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前のブログ記事の「量子的トンネル効果」や「クラインパラドックス」について, アニメーションでシミュレーションする python プログラムを B. Thaller, Visual Quantum Mechanics に基づいて書こうと思う．
その準備として, まずはその § 3.8「エネルギー表示」 や スケーリング変換についてまとめておこう．
Scaling the unit of length
シュレディンガー方程式中の物理定数 \(\hbar\) と \(m\) を取り除くために, 長さの単位を \(\sqrt{m/\hbar}\) が \(1\) meter に相当するようなスケーリング変換を行う．変換後の新しい長さ単位での位置ベクトルを \(\tilde{\boldsymbol{x}}\) とすると次となる：
\(
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^{2}}}
\def\Bpdiff#1{\frac{\partial^{2}}{\partial #1^{2}}}
\def\mb#1{\boldsymbol{#1}}
\def\mr#1{\mathrm{#1}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
\def\ds#1{\mbox{${\displaystyle\strut #1}$}}
\def\omr{\underrightarrow{\omega}}
\def\oml{\underleftarrow{\omega}}
\)
\begin{equation}
\mb{x}=\tilde{\mb{x}}\sqrt{\frac{\hbar}{m}}
\tag{3.15}
\end{equation}
\mb{x}=\tilde{\mb{x}}\sqrt{\frac{\hbar}{m}}
\tag{3.15}
\end{equation}
すると,
\begin{equation*}
d\mb{x}=d\tilde{\mb{x}}\sqrt{\frac{\hbar}{m}},\quad
\frac{\partial}{\partial \mb{x}}=\sqrt{\frac{m}{\hbar}}\frac{\partial}{\partial\tilde{\mb{x}}},
\quad \nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial \mb{x}^{2}}=\frac{m}{\hbar}\frac{\partial^{2}}{\partial \tilde{\mb{x}}^{2}}
=\frac{m}{\hbar}\tilde{\nabla}^{2}
\end{equation*}
d\mb{x}=d\tilde{\mb{x}}\sqrt{\frac{\hbar}{m}},\quad
\frac{\partial}{\partial \mb{x}}=\sqrt{\frac{m}{\hbar}}\frac{\partial}{\partial\tilde{\mb{x}}},
\quad \nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial \mb{x}^{2}}=\frac{m}{\hbar}\frac{\partial^{2}}{\partial \tilde{\mb{x}}^{2}}
=\frac{m}{\hbar}\tilde{\nabla}^{2}
\end{equation*}
従って, 質量 \(m\) の自由粒子に対するシュレディンガー方程式をスケーリング変換すると,
\begin{align}
i\hbar\pdiff{t}\psi(\tilde{\mb{x}},t)&=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi(\tilde{\mb{x}},t)
=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\times\frac{m}{\hbar}\frac{\partial^{2}}{\partial \tilde{\mb{x}}^{2}}\psi(\tilde{\mb{x}},t)
=-\frac{\hbar}{2}\tilde{\nabla}^{2}\psi(\tilde{\mb{x}},t),\notag\\
\therefore\ i\pdiff{t}\psi(\tilde{\mb{x}},t)&=-\frac{1}{2}\tilde{\nabla}^{2}\psi(\tilde{\mb{x}},t)
\ \longrightarrow\ i\pdiff{t}\psi(\mb{x},t)=-\frac{1}{2}\nabla^{2}\psi(\mb{x},t)
\tag{3.17}
\end{align}
i\hbar\pdiff{t}\psi(\tilde{\mb{x}},t)&=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi(\tilde{\mb{x}},t)
=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\times\frac{m}{\hbar}\frac{\partial^{2}}{\partial \tilde{\mb{x}}^{2}}\psi(\tilde{\mb{x}},t)
=-\frac{\hbar}{2}\tilde{\nabla}^{2}\psi(\tilde{\mb{x}},t),\notag\\
\therefore\ i\pdiff{t}\psi(\tilde{\mb{x}},t)&=-\frac{1}{2}\tilde{\nabla}^{2}\psi(\tilde{\mb{x}},t)
\ \longrightarrow\ i\pdiff{t}\psi(\mb{x},t)=-\frac{1}{2}\nabla^{2}\psi(\mb{x},t)
\tag{3.17}
\end{align}
以後では \(\tilde{\mb{x}}\) の「\(〜\)」は省略して書くことにする．また「運動量 \(\mb{p}=\hbar\mb{k}\)」を記述するのは「波数ベクトル \(\mb{k}\)」となり, 式 (3.17) の平面波解は次のような表現となる：
\begin{equation}
u(\mb{x},t)=A\exp\left(i\frac{\mb{p}\cdot\mb{x}}{\hbar}-\frac{i}{\hbar}\frac{\mb{p}^{2}}{2m}t\right)\quad
\longrightarrow\quad
u(\mb{x},t)=A\exp\left(i\mb{k}\cdot\mb{x}-i\frac{k^{2}}{2}t\right)
\tag{3.21}
\end{equation}
u(\mb{x},t)=A\exp\left(i\frac{\mb{p}\cdot\mb{x}}{\hbar}-\frac{i}{\hbar}\frac{\mb{p}^{2}}{2m}t\right)\quad
\longrightarrow\quad
u(\mb{x},t)=A\exp\left(i\mb{k}\cdot\mb{x}-i\frac{k^{2}}{2}t\right)
\tag{3.21}
\end{equation}
§ 3.8 エネルギー表示
１次元に於ける波束 \(\psi(x)\) は, 運動量空間での積分として書くことが出来る：
\begin{equation}
\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\hat{\psi}(k)\,dk
\tag{3.77}
\end{equation}
\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\hat{\psi}(k)\,dk
\tag{3.77}
\end{equation}
ただし \(\hat{\psi}(k)\) は \(\psi(x)\) のフーリエ変換である：
\begin{equation*}
\hat{\psi}(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}\psi(x)\,dx
\end{equation*}
\hat{\psi}(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}\psi(x)\,dx
\end{equation*}
ときどき, これを系エネルギーの積分として書くのが便利である．それは変数の置き換えで達成でき, 自由粒子のエネルギー \(E\) と運動量 \(k\) は \(E=k^{2}/2\) で関係していることを利用する．1次元の場合, エネルギーの各値に対して, 運動量の取り得る値は２つある：
\begin{equation}
k=\pm k(E),\quad k(E)=\sqrt{2E},\quad 0\le E < \infty
\tag{3.78}
\end{equation}
k=\pm k(E),\quad k(E)=\sqrt{2E},\quad 0\le E < \infty
\tag{3.78}
\end{equation}
従って, 式 (3.77) の積分は２つの部分に分けられる：
\begin{equation*}
\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{0} e^{ikx}\hat{\psi}(k)\,dk
+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty} e^{ikx}\hat{\psi}(k)\,dk
\end{equation*}
\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{0} e^{ikx}\hat{\psi}(k)\,dk
+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty} e^{ikx}\hat{\psi}(k)\,dk
\end{equation*}
\(k\to-k\) の置き換えをすると, 最初の積分は次のように書ける：
\begin{equation*}
\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\infty}^{0} e^{-ikx}\hat{\psi}(-k)\,(-dk)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-ikx}\hat{\psi}(-k)\,dk
\end{equation*}
\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\infty}^{0} e^{-ikx}\hat{\psi}(-k)\,(-dk)
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-ikx}\hat{\psi}(-k)\,dk
\end{equation*}
\(E=k^{2}/2\) の両辺を微分すると,
\begin{equation*}
dE =\frac{1}{2}\times 2k\,dk = k\,dk,\quad\rightarrow\quad
dk = \frac{dE}{k}
\end{equation*}
dE =\frac{1}{2}\times 2k\,dk = k\,dk,\quad\rightarrow\quad
dk = \frac{dE}{k}
\end{equation*}
そこで \(k=\sqrt{2E}=k(E)\) また \(\displaystyle dk=\frac{dE}{k(E)}\) と書くならば次を得る：
\begin{align}
\psi(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-ikx}\hat{\psi}(-k)\,dk
+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty} e^{ikx}\hat{\psi}(k)\,dk \notag\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} \left\{e^{-ikx}\hat{\psi}(-k)
+e^{ikx}\hat{\psi}(k)\right\}\frac{dE}{k(E)}\notag\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} \left\{\frac{\hat{\psi}(-k)}{\sqrt{k(E)}}e^{-ikx}
+\frac{\hat{\psi}(k)}{\sqrt{k(E)}}e^{ikx}\right\}\,\frac{dE}{\sqrt{k(E)}}\notag\\
&\equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} \left\{g_{-}(E)e^{-ikx}
+g_{+}(E)e^{ikx}\right\}\,\frac{dE}{\sqrt{k(E)}}
\tag{3.79}
\end{align}
\psi(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-ikx}\hat{\psi}(-k)\,dk
+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty} e^{ikx}\hat{\psi}(k)\,dk \notag\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} \left\{e^{-ikx}\hat{\psi}(-k)
+e^{ikx}\hat{\psi}(k)\right\}\frac{dE}{k(E)}\notag\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} \left\{\frac{\hat{\psi}(-k)}{\sqrt{k(E)}}e^{-ikx}
+\frac{\hat{\psi}(k)}{\sqrt{k(E)}}e^{ikx}\right\}\,\frac{dE}{\sqrt{k(E)}}\notag\\
&\equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} \left\{g_{-}(E)e^{-ikx}
+g_{+}(E)e^{ikx}\right\}\,\frac{dE}{\sqrt{k(E)}}
\tag{3.79}
\end{align}
ただし次の関数を定義した：
\begin{align}
g_{\pm}(E) &= \frac{\hat{\psi}(\pm k)}{\sqrt{k(E)}}
=\frac{1}{\sqrt{k(E)}}\times \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(\pm k)x}
\psi(x)\,dx \notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\,e^{\mp ikx}\psi(x)\,dx
\tag{3.80}
\end{align}
g_{\pm}(E) &= \frac{\hat{\psi}(\pm k)}{\sqrt{k(E)}}
=\frac{1}{\sqrt{k(E)}}\times \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i(\pm k)x}
\psi(x)\,dx \notag\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\,e^{\mp ikx}\psi(x)\,dx
\tag{3.80}
\end{align}
関数 \(g_{+}\) と \(g_{-}\) を２成分波動関数 \(g\) として結合する：
\begin{equation}
g\equiv \begin{pmatrix}
g_{+} \\ g_{-}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\ds{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\,e^{-ikx}\psi(x)\,dx} \\
\ds{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\,e^{ikx}\psi(x)\,dx}
\end{pmatrix}
\tag{3.81}
\end{equation}
g\equiv \begin{pmatrix}
g_{+} \\ g_{-}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\ds{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\,e^{-ikx}\psi(x)\,dx} \\
\ds{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\,e^{ikx}\psi(x)\,dx}
\end{pmatrix}
\tag{3.81}
\end{equation}
これを量子力学的状態の「エネルギー表示」,または簡単に「エネルギー空間の波動関数」と呼んでいる．式 (3.80) は波動関数 \(\psi\) から \(g\) への写像 \(f:\psi(x)\to g\) であるが, これは１対１の対応 (全単射) である．( 式 \(\psi\) を \(g\) で表現する逆変換は式 (3.79) で与えられる)．
２乗可積分の２成分 \(g_{\pm}\) から構成される「２成分波動関数 \(g\)」の全ての集合は, 次のようなスカラー積を定義すると,「ヒルベルト空間」を形成することになる：
\begin{equation}
\left\langle g^{(1)}, g^{(2)}\right\rangle =
\int_{0}^{\infty} \left\{\,\overline{g_{+}^{(1)}(E)}\,g_{+}^{(2)}(E)
+\overline{g_{-}^{(1)}(E)}\,g_{-}^{(2)}(E)\right\}\,dE
\tag{3.82}
\end{equation}
\left\langle g^{(1)}, g^{(2)}\right\rangle =
\int_{0}^{\infty} \left\{\,\overline{g_{+}^{(1)}(E)}\,g_{+}^{(2)}(E)
+\overline{g_{-}^{(1)}(E)}\,g_{-}^{(2)}(E)\right\}\,dE
\tag{3.82}
\end{equation}
ただし \(\overline{g_{+}(E)}\) は \(g_{+}(E)\) の複素共役である．「Fourier-Plancherel theorem」から, 波動関数 \(\psi(x)\) とそのフーリエ変換 \(\hat{\psi}(k)\) のノルムは等しい：
\begin{equation*}
\Vert \psi \Vert^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \vert \psi(x) \vert^{2}\,dx
=\int_{-\infty}^{\infty} \vert \hat{\psi}(k) \vert^{2}\,dk
= \Vert \hat{\psi} \Vert^{2}
\end{equation*}
\Vert \psi \Vert^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \vert \psi(x) \vert^{2}\,dx
=\int_{-\infty}^{\infty} \vert \hat{\psi}(k) \vert^{2}\,dk
= \Vert \hat{\psi} \Vert^{2}
\end{equation*}
従って, もし \(g\) が状態 \(\psi\) のエネルギー表示ならば次が言える：
\begin{align}
\Vert \psi \Vert^{2}&= \Vert \hat{\psi} \Vert^{2}=\int_{0}^{\infty} \vert \hat{\psi} \vert^{2}\,dk
+\int_{-\infty}^{0} \vert \hat{\psi}(k)\vert^{2}\,dk
=\int_{0}^{\infty} \vert \hat{\psi} \vert^{2}\,dk
+\int_{\infty}^{0} \vert \hat{\psi}(-k)\vert^{2}\,(-dk)\notag\\
&=\int_{0}^{\infty} \bigl\{\vert \hat{\psi} \vert^{2}
+\vert \hat{\psi}(-k)\vert^{2}\bigr\}\,dk
=\int_{0}^{\infty} \Bigl\{\vert \hat{\psi}\{k(E)\} \vert^{2}
+\vert \hat{\psi}\{-k(E)\} \vert^{2}\Bigr\}\,\frac{dE}{k(E)}\notag\\
&=\int_{0}^{\infty}\left\{\frac{\overline{\hat{\psi}\{k(E)\}}}{\sqrt{k(E)}}\frac{\hat{\psi}\{k(E)\}}{\sqrt{k(E)}}
+\frac{\overline{\hat{\psi}\{-k(E)\}}}{\sqrt{k(E)}}\frac{\hat{\psi}\{-k(E)\}}{\sqrt{k(E)}}\right\}\,dE\notag\\
&=\int_{0}^{\infty} \bigl\{\overline{g_{+}(E)}g_{+}(E) + \overline{g_{-}(E)}g_{-}(E)\bigr\}\,dE\notag\\
&=\bigl\langle g, g \bigr\rangle = \Vert g \Vert^{2}
\tag{3.83}
\end{align}
\Vert \psi \Vert^{2}&= \Vert \hat{\psi} \Vert^{2}=\int_{0}^{\infty} \vert \hat{\psi} \vert^{2}\,dk
+\int_{-\infty}^{0} \vert \hat{\psi}(k)\vert^{2}\,dk
=\int_{0}^{\infty} \vert \hat{\psi} \vert^{2}\,dk
+\int_{\infty}^{0} \vert \hat{\psi}(-k)\vert^{2}\,(-dk)\notag\\
&=\int_{0}^{\infty} \bigl\{\vert \hat{\psi} \vert^{2}
+\vert \hat{\psi}(-k)\vert^{2}\bigr\}\,dk
=\int_{0}^{\infty} \Bigl\{\vert \hat{\psi}\{k(E)\} \vert^{2}
+\vert \hat{\psi}\{-k(E)\} \vert^{2}\Bigr\}\,\frac{dE}{k(E)}\notag\\
&=\int_{0}^{\infty}\left\{\frac{\overline{\hat{\psi}\{k(E)\}}}{\sqrt{k(E)}}\frac{\hat{\psi}\{k(E)\}}{\sqrt{k(E)}}
+\frac{\overline{\hat{\psi}\{-k(E)\}}}{\sqrt{k(E)}}\frac{\hat{\psi}\{-k(E)\}}{\sqrt{k(E)}}\right\}\,dE\notag\\
&=\int_{0}^{\infty} \bigl\{\overline{g_{+}(E)}g_{+}(E) + \overline{g_{-}(E)}g_{-}(E)\bigr\}\,dE\notag\\
&=\bigl\langle g, g \bigr\rangle = \Vert g \Vert^{2}
\tag{3.83}
\end{align}
実は,「エネルギー表示への変換はスカラー積を保存する」のである：
\begin{equation}
\left\langle \psi^{(1)},\psi^{(2)}\right\rangle
=\left\langle g^{(1)},g^{(2)}\right\rangle
\tag{3.84}
\end{equation}
\left\langle \psi^{(1)},\psi^{(2)}\right\rangle
=\left\langle g^{(1)},g^{(2)}\right\rangle
\tag{3.84}
\end{equation}
すなわち,
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} \overline{\psi^{(1)}(x)}\,\psi^{(2)}(x)\,dx
=\int_{0}^{\infty} \left\{\,\overline{g_{+}^{(1)}(E)}\,g_{+}^{(2)}(E)
+\overline{g_{-}^{(1)}(E)}\,g_{-}^{(2)}(E)\right\}\,dE
\end{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} \overline{\psi^{(1)}(x)}\,\psi^{(2)}(x)\,dx
=\int_{0}^{\infty} \left\{\,\overline{g_{+}^{(1)}(E)}\,g_{+}^{(2)}(E)
+\overline{g_{-}^{(1)}(E)}\,g_{-}^{(2)}(E)\right\}\,dE
\end{equation*}
時間発展のエネルギー表示は,単純に次で与えられる：
\begin{equation}
g(E,t) = g(E)e^{iEt}
=\begin{pmatrix}g_{+}(E)e^{-iEt} \\ g_{-}(E)e^{-iEt}\end{pmatrix}
\tag{3.85}
\end{equation}
g(E,t) = g(E)e^{iEt}
=\begin{pmatrix}g_{+}(E)e^{-iEt} \\ g_{-}(E)e^{-iEt}\end{pmatrix}
\tag{3.85}
\end{equation}
この場合の \(g(E)\) は, エネルギー空間に於ける初期波動関数になっている．
エネルギー表示の状態の成分 \(g_{+}\) と \(g_{-}\) は, 運動方向に応じた分解を表している．位置空間に於いて, 次式は,「右に進む波束」である：
\begin{equation}
\psi_{+}(x,t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(E)}}
e^{ik(E)x-iEt}g_{+}(E)\,dE
\tag{3.86}
\end{equation}
\psi_{+}(x,t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(E)}}
e^{ik(E)x-iEt}g_{+}(E)\,dE
\tag{3.86}
\end{equation}
何故なら, 正の運動量だけが重ね合わせに用いられているからである．
同様にして, 次の部分は「左に進む波束」を表している：
\begin{equation}
\psi_{-}(x,t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(E)}}
e^{-ik(E)x-iEt}g_{-}(E)\,dE
\tag{3.87}
\end{equation}
\psi_{-}(x,t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(E)}}
e^{-ik(E)x-iEt}g_{-}(E)\,dE
\tag{3.87}
\end{equation}
明らかに \(\psi_{+}(x,t)\) と \(\psi_{-}(x,t)\) は波束 \(\psi(x,t)\) を２つに分解している：
\begin{align}
\psi(x,t)&=\psi_{+}(x,t)+\psi_{-}(x,t)\tag{3.88}\\
&=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}
e^{ik(E)x-iEt}g_{+}(E)\,dE
+\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}
e^{-ik(E)x-iEt}g_{-}(E)\,dE\notag\\
&=\int_{0}^{\infty} \omr(E,x)g_{+}(E)e^{-iEt}\,dE
+\int_{0}^{\infty} \oml(E,x)g_{-}(E)e^{-iEt}\,dE\notag
\end{align}
\psi(x,t)&=\psi_{+}(x,t)+\psi_{-}(x,t)\tag{3.88}\\
&=\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}
e^{ik(E)x-iEt}g_{+}(E)\,dE
+\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}
e^{-ik(E)x-iEt}g_{-}(E)\,dE\notag\\
&=\int_{0}^{\infty} \omr(E,x)g_{+}(E)e^{-iEt}\,dE
+\int_{0}^{\infty} \oml(E,x)g_{-}(E)e^{-iEt}\,dE\notag
\end{align}
ただし \(\omr(E,x)\) と \(\oml(E,x)\) は § 9.1 で定義される式 (9.8), 式 (9.9) である：
\begin{equation*}
\omr(E,x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\,e^{ik(E)x},\quad
\oml(E,x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\,e^{-ik(E)x}
\end{equation*}
\omr(E,x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\,e^{ik(E)x},\quad
\oml(E,x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\,e^{-ik(E)x}
\end{equation*}
そして波束 \(\psi\) を２つの「直交部分」に分解している．何故なら \(\psi_{+}\) と \(\psi_{-}\) のスカラー積はゼロとなるからである：
\begin{equation}
\bigl\langle\psi_{+},\psi_{-}\bigr\rangle
=\left\langle\begin{pmatrix} g_{+} \\ 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 \\ g_{-} \end{pmatrix}\right\rangle = 0
\tag{3.89}
\end{equation}
\bigl\langle\psi_{+},\psi_{-}\bigr\rangle
=\left\langle\begin{pmatrix} g_{+} \\ 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 \\ g_{-} \end{pmatrix}\right\rangle = 0
\tag{3.89}
\end{equation}
[ 問題 3.9 ] 位置空間に於ける波動関数 \(\psi(x)\) が２回微分されると, エネルギー表示ではどんなことが起こるか？
(解答例) 式 (3.79) に於いて両辺を \(x\) で２回微分すると,
\begin{align*}
\nabla^{2}\psi(x)=\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi(x)&=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty}
\left\{g_{+}(E)(ik)^{2}\,e^{ikx} + g_{-}(E)(-ik)^{2}\,e^{-ikx}\right\}\,\frac{dE}{\sqrt{k(E)}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty} \left\{(-k^{2})g_{+}(E)e^{ikx}
+(-k^{2})g_{-}(E)e^{-ikx}\right\}\,\frac{dE}{\sqrt{k(E)}}
\end{align*}
従って, エネルギー表示では各成分に \(-k^{2}\) が付加されることになると思われる：
\begin{equation*}
-k^{2} g = \begin{pmatrix}
-k^{2}g_{+} \\ -k^{2}g_{-}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\ds{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\,e^{-ikx}\nabla^{2}\psi(x)\,dx} \\
\ds{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\,e^{ikx}\nabla^{2}\psi(x)\,dx}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
-k^{2} g = \begin{pmatrix}
-k^{2}g_{+} \\ -k^{2}g_{-}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\ds{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\,e^{-ikx}\nabla^{2}\psi(x)\,dx} \\
\ds{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\,e^{ikx}\nabla^{2}\psi(x)\,dx}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
この本質は,「フーリエ変換」の次の性質による：
\(\mathscr{F}[f(t)]=F(\omega)\) とし \(t\to\pm\infty\) のとき \(f(t)\to0\) とすると, \(\mathscr{F}[f'(t)]=j\omega\,F(\omega) = j\omega\,\mathscr{F}[f(t)]\) となる．
すなわち「関数 \(f(t)\) の微分 \(f'(t)\) のフーリエ変換は \(j\omega\) をフーリエ変換に掛けたことになる」．この場合で言うと \(\mathscr{F}[\psi_{+}(x)]=\hat{\psi}_{+}(k)\) とし, また \(x\to\pm\infty\) のとき \(\psi(x)\to0\) とするならば,
\begin{align*}
\mathscr{F}[\nabla \psi_{+}(x)] &= ik\,\hat{\psi}_{+}(k)=ik\mathscr{F}[\psi_{+}(x)],\\
\mathscr{F}[\nabla^{2} \psi_{+}(x)] &= (ik)^{2}\,\hat{\psi}_{+}(k)=-k^{2}\mathscr{F}[\psi_{+}(x)]
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
-k^{2}g_{+}(E)&=-k^{2}\frac{\hat{\psi}(+k)}{\sqrt{k(E)}}
=\frac{-k^{2}\mathscr{F}[\psi_{+}(x)]}{\sqrt{k(E)}}
=\frac{\mathscr{F}[\nabla^{2}\psi_{+}(x)]}{\sqrt{k(E)}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi k(E)}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx}\nabla^{2}\psi_{+}(x)\,dx
\end{align*}
\(g_{-}\) の場合も同様である．結局, エネルギー表示 \(g\) ではその各成分に \(-k^{2}\) が掛け合わされることになる．
