問題 6-21 の解答例

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Problem 6-21
Consider the special case that the perturbing potential $V$ has no matrix elements except between the two levels $1$ and $2$; and further, suppose these levels are degenerate, that is, suppose $E_1=E_2$. Let $V_{12}=V_{21}=v$ and let $V_{11}$, $V_{22}$ and all other $V_{mn}$ be zero. Show that

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(解答)　(注意)　原書や訳本に於いては指数因子 $e^{-iET/\hslash }$ が記していないが, これは印刷ミスではなかろうか (?)． 上記の問題文では, それを修正してあるので注意するべし!.
　式 (6-76) において $t_1=0,t_2=T$ とすると次式が言える：

このとき仮定より準位 1 と準位 2 とは縮退し, かつ摂動も $V_{12}=V_{21}$ と仮定したから, 状態遷移
$|1⟩\to |2⟩,|2⟩\to |1⟩$ は同じ確率で生じると考えてよいであろう． よって, 遷移振幅は ${\lambda }_{11}={\lambda }_{22}$ かつ ${\lambda }_{12}={\lambda }_{21}$ と考えられる． すると上の 4 式で独立な式は, 例えば式 (1.a) と式 (1.c) の 2 つであると言える：

2 式を足し合わせるならば,

式 (6-69) から， ${\lambda }_{mn}(T,0)={\lambda }_{mn}={\delta }_{mn}{e}^{-E_{m}T/\hslash }+{\lambda }_{mn}^{(1)}(T)+\cdots$ であるが, 初期状態 $T=0$ を考えるならば, まだ摂動が働いていないときであるから ${\lambda }_{mn}={\delta }_{mn}$ である． よって,

従って, 上式の積分定数は $A=1$ としてよい． また $({\lambda }_{12}+{\lambda }_{22})$ についても同様な式が得られる． よって,

前述のように対称性から ${\lambda }_{12}={\lambda }_{21},{\lambda }_{11}={\lambda }_{22}$ とすべきである． よって上式の形から, 遷移振幅の各々は問題文中の結果式 (6-81) と式 (6-82) となるであろう ($v\ll E$ なので $vT$ は微小と見做しテイラー展開できるとする)：

前に書いたブログ記事から, 係数 $c_m(t)$ と遷移振幅 ${\lambda }_{mn}$ とは次の関係にあると言える：

この関係式をここの問題に当てはめるならば， $t_0=0,t=T$ そして $E_m=E_n=E$ として次となる：

すると上式 (6-81) と式 (6-82) から, 「係数 $c_m(T)$ が原書や訳本と同じ形になる！」と言えよう：