問題 7-17 の解答例

Feynman-Hibbs cover

Problem 7-17
Prove Eq. (7-99) :

(7-99)χ|m2(xk+1xk)2ε2|ψ=miεχ|1|ψ+χ|mxk+1xkεmxkxk1ε|ψ

using Eq. (7-40) :
(7-40)Fxk=iεF[m(xk+12xk+xk1ε2)+V(xk)]

with F=mxk+1xkε

(注意) 原書では, 式 (7-99) 右辺 第1項のマイナス符号が抜けていると思われる.それは, 式 (7-99) と本文の前節 § 7-3 の式 (7-54) との同等性からも言えることである:

(7-54)m2(xk+1xkε)(xkxk1ε)=m2(xk+1xkε)2+2iε1

ここでは, それを修正して表示しているので注意すべし. ( 経路積分ゼミナールでは, この式 (7-54) を根拠に回答している. )


 
( 解答 )  式 (7-40) に於いてポテンシャル一定, 即ち dVdxk=0 の場合を書くと次である:
Fxk=iεFmxk+12xk+xk1ε2=iεFm(xk+1xk)(xkxk1)ε2(1)=iF{mxk+1xkεmxkxk1ε}
この F として F=mxk+1xkε を代入すると, その左辺及び右辺は,
(2)Fxk=xk(mxk+1xkε)=mε=mε1,
iF{mxk+1xkεmxkxk1ε}=i(mxk+1xkε){mxk+1xkεmxkxk1ε}(3)=i(mxk+1xkε)2imxk+1xkεmxkxk1ε
従って, 式 (2) と式 (3) が等しいとして,

(4)mε1=i(mxk+1xkε)2imxk+1xkεmxkxk1ε

この両辺に /i を掛け合わせて適当に移項すれば,
(5)m2(xk+1xkε)2=miε1+mxk+1xkεmxkxk1ε
即ち 式 (7-99) が得られる:
(7-99)χ|m2(xk+1xk)2ε2|ψ=miεχ|1|ψ++mxk+1xkεmxkxk1ε