問題 8-2 の解答例

Problem 8-2
Show that the matrix

τ_{j k} = \sum_{α} \frac{a_{j α} a_{k α}}{ω_{α}}

is the reciprocal square root of the

v_{j k}

matrix. That is, show

\begin{matrix} (8-65) & \sum_{l = 1}^{n} \sum_{m = 1}^{n} τ_{j l} τ_{l m} v_{m k} = δ_{j k} \end{matrix}

( 注意 )　原書の式 (8-63) と式 (8-64) 及び式 (8-65) には問題があるようだ．上記は, 校訂版の修正された問題文である．

( 解答 )　式 (8-65) 中の $τ_{j l}, τ_{l m}$ を具体的に次としよう：

\begin{matrix} (1) & τ_{j l} = \sum_{α} \frac{a_{j α} a_{l α}}{ω_{α}}, τ_{l m} = \sum_{β} \frac{a_{l β} a_{m β}}{ω_{β}} \end{matrix}

式 (8-44) と式 (8-48) は, (係数が対称的

v_{j k} = v_{k j}

であったことから)次である：

\begin{aligned} (8-44) & ω_{α}^{2} a_{j α} = \sum_{k = 1}^{n} v_{j k} a_{k α} = \sum_{k = 1}^{n} v_{k j} a_{k α} \\ (8-48) & \sum_{j = 1}^{n} a_{j α} a_{j β} = δ_{α β} \end{aligned}

これらの式 (1), 式 (8-44), 式 (8-48) を利用すると, 式 (8-65) の左辺は次のように展開される：

\begin{aligned} \sum_{l = 1}^{n} \sum_{m = 1}^{n} τ_{j l} τ_{l m} v_{m k} & = \sum_{l} \sum_{m} (\sum_{α} \frac{a_{j α} a_{l α}}{ω_{α}}) (\sum_{β} \frac{a_{l β} a_{m β}}{ω_{β}}) v_{m k} \\ = \sum_{m} \sum_{α} \sum_{β} \frac{a_{j α} a_{m β}}{ω_{α} ω_{β}} (\sum_{l} a_{l α} a_{l β}) v_{m k} \\ = \sum_{m} \sum_{α} \sum_{β} \frac{a_{j α} a_{m β}}{ω_{α} ω_{β}} δ_{α β} v_{m k} \\ = \sum_{m} \sum_{α} (\sum_{β} \frac{a_{j α} a_{m β}}{ω_{α} ω_{β}} δ_{α β}) v_{m k} = \sum_{m} \sum_{α} \frac{a_{j α} a_{m α}}{ω_{α} ω_{α}} v_{m k} \\ = \sum_{α} \frac{a_{j α}}{ω_{α}^{2}} (\sum_{m} v_{m k} a_{m α}) \\ = \sum_{α} \frac{a_{j α}}{ω_{α}^{2}} \times ω_{α}^{2} a_{k α} \\ (2) & = \sum_{α} a_{j α} a_{k α} \end{aligned}

ここで, 前式 (8-48) の両辺に

a_{k α}

を掛け合わせて

α

について和をとってみると,

\begin{aligned} \sum_{α} a_{k α} \sum_{j} a_{j α} a_{j β} & = \sum_{α} a_{k α} δ_{α β} \\ (3) & \sum_{j} (\sum_{α} a_{j α} a_{k α}) a_{j β} & = a_{k β} \end{aligned}

クロネッカーデルタの性質を考慮するならば, 上式左辺のカッコ内の量が

δ_{j k}

であれば右辺に等しくなる：

\sum_{j} δ_{j k} a_{j β} = a_{k β}

従って, 次式が成り立てば十分である：

\begin{matrix} (4) & \sum_{α} a_{j α} a_{k α} = δ_{j k} \end{matrix}

以上の結果式 (2) と式 (4) とから, 題意の式 (8-65) が成り立つべきである：

\begin{matrix} (5) & \sum_{l = 1}^{n} \sum_{m = 1}^{n} τ_{j l} τ_{l m} v_{m k} = \sum_{α} a_{j α} a_{k α} = δ_{j k} \end{matrix}

( 参考 )　　解答を得るに当たり, テル・ハール：「解析力学」の第３章を大いに参照した．そこには Feynman & Hibbs 本文の「基準座標」など多くの内容が詳しく述べられている．