問題 6-7 の解答例

Problem 6-7
Suppose the potential energy $V (r) = - e ϕ (r)$ is the result of a charge distribution $ρ (r)$ so that

\begin{matrix} (6-48) & \nabla^{2} V (r) = 4 π e ρ (r) \to \nabla^{2} ϕ (r) = - 4 π ρ (r) \end{matrix}

By assuming that

ρ (r)

goes to

0

| r | \to \infty

, multiplying Eq. (6-48) by

\exp (i q \cdot r / ℏ)

, and integrating twice over

r

, show that

v (q)

can be expressed in terms of

ρ (r)

\begin{matrix} (6-49) & v (q) = - \frac{4 π ℏ^{2} e}{q^{2}} \int e^{i q \cdot r / ℏ} ρ (r) d^{3} r \end{matrix}

( 解答 ) まず, 式 (6-48) が成り立つことを Maxwell 方程式から確認しておこう．

\begin{aligned} E = - \nabla ϕ (r), div E = \nabla \cdot E = 4 π ρ, \\ (1) & \to \nabla \cdot (- \nabla ϕ) = - \nabla^{2} ϕ = 4 π ρ therefore \nabla^{2} ϕ = - 4 π ρ \end{aligned}

題意に従ってまず一回目の部分積分を行うと,

\begin{aligned} I & = \int_{- \infty}^{\infty} \nabla^{2} V (r) e^{i q \cdot r / ℏ} d^{3} r \\ (2) & = [\nabla V (r) e^{i q \cdot r / ℏ}]_{- \infty}^{\infty} - \frac{i q}{ℏ} \int_{- \infty}^{\infty} \nabla V (r) e^{i q \cdot r / ℏ} d^{3} r \end{aligned}

仮定から, 無限遠では電荷分布

ρ = 0

なので, 無限遠においては, ポテンシャルエネルギー

V (r)

も電場

E = - (1 / e) \nabla V (r)

も共にゼロと考えられる．従って上式の第1項は無視する．残りの部分に, 更に二回目の部分積分を行うと,

\begin{aligned} I & = - \frac{i q}{ℏ} \int_{- \infty}^{\infty} \nabla V (r) e^{i q \cdot r / ℏ} d^{3} r \\ (3) & = - \frac{i q}{ℏ} [V (r) e^{i q \cdot r / ℏ}]_{- \infty}^{\infty} + {(\frac{i q}{ℏ})}^{2} \int_{- \infty}^{\infty} V (r) e^{i q \cdot r / ℏ} d^{3} r \end{aligned}

同じ理由から第1項を無視すると,

\begin{matrix} (4) & I = - \frac{| q |^{2}}{ℏ^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} V (r) e^{i q \cdot r / ℏ} d^{3} r \end{matrix}

他方, 式 (6-48) を用いた表現では,

\begin{matrix} (5) & I = \int_{- \infty}^{\infty} \nabla^{2} V (r) e^{i q \cdot r / ℏ} d^{3} r = \int_{- \infty}^{\infty} 4 π e ρ (r) e^{i q \cdot r / ℏ} d^{3} r \end{matrix}

よって, 式 (4) と式 (5) の右辺同士を等しいと置くならば，

\begin{aligned} - \frac{q^{2}}{ℏ^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} V (r) e^{i q \cdot r / ℏ} d^{3} r = 4 π e \int_{- \infty}^{\infty} ρ (r) e^{i q \cdot r / ℏ} d^{3} r, \\ (6) & \to \int_{- \infty}^{\infty} V (r) e^{i q \cdot r / ℏ} d^{3} r = - \frac{4 π ℏ^{2} e}{q^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} ρ (r) e^{i q \cdot r / ℏ} d^{3} r \end{aligned}

従って,

v (q)

の定義式 (6-39) から

\begin{aligned} v (q) & \equiv \int_{- \infty}^{\infty} V (r) e^{i q \cdot r / ℏ} d^{3} r \\ (7) & = - \frac{4 π ℏ^{2} e}{q^{2}} \int_{- \infty}^{\infty} ρ (r) e^{i q \cdot r / ℏ} d^{3} r \end{aligned}