問題 8-7 の解答例

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Problem 8-7
It is believed that neutral particles of spin zero (like neutral pions) can, when free, be represented by a field $\varphi$ with a lagrangian

where $\mu$ is some constant. Show that this field has quantized states corresponding to waves $\exp (i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r})$, where the energy of exitation is

If $\hslash \mathbf{k}=\mathbf{p}$ is considered as the momentum of each excitation the energy is

This is the relativistic formula for the energy of a particle of momentum $\mathbf{p}$ and mass $\mu$.
( Note ) : For $p^2$ small it is approximately the rest energy $\mu c^2$ plus the kinetic energy $p^2/2\mu$,
$${\displaystyle E=\mu c^2+\frac{p^2}{2\mu }+\cdots }$$

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( 解答 )　前述したブログ記事の式 (2.16) から, 実数の場 $\varphi$ の運動方程式すなわち「オイラー=ラグランジュ方程式」は次となる：

問題文中の式 (8-133) から, このときのラグランジアン密度 $\mathcal{L}$ は,

従って,

式 (3) の各々を式 (1) に代入すると, 次の微分方程式が得られる：

結果式の両辺を $c^2$ で割り算すると, これは Klein-Gordon 方程式になっている：

定数 ${\mu }^{\prime }=\mu c/\hslash$ は,「長さの次元」を持っている．また, 演算子 $◻$ は「D’Alembertian」と呼ばれている．　J.J.Sakurai によれば, この式 (5) は「1920年代の半ばに, 自由粒子に対する “非相対論的な” Schrödinger方程式に対応する”相対論的な”波動方程式の候補として, O.Klein と W.Gordon だけでなく E. Schorödinger も考えた式である」．式 (5) を質量 $\mu$ の自由粒子に関する相対論的なエネルギー=運動量の関係：

と比較すると, 初等的な量子化の規則,

によって両者が対応していることは明らかである．

そこで,　次の “非相対論的な” Schrödinger方程式に対する初等的な自由粒子解

が, 式 (4) 即ち式 (5) を満たしているかを実際に代入して確認してみよう．まず,

これらを式 (4) に代入すると,

この $[]$ 内はゼロとなるべきであるから,

自由粒子の運動量についての式 $\mathbf{p}=\hslash \mathbf{k}$ を用いれば, この結果は自由粒子の「相対論的なエネルギー=運動量の関係式」(6) に一致する．従って,「場 $\varphi$ は, 波動 $e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}}$ に相当する量子状態 $\psi (\mathbf{r},t)=A\exp (i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-i\omega t)$ を有している」ことが示された．