\omega T}\sin\omega(t_b-u)=\frac{x_a}{\sin\omega T}\sin\omega(T-u)
\end{align*}
従って,
\begin{equation}
\frac{\delta F_1[\gamma(t)]}{\delta \gamma(t)}=\frac{x_b}{\sin\omega T}\sin\omega t, \quad
\frac{\delta F_2[\gamma(t)]}{\delta \gamma(t)}=\frac{x_a}{\sin\omega T}\sin\omega(T-t)
\tag{17}
\end{equation}
\frac{\delta F_1[\gamma(t)]}{\delta \gamma(t)}=\frac{x_b}{\sin\omega T}\sin\omega t, \quad
\frac{\delta F_2[\gamma(t)]}{\delta \gamma(t)}=\frac{x_a}{\sin\omega T}\sin\omega(T-t)
\tag{17}
\end{equation}
また, 同様にして第 3 項 \(F_3\) の \(\gamma(u)\) による汎関数微分は,
\begin{align*}
&\frac{\delta F_3[\gamma(t)]}{\delta \gamma(u)}=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{1}{m\omega\sin\omega T}
\frac{1}{\varepsilon}\Biggl[\, \int_{t_a}^{t_b} dt^{”}\int_{t_a}^{t}dt^{‘}\, \Bigl[\bigl\{\gamma(t^{”})
+\varepsilon\delta(t^{”}-u)\bigr\}\bigl\{\gamma(t^{‘})+\varepsilon\delta(t^{‘}-u)\bigr\}\\
&\qquad\times\sin\omega(t_b-t^{”})\sin\omega(t^{‘}-t_a)\Bigr]-\int_{t_a}^{t_b} dt^{”}\int_{t_a}^{t^{”}}dt^{‘}\,
\gamma(t^{”})\gamma(t^{‘})\sin\omega(t_b-t^{”})\sin\omega(t^{‘}-t_a)\, \Biggr]\\
&\simeq\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\Biggl[\int_{t_a}^{t_b}dt^{”}\int_{t_a}^{t^{”}}dt^{‘}\, \delta(t^{”}-u)
\gamma(t^{‘})\sin\omega(t_b-t^{”})\sin\omega(t^{‘}-t_a)\\
&\qquad+\int_{t_a}^{t_b}dt^{”}\int_{t_a}^{t^{”}}dt^{‘}\, \gamma(t^{”})\, \delta(t^{‘}-u)
\sin\omega(t_b-t^{”})\sin\omega(t^{‘}-t_a)\Biggr]
\end{align*}
従って,
\begin{align}
\frac{\delta F_3[\gamma(t)]}{\delta \gamma(u)}&=\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\Biggl[
\int_{t_a}^{u}dt^{‘}\, \gamma(t^{‘})\sin\omega(t_b-u)\sin\omega(t^{‘}-t_a)\notag\\
&\qquad+\int_{t_a}^{t_b}dt^{”}\int_{t_a}^{t^{”}}dt^{‘}\, \gamma(t^{”})\, \delta(t^{‘}-u)
\sin\omega(t_b-t^{”})\sin\omega(t^{‘}-t_a)\Biggr]
\tag{18}
\end{align}
\frac{\delta F_3[\gamma(t)]}{\delta \gamma(u)}&=\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\Biggl[
\int_{t_a}^{u}dt^{‘}\, \gamma(t^{‘})\sin\omega(t_b-u)\sin\omega(t^{‘}-t_a)\notag\\
&\qquad+\int_{t_a}^{t_b}dt^{”}\int_{t_a}^{t^{”}}dt^{‘}\, \gamma(t^{”})\, \delta(t^{‘}-u)
\sin\omega(t_b-t^{”})\sin\omega(t^{‘}-t_a)\Biggr]
\tag{18}
\end{align}
以上から， \(S’_{cl}=F_1+F_2+F_3\) の \(\gamma\) による汎関数微分は次となる：
\begin{align}
\frac{\delta S’_{cl}}{\delta \gamma(t)}&=\frac{\delta F_1[\gamma(t)]}{\delta \gamma(t)}
+\frac{\delta F_2[\gamma(t)]}{\delta \gamma(t)}+\frac{\delta F_3[\gamma(t)]}{\delta \gamma(t)}\notag\\
&=\frac{x_b}{\sin\omega T}\sin\omega t+\frac{x_a}{\sin\omega T}\sin\omega(T-t)\notag\\
&\quad +\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\Biggl[\int_0^{t}dt^{‘}\, \gamma(t^{‘})\sin\omega(T-t)\sin\omega t^{‘}\\
&\qquad +\int_0^{T}dt^{”}\int_0^{t^{”}}dt^{‘}\, \gamma(t^{”})\delta(t^{‘}-t)\sin\omega(T-t^{”})
\sin\omega t^{‘}\Biggr]
\tag{19}
\end{align}
\frac{\delta S’_{cl}}{\delta \gamma(t)}&=\frac{\delta F_1[\gamma(t)]}{\delta \gamma(t)}
+\frac{\delta F_2[\gamma(t)]}{\delta \gamma(t)}+\frac{\delta F_3[\gamma(t)]}{\delta \gamma(t)}\notag\\
&=\frac{x_b}{\sin\omega T}\sin\omega t+\frac{x_a}{\sin\omega T}\sin\omega(T-t)\notag\\
&\quad +\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\Biggl[\int_0^{t}dt^{‘}\, \gamma(t^{‘})\sin\omega(T-t)\sin\omega t^{‘}\\
&\qquad +\int_0^{T}dt^{”}\int_0^{t^{”}}dt^{‘}\, \gamma(t^{”})\delta(t^{‘}-t)\sin\omega(T-t^{”})
\sin\omega t^{‘}\Biggr]
\tag{19}
\end{align}
更に \(\gamma\) で \(S’_{cl}\) を汎関数微分するときには, 第 3 項 \(F_3\) の汎関数微分だけが \(\gamma\) を含むので, 式 (18) だけの汎関数微分を考えればよい：
\begin{align}
&\frac{\delta^{2}S_{cl}^{‘}}{\delta \gamma(s)\delta \gamma(t)}\Biggl|_{f=0}
=\frac{\delta^{2}F_3[\gamma(t)]}{\delta \gamma(s)\delta \gamma(t)}\notag\\
&=\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\Biggl[\int_0^{t}dt^{‘}\, \delta(t^{‘}-s)\sin\omega(T-t)\sin\omega t^{‘}
+\int_0^{T}dt^{”}\int_0^{t^{”}}dt^{‘}\, \delta(t^{”}-s)\delta(t^{‘}-t)\sin\omega(T-t^{”})\sin\omega t^{‘}
\Biggr]\notag\\
&=\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\Biggl[\int_0^{t}dt^{‘}\, \delta(t^{‘}-s)\sin\omega(T-t)\sin\omega t^{‘}
+\int_0^{s}dt^{‘}\, \delta(t^{‘}-t)\sin\omega(T-s)\sin\omega t^{‘}\Biggr]
\tag{20}
\end{align}
&\frac{\delta^{2}S_{cl}^{‘}}{\delta \gamma(s)\delta \gamma(t)}\Biggl|_{f=0}
=\frac{\delta^{2}F_3[\gamma(t)]}{\delta \gamma(s)\delta \gamma(t)}\notag\\
&=\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\Biggl[\int_0^{t}dt^{‘}\, \delta(t^{‘}-s)\sin\omega(T-t)\sin\omega t^{‘}
+\int_0^{T}dt^{”}\int_0^{t^{”}}dt^{‘}\, \delta(t^{”}-s)\delta(t^{‘}-t)\sin\omega(T-t^{”})\sin\omega t^{‘}
\Biggr]\notag\\
&=\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\Biggl[\int_0^{t}dt^{‘}\, \delta(t^{‘}-s)\sin\omega(T-t)\sin\omega t^{‘}
+\int_0^{s}dt^{‘}\, \delta(t^{‘}-t)\sin\omega(T-s)\sin\omega t^{‘}\Biggr]
\tag{20}
\end{align}
結果は \(s\) と \(t\) の大小関係によって異なってくる． \(s<t\) の場合, 第 1 項では \(0<t^{‘}\le t\) より \(t^{‘}=s\) と成り得る． しかし, 第 2 項では \(t^{‘}=t\) とは成り得ないことは明らかである． よって, デルタ関数の性質により第 1 項のみが残る：
\begin{align}
\frac{\delta^{2}S’_{cl}}{\delta \gamma(s)\delta \gamma(t)}\Biggl|_{f=0}&=\frac{1}{m\omega\sin\omega T}
\int_0^{t}dt^{‘}\, \delta(t^{‘}-s)\sin\omega(T-t)\sin\omega t^{‘}\notag\\
&=\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\sin\omega(T-t)\sin\omega s
\tag{21}
\end{align}
\frac{\delta^{2}S’_{cl}}{\delta \gamma(s)\delta \gamma(t)}\Biggl|_{f=0}&=\frac{1}{m\omega\sin\omega T}
\int_0^{t}dt^{‘}\, \delta(t^{‘}-s)\sin\omega(T-t)\sin\omega t^{‘}\notag\\
&=\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\sin\omega(T-t)\sin\omega s
\tag{21}
\end{align}
\(t<s\) の場合には， \(t^{‘}\le t<s\) より逆に第 2 項のみが残る：
\begin{align}
\frac{\delta^{2}S’_{cl}}{\delta \gamma(s)\delta \gamma(t)}\Biggl|_{f=0}
&=\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\int_0^{s}dt^{‘}\, \delta(t^{‘}-t)\sin\omega(T-s)\sin\omega t^{‘}\notag\\
&=\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\sin\omega(T-s)\sin\omega t
\tag{22}
\end{align}
\frac{\delta^{2}S’_{cl}}{\delta \gamma(s)\delta \gamma(t)}\Biggl|_{f=0}
&=\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\int_0^{s}dt^{‘}\, \delta(t^{‘}-t)\sin\omega(T-s)\sin\omega t^{‘}\notag\\
&=\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\sin\omega(T-s)\sin\omega t
\tag{22}
\end{align}
よって, 式 (4) の \(g(t, s)\) に相当する式は次となる：
\begin{align}
g(t, s)&=\frac{\hbar}{i}\frac{\delta^{2}S_{cl}^{‘}}{\delta \gamma(s)\delta \gamma(t)}\Bigg|_{f=0}\notag\\
&=\begin{cases} \ \ds{\frac{\hbar}{i}\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\sin\omega(T-t)\sin\omega s} & \text{for}\quad s < t \\
\ds{\frac{\hbar}{i}\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\sin\omega(T-s)\sin\omega t} & \text{for}\quad t < s
\end{cases}
\tag{23}
\end{align}
g(t, s)&=\frac{\hbar}{i}\frac{\delta^{2}S_{cl}^{‘}}{\delta \gamma(s)\delta \gamma(t)}\Bigg|_{f=0}\notag\\
&=\begin{cases} \ \ds{\frac{\hbar}{i}\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\sin\omega(T-t)\sin\omega s} & \text{for}\quad s < t \\
\ds{\frac{\hbar}{i}\frac{1}{m\omega\sin\omega T}\sin\omega(T-s)\sin\omega t} & \text{for}\quad t < s
\end{cases}
\tag{23}
\end{align}
