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Problem 9-6
The wave function for the set of oscillators is just the product of the wave functions for each mode. For the ground state the wave function of the oscillator \(1,\mathbf{k}\) is proportional to \(\exp[-(ck/2\hbar) a^{*}_{1\mathbf{k}} a_{1\mathbf{k}}]\), so the wavefunction for the entire system in the ground state, or vacuum state, is, within a normalization constant \(A\),
\begin{equation}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^{2}}}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\Phi_0 = A\exp\left[-\sum_{\mb{k}} \frac{kc}{2\hbar} \Big(a_{1\mb{k}}^{*}a_{1\mb{k}}+a_{2\mb{k}}^{*}a_{2\mb{k}}\Big)\right]
\tag{9-43}
\end{equation}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^{2}}}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\Phi_0 = A\exp\left[-\sum_{\mb{k}} \frac{kc}{2\hbar} \Big(a_{1\mb{k}}^{*}a_{1\mb{k}}+a_{2\mb{k}}^{*}a_{2\mb{k}}\Big)\right]
\tag{9-43}
\end{equation}
Show, using sine and cosine modes and real variables, that this expression using complex variables is indeed correct (cf. Prob. 8-4).[1]校訂版では, 次の様に修正されている： For the ground state the wave function of the oscillator \(1,\mathbf{k}\) is (see Eq.8.83) proportional to … Continue reading
( 解答 ) 問題 8-4 では, 式 (8-78) のラグランジアン \(L\) に対する基底状態の波動関数 \(\Phi_{0}\) を, 基準座標である実数変数 \(Q_{\alpha}^{C}\) と \(Q_{\alpha}^{S}\) で表わすことにより 式 (8-83) を求めたのだった (問題 8-4 の解答例を参照すべし)：
\begin{align}
L&=\frac{1}{2}\sum_{\alpha=0}^{N-1} \Big(\dot{Q}_{\alpha}^{*}\dot{Q}_{\alpha}-\omega_{\alpha}Q^{*}_{\alpha}Q_{\alpha}\Big),\quad
Q_{\alpha}\equiv \reverse{\sqrt{2}}\Big(Q_{\alpha}^{C}-iQ_{\alpha}^{S}\Big)
\tag{8-78}\\
\Phi_{0}&=A\prod_{\alpha=0}^{\reverse{2}(N-1)}\exp\left[-\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha}\left\{\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}+\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right\}\right]
=A\exp\left[-\frac{1}{2\hbar}\sum_{\alpha=0}^{N-1} \omega_{\alpha}Q^{*}_{\alpha}Q_{\alpha} \right]
\tag{8-83}
\end{align}
L&=\frac{1}{2}\sum_{\alpha=0}^{N-1} \Big(\dot{Q}_{\alpha}^{*}\dot{Q}_{\alpha}-\omega_{\alpha}Q^{*}_{\alpha}Q_{\alpha}\Big),\quad
Q_{\alpha}\equiv \reverse{\sqrt{2}}\Big(Q_{\alpha}^{C}-iQ_{\alpha}^{S}\Big)
\tag{8-78}\\
\Phi_{0}&=A\prod_{\alpha=0}^{\reverse{2}(N-1)}\exp\left[-\frac{1}{2\hbar}\omega_{\alpha}\left\{\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}+\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right\}\right]
=A\exp\left[-\frac{1}{2\hbar}\sum_{\alpha=0}^{N-1} \omega_{\alpha}Q^{*}_{\alpha}Q_{\alpha} \right]
\tag{8-83}
\end{align}
また § 8-5 では, 一次元結晶での原始鎖運動を「連続体近似」する議論を行った．そこではモード \(k\) についての離散フーリエ変換の式 (8-89) によって \(q_j\) と関係する離散値 \(Q_k\) を連続体近似したもの, すなわち \(q(x,t)\) のフーリエ変換 \(Q(k,t)\) を基準座標とした．そのときの近似関係は式 (8-93) である [2]§ 8-4 にある周期的境界条件を課すと, 波数 \(k\) は式 (8-86) … Continue reading：
\begin{align}
&q_j=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{k=1}^{N} Q_k(t)\,e^{ik x_j},\quad \rightarrow\quad q(x,t)=\frac{L}{2\pi\sqrt{N}}\int_0^{2\pi/d} dk\,Q(k,t)\,e^{ikx},\tag{8-89,94}\\
&\sum_{k=1}^{N}\big(\ \big)_k \ \approx \ \frac{L}{2\pi}\int_{0}^{2\pi/d}dk\,\big(\ \big)
\tag{8-93}
\end{align}
&q_j=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{k=1}^{N} Q_k(t)\,e^{ik x_j},\quad \rightarrow\quad q(x,t)=\frac{L}{2\pi\sqrt{N}}\int_0^{2\pi/d} dk\,Q(k,t)\,e^{ikx},\tag{8-89,94}\\
&\sum_{k=1}^{N}\big(\ \big)_k \ \approx \ \frac{L}{2\pi}\int_{0}^{2\pi/d}dk\,\big(\ \big)
\tag{8-93}
\end{align}
または, \(q_j(t)=\sqrt{m}\,u_j(t)\) とした変位 \(u_j(t)\) のフーリエ変換 \(U(k,t)\) を基準座標としてもよかった：
\begin{equation}
U(k,t)=\int_0^{L} dx\,u(x,t)\,e^{-ikx}
\tag{8-95}
\end{equation}
U(k,t)=\int_0^{L} dx\,u(x,t)\,e^{-ikx}
\tag{8-95}
\end{equation}
この基準座標 \(U(k,t)\) を用いたラグランジアン \(L\) は式 (8-106) であり, これは系が調和振動子の集まりであることを示している：
\begin{equation}
L=\frac{\rho}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi} \left\{\left|\ppdiff{U(k,t)}{t}\right|^{2}-c^{2}k^{2}\left|U(k,t)\right|^{2}\right\}
\tag{8-106}
\end{equation}
L=\frac{\rho}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi} \left\{\left|\ppdiff{U(k,t)}{t}\right|^{2}-c^{2}k^{2}\left|U(k,t)\right|^{2}\right\}
\tag{8-106}
\end{equation}
さて, 輻射場の作用 \(S_{rad}\) は式 (9-31) で与えられている ：
\begin{align}
S_{rad}&=\frac{1}{2}\int dt\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,\Bigl(\dot{a}_{1\mb{k}}^{*}\,
\dot{a}_{1\mb{k}}-k^{2}c^{2}a_{1\mb{k}}^{*}a_{1\,\mb{k}}+\dot{a}_{2\mb{k}}^{*}\dot{a}_{2\mb{k}}-k^{2}c^{2}a_{2\mb{k}}^{*}a_{2\mb{k}}\Bigr)
\tag{9-31}\\
&=\int L_{rad}\,dt
\end{align}
S_{rad}&=\frac{1}{2}\int dt\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\,\Bigl(\dot{a}_{1\mb{k}}^{*}\,
\dot{a}_{1\mb{k}}-k^{2}c^{2}a_{1\mb{k}}^{*}a_{1\,\mb{k}}+\dot{a}_{2\mb{k}}^{*}\dot{a}_{2\mb{k}}-k^{2}c^{2}a_{2\mb{k}}^{*}a_{2\mb{k}}\Bigr)
\tag{9-31}\\
&=\int L_{rad}\,dt
\end{align}
従って, このときの輻射場のラグランジアン \(L_{rad}\) は次である：
\begin{equation}
L_{rad}=\frac{1}{2}\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\sum_{\lambda=1,2}\,\Bigl(\dot{a}_{\lambda \mb{k}}^{*}\,
\dot{a}_{\lambda \mb{k}}-k^{2}c^{2}a_{\lambda \mb{k}}^{*}a_{\lambda\,\mb{k}}\Bigr)
\tag{1}
\end{equation}
L_{rad}=\frac{1}{2}\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\sum_{\lambda=1,2}\,\Bigl(\dot{a}_{\lambda \mb{k}}^{*}\,
\dot{a}_{\lambda \mb{k}}-k^{2}c^{2}a_{\lambda \mb{k}}^{*}a_{\lambda\,\mb{k}}\Bigr)
\tag{1}
\end{equation}
このラグランジアン \(L_{rad}\) は, 上記のことから「式 (8-78) のラグランジアン \(L\) を次のような対応によって連続体近似したもの」と見做すことが出来るであろう：
\begin{equation}
\alpha\to k,\quad \omega_{\alpha}\to kc,\quad Q_{\alpha}\to a_{\lambda\,\mb{k}},\quad
\sum_{\alpha=0}^{N-1}\to \int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\sum_{\lambda=1,2}\approx\sum_{\mb{k}}\sum_{\lambda=1,2}
\tag{2}
\end{equation}
\alpha\to k,\quad \omega_{\alpha}\to kc,\quad Q_{\alpha}\to a_{\lambda\,\mb{k}},\quad
\sum_{\alpha=0}^{N-1}\to \int \frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\sum_{\lambda=1,2}\approx\sum_{\mb{k}}\sum_{\lambda=1,2}
\tag{2}
\end{equation}
このラグランジアン \(L_{rad}\) に対する基底状態の波動関数に対しては, 問題 8-4 と全く同様な議論が成り立つ．従って その基底状態の波動関数は, 式 (8-83) の \(\Phi_0\) に上記の変換 (2) を施すことで得ることが出来るはずであり, それは式 (9-43)に一致した形となる：
\begin{align}
\Phi_{0}=A\exp\left[-\frac{1}{2\hbar}\sum_{\alpha=0}^{N-1} \omega_{\alpha}Q^{*}_{\alpha}Q_{\alpha} \right]
&\rightarrow A\exp\left[-\reverse{2\hbar}\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\sum_{\lambda=1,2}\,kc\,a_{\lambda\,\mb{k}}^{*}a_{\lambda\,\mb{k}}\right]\notag\\
&\approx A\exp\left[-\reverse{2\hbar}\sum_{\mb{k}}\sum_{\lambda=1,2} kc\,a_{\lambda\,\mb{k}}^{*}a_{\lambda\,\mb{k}}\right]\notag\\
&=A\exp\left[-\sum_{\mb{k}}\frac{kc}{2\hbar}\Big(a_{1\,\mb{k}}^{*}a_{1\,\mb{k}}+a_{2\,\mb{k}}^{*}a_{2\,\mb{k}}\Big)\right]
\tag{3}
\end{align}
\Phi_{0}=A\exp\left[-\frac{1}{2\hbar}\sum_{\alpha=0}^{N-1} \omega_{\alpha}Q^{*}_{\alpha}Q_{\alpha} \right]
&\rightarrow A\exp\left[-\reverse{2\hbar}\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\sum_{\lambda=1,2}\,kc\,a_{\lambda\,\mb{k}}^{*}a_{\lambda\,\mb{k}}\right]\notag\\
&\approx A\exp\left[-\reverse{2\hbar}\sum_{\mb{k}}\sum_{\lambda=1,2} kc\,a_{\lambda\,\mb{k}}^{*}a_{\lambda\,\mb{k}}\right]\notag\\
&=A\exp\left[-\sum_{\mb{k}}\frac{kc}{2\hbar}\Big(a_{1\,\mb{k}}^{*}a_{1\,\mb{k}}+a_{2\,\mb{k}}^{*}a_{2\,\mb{k}}\Big)\right]
\tag{3}
\end{align}
References
| ↑1 | 校訂版では, 次の様に修正されている： For the ground state the wave function of the oscillator \(1,\mathbf{k}\) is (see Eq.8.83) proportional to \(\exp\{-(kc/2\hbar)\,\overline{a}_{1,\mb{k}}^{*}\overline{a}_{1,\mb{k}}\}\), where \begin{equation} \overline{a}_{1,\mb{k}}\equiv \frac{a_{1,\mb{k}}}{\sqrt{\mathrm{Vol}}} \end{equation} and “Vol” represents the volume of the normalizing box (see Sec.4-3).Thus the wave function for the entire system in the ground state, or vacuum state, is, within a normalization constant, \begin{equation} \Phi_0 = \exp\left\{-\sum_{\mb{k}} \frac{kc}{2\hbar} \Big(\overline{a}_{1\mb{k}}^{*}\overline{a}_{1\mb{k}}+\overline{a}_{2\mb{k}}^{*}\overline{a}_{2\mb{k}}\Big)\right] \tag{9-43} \end{equation} しかしながら, § 4-3 の「周期的境界条件」のところで述べられているように, 自由粒子波動関数の規格化のために便宜的に導入した「箱」の影響は, 最終的に消えなければならない．従って箱の体積因子 \(V\) は式中で打ち消し合って, 最終結果には出現しないことになる．例えば, 式 (4-72) や式 (4-73) を参照すれば, 式 (1) の結果は, 次のようにして体積因子 \(V\) が打ち消されたものと考えることが出来る： \begin{align} L_{rad}&=\frac{1}{2}\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}V\sum_{\lambda=1,2}\,\Bigl(\frac{\dot{a}_{\lambda \mb{k}}^{*}}{\sqrt{V}}\, \frac{\dot{a}_{\lambda \mb{k}}}{\sqrt{V}}-k^{2}c^{2}\frac{a_{\lambda \mb{k}}^{*}}{\sqrt{V}}\frac{a_{\lambda\,\mb{k}}}{\sqrt{V}}\Bigr)\notag\\ &=\frac{1}{2}\int\frac{d^{3}\mb{k}}{(2\pi)^{3}}\sum_{\lambda=1,2}\,\Bigl(\dot{a}_{\lambda \mb{k}}^{*}\, \dot{a}_{\lambda \mb{k}}-k^{2}c^{2}a_{\lambda \mb{k}}^{*}a_{\lambda\,\mb{k}}\Bigr) \tag{1} \end{align} よって, ここでは修正は行わず原書の文章のままとしよう． |
|---|---|
| ↑2 | § 8-4 にある周期的境界条件を課すと, 波数 \(k\) は式 (8-86) のように表せるのであった： \begin{equation} k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{Nd}\alpha=\frac{2\pi}{L}\alpha,\ (\alpha=0,1,2,\dotsb N-1) \quad\rightarrow\quad \alpha=\frac{L}{2\pi}k,\quad d=\frac{L}{N} \tag{8-86} \end{equation} よって\(dk\) の中で許される \(k\) の数 \(\Delta \alpha\) は \(\frac{L}{2\pi}dk\) である．従って \(\alpha\) についての和は \(N\to\infty\ (d\to 0)\) とした極限では \(k_{N}=\frac{2\pi}{L}N=2\pi/d\to \infty\) なので次となる： \begin{equation} \sum_{\alpha} \quad\approx \quad \frac{L}{2\pi}\int_{0}^{2\pi/d} dk \quad\to\quad \frac{L}{2\pi}\int_{0}^{\infty} dk \end{equation} |
