問題 9-6 の解答例

Problem 9-6
The wave function for the set of oscillators is just the product of the wave functions for each mode. For the ground state the wave function of the oscillator $1, k$ is proportional to $\exp [- (c k / 2 ℏ) a_{1 k}^{*} a_{1 k}]$ , so the wavefunction for the entire system in the ground state, or vacuum state, is, within a normalization constant $A$ ,

\begin{matrix} (9-43) & Φ_{0} = A \exp [- \sum_{k} \frac{k c}{2 ℏ} (a_{1 k}^{*} a_{1 k} + a_{2 k}^{*} a_{2 k})] \end{matrix}

Show, using sine and cosine modes and real variables, that this expression using complex variables is indeed correct (cf. Prob. 8-4).

( 解答 )　問題 8-4 では, 式 (8-78) のラグランジアン $L$ に対する基底状態の波動関数 $Φ_{0}$ を, 基準座標である実数変数 $Q_{α}^{C}$ と $Q_{α}^{S}$ で表わすことにより式 (8-83) を求めたのだった (問題 8-4 の解答例を参照すべし)：

\begin{aligned} (8-78) & L & = \frac{1}{2} \sum_{α = 0}^{N - 1} ({\dot{Q}}_{α}^{*} {\dot{Q}}_{α} - ω_{α} Q_{α}^{*} Q_{α}), Q_{α} \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} (Q_{α}^{C} - i Q_{α}^{S}) \\ (8-83) & Φ_{0} & = A \prod_{α = 0}^{\frac{1}{2} (N - 1)} \exp [- \frac{1}{2 ℏ} ω_{α} {(Q_{α}^{C})^{2} + (Q_{α}^{S})^{2}}] = A \exp [- \frac{1}{2 ℏ} \sum_{α = 0}^{N - 1} ω_{α} Q_{α}^{*} Q_{α}] \end{aligned}

また § 8-5 では, 一次元結晶での原始鎖運動を「連続体近似」する議論を行った．そこではモード

k

についての離散フーリエ変換の式 (8-89) によって

q_{j}

と関係する離散値

Q_{k}

を連続体近似したもの, すなわち

q (x, t)

のフーリエ変換

Q (k, t)

を基準座標とした．そのときの近似関係は式 (8-93) である：

\begin{aligned} (8-89,94) & q_{j} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k = 1}^{N} Q_{k} (t) e^{i k x_{j}}, \to q (x, t) = \frac{L}{2 π \sqrt{N}} \int_{0}^{2 π / d} d k Q (k, t) e^{i k x}, \\ (8-93) & \sum_{k = 1}^{N} ()_{k} \approx \frac{L}{2 π} \int_{0}^{2 π / d} d k () \end{aligned}

または,

q_{j} (t) = \sqrt{m} u_{j} (t)

とした変位

u_{j} (t)

のフーリエ変換

U (k, t)

を基準座標としてもよかった：

\begin{matrix} (8-95) & U (k, t) = \int_{0}^{L} d x u (x, t) e^{- i k x} \end{matrix}

この基準座標

U (k, t)

を用いたラグランジアン

L

は式 (8-106) であり, これは系が調和振動子の集まりであることを示している：

\begin{matrix} (8-106) & L = \frac{ρ}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d k}{2 π} {{| \frac{\partial U (k, t)}{\partial t} |}^{2} - c^{2} k^{2} {| U (k, t) |}^{2}} \end{matrix}

さて, 輻射場の作用 $S_{r a d}$ は式 (9-31) で与えられている：

\begin{aligned} (9-31) & S_{r a d} & = \frac{1}{2} \int d t \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} ({\dot{a}}_{1 k}^{*} {\dot{a}}_{1 k} - k^{2} c^{2} a_{1 k}^{*} a_{1 k} + {\dot{a}}_{2 k}^{*} {\dot{a}}_{2 k} - k^{2} c^{2} a_{2 k}^{*} a_{2 k}) \\ = \int L_{r a d} d t \end{aligned}

従って, このときの輻射場のラグランジアン

L_{r a d}

は次である：

\begin{matrix} (1) & L_{r a d} = \frac{1}{2} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \sum_{λ = 1, 2} ({\dot{a}}_{λ k}^{*} {\dot{a}}_{λ k} - k^{2} c^{2} a_{λ k}^{*} a_{λ k}) \end{matrix}

このラグランジアン

L_{r a d}

は, 上記のことから「式 (8-78) のラグランジアン

L

を次のような対応によって連続体近似したもの」と見做すことが出来るであろう：

\begin{matrix} (2) & α \to k, ω_{α} \to k c, Q_{α} \to a_{λ k}, \sum_{α = 0}^{N - 1} \to \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \sum_{λ = 1, 2} \approx \sum_{k} \sum_{λ = 1, 2} \end{matrix}

このラグランジアン

L_{r a d}

に対する基底状態の波動関数に対しては, 問題 8-4 と全く同様な議論が成り立つ．従ってその基底状態の波動関数は, 式 (8-83) の

Φ_{0}

に上記の変換 (2) を施すことで得ることが出来るはずであり, それは式 (9-43)に一致した形となる：

\begin{aligned} Φ_{0} = A \exp [- \frac{1}{2 ℏ} \sum_{α = 0}^{N - 1} ω_{α} Q_{α}^{*} Q_{α}] & \to A \exp [- \frac{1}{2 ℏ} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \sum_{λ = 1, 2} k c a_{λ k}^{*} a_{λ k}] \\ \approx A \exp [- \frac{1}{2 ℏ} \sum_{k} \sum_{λ = 1, 2} k c a_{λ k}^{*} a_{λ k}] \\ (3) & = A \exp [- \sum_{k} \frac{k c}{2 ℏ} (a_{1 k}^{*} a_{1 k} + a_{2 k}^{*} a_{2 k})] \end{aligned}

References[+]

References
↑1	校訂版では, 次の様に修正されている： For the ground state the wave function of the oscillator $1, k$ is (see Eq.8.83) proportional to $\exp {- (k c / 2 ℏ) {\overset{―}{a}}_{1, k}^{} {\overset{―}{a}}_{1, k}}$ , where ${\overset{―}{a}}_{1, k} \equiv \frac{a_{1, k}}{\sqrt{Vol}}$ and “Vol” represents the volume of the normalizing box (see Sec.4-3).Thus the wave function for the entire system in the ground state, or vacuum state, is, within a normalization constant, $\begin{matrix} (9-43) & Φ_{0} = \exp {- \sum_{k} \frac{k c}{2 ℏ} ({\overset{―}{a}}_{1 k}^{} {\overset{―}{a}}_{1 k} + {\overset{―}{a}}_{2 k}^{} {\overset{―}{a}}_{2 k})] \end{matrix}$ しかしながら, § 4-3 の「周期的境界条件」のところで述べられているように, 自由粒子波動関数の規格化のために便宜的に導入した「箱」の影響は, 最終的に消えなければならない．従って箱の体積因子 $V$ は式中で打ち消し合って, 最終結果には出現しないことになる．例えば, 式 (4-72) や式 (4-73) を参照すれば, 式 (1) の結果は, 次のようにして体積因子 $V$ が打ち消されたものと考えることが出来る： $\begin{aligned} L_{r a d} & = \frac{1}{2} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} V \sum_{λ = 1, 2} (\frac{{\dot{a}}_{λ k}^{}}{\sqrt{V}} \frac{{\dot{a}}_{λ k}}{\sqrt{V}} - k^{2} c^{2} \frac{a_{λ k}^{}}{\sqrt{V}} \frac{a_{λ k}}{\sqrt{V}}) \\ (1) & = \frac{1}{2} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \sum_{λ = 1, 2} ({\dot{a}}_{λ k}^{} {\dot{a}}_{λ k} - k^{2} c^{2} a_{λ k}^{*} a_{λ k}) \end{aligned}$ よって, ここでは修正は行わず原書の文章のままとしよう．
↑2	§ 8-4 にある周期的境界条件を課すと, 波数 $k$ は式 (8-86) のように表せるのであった： $\begin{matrix} (8-86) & k = \frac{2 π}{λ} = \frac{2 π}{N d} α = \frac{2 π}{L} α, (α = 0, 1, 2, \dots N - 1) \to α = \frac{L}{2 π} k, d = \frac{L}{N} \end{matrix}$ よって $d k$ の中で許される $k$ の数 $Δ α$ は $\frac{L}{2 π} d k$ である．従って $α$ についての和は $N \to \infty (d \to 0)$ とした極限では $k_{N} = \frac{2 π}{L} N = 2 π / d \to \infty$ なので次となる： $\sum_{α} \approx \frac{L}{2 π} \int_{0}^{2 π / d} d k \to \frac{L}{2 π} \int_{0}^{\infty} d k$

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