Problem 8-5
A transition element which employs the same wave function as both the initial and final states is called an expectation value. [1] Complare this definition of expectation value with the definition of the expected value of an operator given in Sec. 5-3, particularly in Eq. (5-46).
Thus the expectation value of
( The integral over complex variables is defined as equal to the corresponding integral over real normal coordinates
Show that the following expectation values are correct (for
( 解答 ) 前の問題 8-4 から,
このときの
よって, 式 (8-84) は次のように表わすことが出来る:
また
さらに, 変数
まず
このとき, 第1項と第2項の両方に次の形の積分が因子として含まれている:
この積分は, 被積分関数が奇関数であるためにゼロである.従って, 全体もゼロとなる.
次に
このとき 第 1 項と第 2 項の積分は, 変数的には等価な2重積分であるから互いに打ち消し合う.また, 第 3 項は前述の式(4)と同じ理由からゼロである.よって, 式 (7) 全体もゼロとなることは明らかである.
同様にして
ここで, 巻末の積分公式を利用する:
すると, 上式 (9) は
他方, 遷移振幅は次である:
これは式 (4) に於いて
この結果は, ちょうど式 (11) の因子の一部になっていることが分かる.従って, 式 (11) は次のように表わせることになる:
最後に
従って,
このとき
References