問題 8-5 の解答例

Feynman-Hibbs cover

Problem 8-5
A transition element which employs the same wave function as both the initial and final states is called an expectation value. [1] Complare this definition of expectation value with the definition of the expected value of an operator given in Sec. 5-3, particularly in Eq. (5-46).
Thus the expectation value of F for the ground state Φ0 of Eq. (8-83) is

(8-84)Φ0|F|Φ0=Φ0FΦ0dQ0dQ1dQN1

( The integral over complex variables is defined as equal to the corresponding integral over real normal coordinates QαC and QαS. )
Show that the following expectation values are correct (for α0): [2]【 注意】 この問題は, J.J.Sakuraiの § 2.3 (p.126 ) に記してある次のことに相当している.すなわち, 調和振動子の基底状態での位置についての … Continue reading
Φ0|Qα|Φ0=Φ0|Qα|Φ0=0,Φ0|Qα2|Φ0=Φ0|Qα2|Φ0=0,(8-85)Φ0|QαQα|Φ0=2ωαΦ0|1|Φ0,Φ0|QαQβ|Φ0=0ifαβ


( 解答 )  前の問題 8-4 から, Φ0Φ0 は次のように書ける:

Φ0=α=012(N1)AαCexp{12ωα(QαC)2}α=112(N1)AαSexp{12ωα(QαS)2}=Aα=012(N1)exp[ωα2{(QαC)2+(QαS)2}],(1)Φ0=Aβ=012(N1)exp[ωβ2{(QβC)2+(QβS)2}]

このときの QαCQαS が一緒に合わさって, この系の N 個の基準座標 Qi を形成するのであった.
Qi=[Q0C,Q1C,,Q12(N1)C,Q1S,Q2S,,Q12(N1)S]

よって, 式 (8-84) は次のように表わすことが出来る:
Φ0|F|Φ0=dQ0dQN1 Φ0FΦ0=|A|2dQ0CdQ12(N1)CdQ1SdQ12(N1)S(2)×ν=012(N1)exp[ων2{(QνC)2+(QνS)2}]Fμ=012(N1)exp[ωμ2{(QμC)2+(QμS)2}]

また Qα2Qα2QαQαQαQβ は次となる:
Qα2=12(QαCiQαS)2=12{(QαC)2i2QαCQαS(QαS)2}(3)Qα2=12(QαC+iQαS)2=12{(QαC)2+i2QαCQαS(QαS)2}QαQα=12(QαC+iQαS)(QαCiQαS)=12{(QαC)2+(QαS)2}QαQβ=12(QαC+iQαS)(QβCiQβS)=12(QαCQβC+QαSQβS)+i2(QαSQβC+QαCQβS)

さらに, 変数 Qα の経路積分を変数 QαC 及び QαS の経路積分へ変数変換することは, 複素平面に於ける単なる座標回転に相当している.従って, 変数変換によって余分な因子は付かずまた積分範囲も変わらない.以上の事をもとに, 各々の期待値を式 (8-84) により求めて行こう.

まず Φ0|Qα|Φ0 及び Φ0|Qα|Φ0 を考えると,

Φ0|Qα|Φ0=|A|2dQ0CdQ12(N1)CdQ1SdQ12(N1)S×ν=012(N1)exp[ων2{(QνC)2+(QνS)2}]12{QαCiQαS}×μ=012(N1)exp[ωμ2{(QμC)2+(QμS)2}]=|A|22[μαdQμCexp{ωμ(QμC)2}dQαCQαCexp{ωα(QαC)2}ν=1dQνSexp{ων(QνS)2}(4)iμ=0dQμCexp{ωμ(QμC)2}ναdQνSexp{ων(QνS)2}dQαSQαSexp{ωα(QαS)2}]

このとき, 第1項と第2項の両方に次の形の積分が因子として含まれている:
(5)xeax2dx=0

この積分は, 被積分関数が奇関数であるためにゼロである.従って, 全体もゼロとなる. Qα の場合では, 第2項目の符号がプラスとなるだけで同様な議論となる.よって, 次が言える:
(6)Φ0|Qα|Φ0=0,Φ0|Qα|Φ0=0

次に Φ0|Qα2|Φ0 及び Φ0|Qα2|Φ0 を考える.式 (2) の F に, 式 (3) の Φ02 または Φ02 を代入すると,
Φ0|Qα2|Φ0=|A|2dQ0CdQ12(N1)CdQ1SdQ12(N1)Sν=012(N1)exp[ων2{(QνC)2+(QνS)2}]×12{(QαC)2(QαS)22iQαCQαS}μ=012(N1)exp[ωμ2{(QμC)2+(QμS)2}]=|A|22[μαdQμCexp{ωμ(QμC)2}dQαC(QαC)2exp{ωα(QαC)2}ν=1dQνSexp{ων(QνS)2}μαdQμCexp{ωμ(QμC)2}ναdQνSexp{ων(QνS)2}dQαS(QαS)2exp{ωα(QαS)2}(7)2iμαdQμCexp{ωμ(QμC)2}ναdQνSexp{ων(QνS)2}dQαCQαCexp{ωα(QαC)2}dQαSQαSexp{ωα(QαS)2}]

このとき 第 1 項と第 2 項の積分は, 変数的には等価な2重積分であるから互いに打ち消し合う.また, 第 3 項は前述の式(4)と同じ理由からゼロである.よって, 式 (7) 全体もゼロとなることは明らかである.

Qα の場合は, 第 3 項の符号がプラスになるだけであるから, やはりゼロとなる.以上から, 次の結論となる:

(8)Φ0|Qα2|Φ0=0,Φ0|Qα2|Φ0=0

同様にして Φ0|QαQα|Φ0 の場合は,
Φ0|QαQα|Φ0=|A|2dQ0CdQ12(N1)CdQ1SdQ12(N1)Sν=012(N1)exp[ων2{(QνC)2+(QνS)2}]×12{(QαC)2+(QαS)2}μ=012(N1)exp[ωμ2{(QμC)2+(QμS)2}]=|A|22[μαdQμCexp{ωμ(QμC)2}dQαC(QαC)2exp{ωα(QαC)2}ν=1dQνSexp{ων(QνS)2}(9)+μ=0dQμCexp{ωμ(QμC)2}ναdQνSexp{ων(QνS)2}dQαS(QαS)2exp{ωα(QαS)2}]

ここで, 巻末の積分公式を利用する:
IA(a)=eax2dx=πaIA(ωα)=πωα ,(10)IB(a)=x2eax2dx=12aπaIB(ωα)=2ωαπωα

すると, 上式 (9) は
Φ0|QαQα|Φ0=|A|22{μαIA(ωμ)IB(ωα)ν=1IA(ων)+μ=0IA(ωμ)ναIA(ων)IB(ωα)}=|A|22{μαπωμ2ωαπωαν=1πων+μ=0πωμναπων2ωαπωα }=2ωα|A|2μ=012(N1)πωμν=112(N1)πων(11)=2ωα|A|2πω0μ=112(N1)πωμ

他方, 遷移振幅は次である:
(12)Φ0|1|Φ0=dQ0CdQ12(N1)CdQ0SdQ12(N1)S Φ0Φ0

これは式 (4) に於いて F=1 とすればよいから,
Φ0|1|Φ0=|A|2dQ0CdQ12(N1)CdQ1SdQ12(N1)S×ν=012(N1)exp[ων2{(QνC)2+(QνS)2}]μ=012(N1)exp[ωμ2{(QμC)2+(QμS)2}]=|A|2μ=012(N1)dQμCexp{ωμ(QμC)2}ν=112(N1)dQμCexp{ων(QνC)2}=|A|2μ=012(N1)IA(ωμ)ν=112(N1)IA(ων)=|A|2μ=012(N1)πωμν=112(N1)πων(13)=|A|2πω0μ=112(N1)πωμ

この結果は, ちょうど式 (11) の因子の一部になっていることが分かる.従って, 式 (11) は次のように表わせることになる:
Φ0|QαQα|Φ0=2ωα|A|2πω0μ=112(N1)πωμ(14)=2ωαΦ0|1|Φ0

最後に Φ0|QαQβ|Φ0 の場合 (ただし αβ ) を考えると,

Φ0|QαQβ|Φ0=|A|2dQ0CdQ12(N1)CdQ1SdQ12(N1)Sν=012(N1)exp[ων2{(QνC)2+(QνS)2}](15)×12{QαCQβC+QαSQβS+i(QαSQβC+QαCQβS)}μ=012(N1)exp[ωμ2{(QμC)2+(QμS)2}]

従って,
Φ0|QαQβ|Φ0=|A|22μα,βdQμCexp{ωμ(QμC)2}να,βdQνSexp{ων(QνS)2}×[k=C,SdQαkQαkexp{ωα(Qαk)2}dQβkQβkexp{ωβ(Qβk)2}+idQαSQαSexp{ωα(QαS)2}dQβCQβCexp{ωβ(QβC)2}(16)+idQαCQαCexp{ωα(QαC)2}dQβSQβSexp{ωβ(QβS)2}]

このとき [ ] 中の積分項の全てが, 式(5): xeax2dx=0 の形になっている.従って全体も明らかにゼロとなるので,
(14)Φ0|QαQβ|Φ0=0

References

References
1 Complare this definition of expectation value with the definition of the expected value of an operator given in Sec. 5-3, particularly in Eq. (5-46).
2 【 注意】 この問題は, J.J.Sakuraiの § 2.3 (p.126 ) に記してある次のことに相当している.すなわち, 調和振動子の基底状態での位置についての xx2 の期待値(平均値) や運動量についての pp2 の期待値(平均値) は次である:
(15)x=0,x2=2mω,p=0,p2=mω2