\(\)
Problem 7-13
Show that
\begin{equation}
\def\BraKet#1#2#3{\langle #1 | #2 | #3 \rangle}
\BraKet{\chi}{m\ddot{x}}{\psi} = \frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty} \chi^{*}\,\big(Hp-pH\big)\,\psi\,dx
\tag{7-90}
\end{equation}
\def\BraKet#1#2#3{\langle #1 | #2 | #3 \rangle}
\BraKet{\chi}{m\ddot{x}}{\psi} = \frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty} \chi^{*}\,\big(Hp-pH\big)\,\psi\,dx
\tag{7-90}
\end{equation}
and argue for any quantity \(A\), given in terms of an operator or otherwise, that \(dA/dt\) is equivalent to \(\partial A/\partial t + (i/\hbar)\big(HA-AH\big)\).
( 解答 ) \(F\) として \(\dot{p}=m\ddot{x}\) を考えると, 式 (7-72) に相当する式は,
\begin{equation}
F=m\ddot{x}=\dot{p}=\frac{p_{k+1}-p_k}{\varepsilon}
\tag{1}
\end{equation}
F=m\ddot{x}=\dot{p}=\frac{p_{k+1}-p_k}{\varepsilon}
\tag{1}
\end{equation}
となるから, この遷移要素は次となる：
\begin{equation}
\BraKet{\chi}{m\ddot{x}}{\psi}=\Biggl\langle\,\chi\left|\frac{p_{k+1}-p_k}{\varepsilon}\,\right|\psi\,\Biggr\rangle
=\frac{1}{\varepsilon}\Bigl(\BraKet{\chi}{p_{k+1}}{\psi}-\BraKet{\chi}{p_k}{\psi}\Bigr)
\tag{2}
\end{equation}
\BraKet{\chi}{m\ddot{x}}{\psi}=\Biggl\langle\,\chi\left|\frac{p_{k+1}-p_k}{\varepsilon}\,\right|\psi\,\Biggr\rangle
=\frac{1}{\varepsilon}\Bigl(\BraKet{\chi}{p_{k+1}}{\psi}-\BraKet{\chi}{p_k}{\psi}\Bigr)
\tag{2}
\end{equation}
この右辺は, 式 (7-73) と全く同様にして式 (7-74) の形に表される：
\begin{align}
&\frac{1}{\varepsilon}\Bigl(\BraKet{\chi}{p_{k+1}}{\psi}-\BraKet{\chi}{p_k}{\psi}\Bigr)\\
&\quad =\frac{1}{\varepsilon}\left[\int \chi^{*}(x,t+\varepsilon)\,p_x\,\psi(x,t+\varepsilon)\,dx-\int \chi^{*}(x)\,p_x\,\psi(x)\,dx\right]
\tag{3}
\end{align}
&\frac{1}{\varepsilon}\Bigl(\BraKet{\chi}{p_{k+1}}{\psi}-\BraKet{\chi}{p_k}{\psi}\Bigr)\\
&\quad =\frac{1}{\varepsilon}\left[\int \chi^{*}(x,t+\varepsilon)\,p_x\,\psi(x,t+\varepsilon)\,dx-\int \chi^{*}(x)\,p_x\,\psi(x)\,dx\right]
\tag{3}
\end{align}
やはり全く同様な手順により, すなわち, 式 (7-75) と式 (7-76) を用いて \(\varepsilon\) の1次まで近似することで, これは次のように単純化することが出来る：
\begin{align}
&\frac{1}{\varepsilon}\left[\int \chi^{*}(x,t+\varepsilon)\,p_x\,\psi(x,t+\varepsilon)\,dx-\int \chi^{*}(x)\,p_x\,\psi(x)\,dx\right]\\
&\quad\simeq\frac{1}{\varepsilon}\left[\int \left\{\chi^{*}+\frac{i\varepsilon}{\hbar}(H\chi)^{*}\right\}\,p_x\,
\left\{\psi-\frac{i\varepsilon}{\hbar}H\psi\right\}-\int \chi^{*}(x)\,p_x\,\psi(x)\,dx\right]\\
&\quad=\frac{1}{\varepsilon}\left[\int \chi^{*}(x)\left(1+\frac{i\varepsilon}{\hbar}H\right)p_x\left(1-\frac{i\varepsilon}{\hbar}H\right)\psi(x)\,dx -\int \chi^{*}(x)\,p_x\,\psi(x)\,dx\right]\\
&\quad=\frac{1}{\varepsilon}\left[\int \chi^{*}(x)\left( p_x-\frac{i}{\hbar}\varepsilon\,p_x\,H
+\frac{i}{\hbar}\varepsilon\,H\,p_x\right) \psi(x)\,dx-\int \chi^{*}(x)\,p_x\,\psi(x)\,dx\right]\\
&\quad=\frac{i}{\hbar}\int \chi^{*}\,\big( Hp_x-p_xH\big)\,\psi\,dx
\tag{4}
\end{align}
&\frac{1}{\varepsilon}\left[\int \chi^{*}(x,t+\varepsilon)\,p_x\,\psi(x,t+\varepsilon)\,dx-\int \chi^{*}(x)\,p_x\,\psi(x)\,dx\right]\\
&\quad\simeq\frac{1}{\varepsilon}\left[\int \left\{\chi^{*}+\frac{i\varepsilon}{\hbar}(H\chi)^{*}\right\}\,p_x\,
\left\{\psi-\frac{i\varepsilon}{\hbar}H\psi\right\}-\int \chi^{*}(x)\,p_x\,\psi(x)\,dx\right]\\
&\quad=\frac{1}{\varepsilon}\left[\int \chi^{*}(x)\left(1+\frac{i\varepsilon}{\hbar}H\right)p_x\left(1-\frac{i\varepsilon}{\hbar}H\right)\psi(x)\,dx -\int \chi^{*}(x)\,p_x\,\psi(x)\,dx\right]\\
&\quad=\frac{1}{\varepsilon}\left[\int \chi^{*}(x)\left( p_x-\frac{i}{\hbar}\varepsilon\,p_x\,H
+\frac{i}{\hbar}\varepsilon\,H\,p_x\right) \psi(x)\,dx-\int \chi^{*}(x)\,p_x\,\psi(x)\,dx\right]\\
&\quad=\frac{i}{\hbar}\int \chi^{*}\,\big( Hp_x-p_xH\big)\,\psi\,dx
\tag{4}
\end{align}
よって, 式 (2) は次に書ける：
\begin{equation}
\BraKet{\chi}{m\ddot{x}}{\psi}=\left\langle\,\frac{d p_x}{dt}\,\right\rangle
=\frac{i}{\hbar}\int \chi^{*}\,\big( Hp_x-p_xH\big)\,\psi\,dx
\tag{5}
\end{equation}
\BraKet{\chi}{m\ddot{x}}{\psi}=\left\langle\,\frac{d p_x}{dt}\,\right\rangle
=\frac{i}{\hbar}\int \chi^{*}\,\big( Hp_x-p_xH\big)\,\psi\,dx
\tag{5}
\end{equation}
古典解析力学に於ける物理量 \(A\) は, 位置 \(x\) と運動量 \(p\) の関数 \(A=A(x,p)\) として表わすことが出来るが, 運動量 \(p\) は位置 \(x\) と時間 \(t\) を測定することで求められるから \(p=p(x,t)\) である．従って, 任意の「古典力学的観測量 \(A\) 」または「量子力学のオブザーバブル \(A\) 」は, 結局,「位置 \(x\) と時間 \(t\) の関数 \(A=A(x,t)\) として表わせる」と言える．
すると \(dA/dt\) の遷移要素については, 前の問題 7-12 の「位置の任意関数 \(V\) が時間にも依存する場合」と全く同様に議論してよいから, 結果式もやはり同じ形になると言える：
\begin{align}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
&\left\langle\,\frac{d V(x,t)}{dt}\,\right\rangle=\left\langle\,\frac{i}{\hbar}\big( HV-VH \big)+\ppdiff{V}{t}\,\right\rangle,\\
\Rightarrow &\quad\left\langle\,\frac{d A(x,t)}{dt}\,\right\rangle
=\left\langle\,\frac{i}{\hbar}\big( HA-AH \big)+\ppdiff{A}{t}\,\right\rangle
\tag{6}
\end{align}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
&\left\langle\,\frac{d V(x,t)}{dt}\,\right\rangle=\left\langle\,\frac{i}{\hbar}\big( HV-VH \big)+\ppdiff{V}{t}\,\right\rangle,\\
\Rightarrow &\quad\left\langle\,\frac{d A(x,t)}{dt}\,\right\rangle
=\left\langle\,\frac{i}{\hbar}\big( HA-AH \big)+\ppdiff{A}{t}\,\right\rangle
\tag{6}
\end{align}
