同時確率分布および自己相関関数について

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「コヒーレント状態」についてブログ記事を書く準備として,　まずはそこで用いる基礎的な事柄をまとめておくことにする．

同時確率分布(joint probability distribution)

まず初めに, 松原望著：「入門確率過程」の§ 4.2 から関連する事柄を要約しておく．
一般に２つの確率変数 $X,Y$ があるとし, これを２次元のベクトル $(X,Y)$ として表そう．２変数を同時に考えるのは, それらの間に互いに関係があると考えるからである．$X=x$ であり同時に $Y=y$ である確率 $$P(X=x,Y=y)=f(x,y)$$ を, ２次元確率変数 $(X,Y)$ の「同時確率分布」または「結合確率分布」という．特に $X$,$Y$ が連続型の確率変数である場合の $f(x,y)$ は, ２次元の確率密度関数であり「同時確率密度関数」または「結合確率密度関数」と呼ばれ, 次を満たす：

ただし $\mathrm{\Omega }$ は「標本空間」で, ２次元ユークリッド空間 (平面) の全範囲のことである．
この $f(x,y)$ によって事象 $A$ ($\mathrm{\Omega }$ の部分集合) の確率は, $A$ が区間であるならば積分で定義される：

$X$, $Y$ が連続型の確率変数の場合, $X$, $Y$ の「単独の確率密度関数」は,「同時確率密度関数」から次で与えられる：

これらを「周辺確率密度関数」と言い, それらが与える確率分布を「周辺確率分布」と言う．このとき注意すべきは,「同時確率分布 $f(x,y)$ が与えられたときに初めて $X,Y$ の関係が定まる」ということである．従って, 周辺確率分布はこの同時確率分布から導かれるが, 逆はそうではない．すなわち $g(x),h(y)$ から $f(x,y)$ を求めることは出来ない．なぜなら, 同じ $g(x),h(y)$ を与える $f(x,y)$ は無限に存在するからである．

自己相関関数とウィーナー=ヒンチンの定理

次に, 森下巌,小畑秀文著：「信号処理」の§ ３.５ の文章を要約したものを示す．
信号値が確率的な法則に従って不規則に変動するものを「不規則信号」という．不規則信号 $x(t)$ の統計的性質が時刻 $t$ によって変化しない場合, その不規則信号は「定常」( stationnary )であると言う．定常不規則信号の場合, 全ての確率密度関数は時刻 $t$ によって変化しない．全ての標本信号から計算した時間平均が互いに一致し, かつそれが集合平均とも一致する不規則信号を「エルゴード性不規則信号」( ergodic random sigmal )と言う．不規則信号 $x(t)$ は全て, 定常, エルゴード性で, かつ平均値がゼロであるとする．そのとき,

を $x(t)$ の「自己相関関数」( auto-correlation function )と言う．自己相関関数は「時刻 $t$ の信号値 $x(t)$ とそれから $\tau$ だけ後の信号値 $x(t+\tau )$ の間にどれだけの相関があるかを与えるもの」である． 一般に, 不規則信号 $x(t)$ の全エネルギー ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(t{)}^{2}dt$ は無限大となるが, エネルギーの時間平均すなわちパワー ${\displaystyle \underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}x(t{)}^{2}dt}$ は有限な値となる．このパワーが各周波数成分に渡ってどのように分布しているかを知るには「パワースペクトル」を求めれば良い．
今, 一個の標本信号を採用し, これを $x^{(n)}(t)$ で表現する．そのフーリエ変換はその全エネルギーが発散してしまうので存在しない．そこで, $-T\le t\le T$ に於いては $x(t)$ と一致するが, それ以外の区間ではゼロとなる信号 $x_T^{(n)}(t)$ を考える．このフーリエ変換は存在し次となる：

「パーシバルの定理」より, 次が成り立つ：

この右辺中の量 $|X_T^{(n)}(j\omega ){|}^2$ を $x_T^{(n)}(t)$ の「エネルギースペクトル密度」( energy spectral density) と言う．またその単位時間あたりの量を「パワースペクトル密度」と言う：

また, $T\to \mathrm{\infty }$ のとき $x_T^{(n)}(t)\to x^{(n)}(t)$ となるので, $x^{(n)}(t)$ の「パワースペクトル」は次で与えられる：

この ${\mathrm{\Phi }}_{xx}^{(n)}(j\omega )$ は, ある特定な標本信号の波形 $x^{(n)}(t)$ のパワースペクトルを与えるだけで, 信号確率集合 $\{x(t)\}$ の統計的性質は反映していない．「不規則信号 $\{x(t)\}$ のパワースペクトル ${\mathrm{\Phi }}_{xx}(j\omega )$は, 個々の標本信号のパワースペクトルの『集合平均』で定義する」のが自然である：

このように定義した不規則信号 $\{x(t)\}$ のパワースペクトル ${\mathrm{\Phi }}_{xx}(j\omega )$ は, その自己相関関数 ${\varphi }_{xx}(\tau )$ と密接な関係がある．すなわち,「自己相関関数${\varphi }_{xx}(\tau )$ のフーリエ変換はパワースペクトル ${\mathrm{\Phi }}_{xx}(j\omega )$ に等しくなる」：
$${\mathrm{\Phi }}_{xx}(j\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\varphi }_{xx}(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau ,{\varphi }_{xx}(\tau )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Phi }}_{xx}(j\omega )e^{j\omega \tau }d\omega$$
これを「ウィーナー・ヒンチンの定理」という．