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ファインマンの第6講に出現した「Kramers-Heisenberg公式」について, J.J.Sakurai;「Advanced Quantum Mechanics」 §2.5 では その公式を適用出来る例として Rayleigh 散乱を説明しているので, その記述を抜粋しておく．
Rayleigh 散乱 (Rayleigh scattering)
式 (2.162) の「Kramers-Heisenbergの公式」には詳しく検討する価値のある特殊な場合がある．まず \(A = B\), \(\hbar\omega=\hbar\omega’\) の場合について議論しよう．この状況は「光の弾性散乱」に相当している．この問題はレイリー卿によって古典的に扱われたため「レイリー散乱」(Rayleigh scattering) とも呼ばれる．式 (2.162) を簡略化するために \(\mathbf{\epsilon}^{\alpha}\cdot\mathbf{\epsilon}^{\alpha’}\) を書き直す．そのために \(\mathbf{x}\) と \(\mathbf{p}\) の交換関係, 中間状態 \(I\) の完全性, そして式 (2.124) を用いる．交換関係は次のように書ける： [1]単位ベクトルである「偏極ベクトル\(\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\)」は, 光波の伝搬方向を波数ベクトル \(\mb{k}\) の方向とすると … Continue reading
\begin{equation}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^{2}}}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\BK#1#2{\langle #1 | #2 \rangle}
\def\BraKet#1#2#3{\langle #1 | #2 | #3 \rangle}
\def\ket#1{| #1 \rangle}
\def\bra#1{\langle #1 |}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
[\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)},\,\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}]=i\hbar\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}
\end{equation}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
\def\Bppdiff#1#2{\frac{\partial^{2} #1}{\partial #2^{2}}}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\BK#1#2{\langle #1 | #2 \rangle}
\def\BraKet#1#2#3{\langle #1 | #2 | #3 \rangle}
\def\ket#1{| #1 \rangle}
\def\bra#1{\langle #1 |}
\def\mb#1{\mathbf{#1}}
[\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)},\,\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}]=i\hbar\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}
\end{equation}
従って,
\begin{equation*}
\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}=\frac{1}{i\hbar}
\left\{\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}
-\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\right\}
\end{equation*}
\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}=\frac{1}{i\hbar}
\left\{\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}
-\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\right\}
\end{equation*}
行列要素 \(\BraKet{A}{\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}}{A}\) を考えると, 左辺は
\begin{equation*}
\int \phi_A^{*}(\mb{x})\,\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\,\phi_A(\mb{x})\,d\mb{x}
=\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\int \phi_A^{*}(\mb{x})\phi_A(\mb{x})\,d\mb{x}
=\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)},
\tag{1}
\end{equation*}
\int \phi_A^{*}(\mb{x})\,\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\,\phi_A(\mb{x})\,d\mb{x}
=\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\int \phi_A^{*}(\mb{x})\phi_A(\mb{x})\,d\mb{x}
=\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)},
\tag{1}
\end{equation*}
右辺は中間状態 \(I\) の完全性を用いると,
\begin{align*}
&\frac{1}{i\hbar}\bra{A}\left\{\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}
-\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\right\}\ket{A}
=\frac{1}{i\hbar}\left\{\bra{A}\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\ket{A}
-\bra{A}\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\ket{A}\right\}\\
&\quad = \frac{1}{i\hbar}\left\{\bra{A}\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\Bigl(\sum_I\ket{I}\bra{I}\Bigr)\,
\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\ket{A}
-\bra{A}\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\Bigl(\sum_I\ket{I}\bra{I}\Bigr)\,
\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\ket{A}\right\}\\
&\quad=\frac{1}{i\hbar}\sum_I \left\{\BraKet{A}{\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}}{I}
\BraKet{I}{\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}}{A}-\BraKet{A}{\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}}{I}
\BraKet{I}{\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}}{A}\right\}\\
&\quad =\frac{1}{i\hbar}\sum_I \left\{(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}
-(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}\right\}
\end{align*}
更に, 式(2.124) の関係式 \(\displaystyle \frac{\mb{p}_{BA}}{m}=i\omega_{BA}\mb{x}_{BA}\) または \(\displaystyle \mb{x}_{BA}=\frac{\mb{p}_{BA}}{im \omega_{BA}}\) を用いると,
\begin{align*}
&\frac{1}{i\hbar}\bra{A}\left\{\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}
-\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\right\}\ket{A}\\
&\quad =\frac{1}{i\hbar}\sum_I \left\{\frac{1}{im\omega_{AI}}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}
-(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}\frac{1}{im\omega_{IA}}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}\right\}
\end{align*}
ただし \(\omega_{IA}=(E_I-E_A)/\hbar\) である．さらに \(\omega_{AI}=-\omega_{IA}\) を用いるならば,
\begin{align*}
&\frac{1}{i\hbar}\bra{A}\left\{\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}
-\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\right\}\ket{A}\\
&\quad =\frac{1}{m\hbar}\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}}\left\{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}
+(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}\right\}
\tag{2}
\end{align*}
以上の結果式 (1) と式 (2) から, 最終的に \(\mb{\epsilon}^{\alpha}\cdot\mb{\epsilon}^{\alpha’}\) は次のように書き直すことが出来る：
\begin{align}
\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}
=\frac{1}{m\hbar}\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}}\left\{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}
+(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}\right\}
\tag{2.164}
\end{align}
\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}
=\frac{1}{m\hbar}\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}}\left\{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}
+(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}\right\}
\tag{2.164}
\end{align}
すると式 (2.162) の3つの項が組み合わさって次となることが分かる：
\begin{align}
&\delta_{AA}\,\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}-\frac{1}{m\hbar}\sum_I
\left[\frac{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}}{\omega_{IA}-\omega}
+\frac{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}}{\omega_{IA}+\omega}\right]\notag\\
&\quad =-\frac{1}{m\hbar}\sum_I \frac{\omega}{\omega_{IA}}\left[\frac{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}
(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}}{(\omega_{IA}-\omega)}
-\frac{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}}{(\omega_{IA}+\omega)}\right]
\tag{2.165}
\end{align}
&\delta_{AA}\,\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}-\frac{1}{m\hbar}\sum_I
\left[\frac{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}}{\omega_{IA}-\omega}
+\frac{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}}{\omega_{IA}+\omega}\right]\notag\\
&\quad =-\frac{1}{m\hbar}\sum_I \frac{\omega}{\omega_{IA}}\left[\frac{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}
(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}}{(\omega_{IA}-\omega)}
-\frac{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}}{(\omega_{IA}+\omega)}\right]
\tag{2.165}
\end{align}
更に \(\omega\) が小さな値の場合 (\(\omega\ll \omega_{IA}\)の場合) に正当となる次の近似式
\begin{equation*}
\frac{1}{\omega_{IA}\mp \omega}=\frac{1}{\omega_{IA}}\left(1\mp \frac{\omega}{\omega_{IA}}\right)^{-1}
\approx \frac{1}{\omega_{IA}}\left(1\pm \frac{\omega}{\omega_{IA}}\right)
\end{equation*}
\frac{1}{\omega_{IA}\mp \omega}=\frac{1}{\omega_{IA}}\left(1\mp \frac{\omega}{\omega_{IA}}\right)^{-1}
\approx \frac{1}{\omega_{IA}}\left(1\pm \frac{\omega}{\omega_{IA}}\right)
\end{equation*}
を用いると,
\begin{align*}
-\frac{\omega}{m\hbar}&\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}}\left[\frac{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}}{(\omega_{IA}-\omega)}
-\frac{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}}{(\omega_{IA}+\omega)}\right]\\
&=-\frac{\omega}{m\hbar}\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}^{2}}\left[(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
-(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}\right]\\
&\qquad -\frac{\omega}{m\hbar}\sum_I \frac{\omega}{\omega_{IA}^{3}}
\left[(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
+(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}\right]
\tag{3}
\end{align*}
この第 1 項目は, 前の式 (2) で用いた関係 \(\mb{p}=im\omega\mb{x}\) を用いると,「交換関係」からゼロとなることが分かる：
\begin{align}
&\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}^{2}}\left[(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
-(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}\right]\notag\\
&\quad=\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}^{2}}\left[im\omega_{AI}im\omega_{IA}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
-im\omega_{AI}im\omega_{IA}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}\right]\notag\\
&\quad =m^{2}\sum_I \left[(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
-(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}\right]\notag\\
&\quad =m^{2}\left(\bigl[\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)},\,\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\bigr]\right)_{AA}=0,\tag{2.166}
\end{align}
&\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}^{2}}\left[(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
-(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}\right]\notag\\
&\quad=\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}^{2}}\left[im\omega_{AI}im\omega_{IA}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
-im\omega_{AI}im\omega_{IA}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}\right]\notag\\
&\quad =m^{2}\sum_I \left[(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
-(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}\right]\notag\\
&\quad =m^{2}\left(\bigl[\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)},\,\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\bigr]\right)_{AA}=0,\tag{2.166}
\end{align}
以上のことから, 式 (2.165) は式 (3) の第 2 項のみとなる：
\begin{align*}
&\delta_{AA}\,\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}-\frac{1}{m\hbar}\sum_I
\left[\frac{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}}{\omega_{IA}-\omega}
+\frac{(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}}{\omega_{IA}+\omega}\right]\notag\\
&\quad =-\frac{\omega^{2}}{m\hbar}\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}^{3}}
\left[(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
+(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}\right]\tag{4}
\end{align*}
この結果を式 (2.162) の微分散乱断面積の式に用いる．すると \(\omega\ll \omega_{IA}\) の場合のレーリー散乱の断面積が次のように得られる：[2]砂川重信：「量子力学」の第 8 章 § 4 には,「Rayleigh 散乱の微分断面積」と「Thomson … Continue reading
\begin{align}
\frac{d\sigma}{d\Omega}&=r_0^{2}\left|-\frac{\omega^{2}}{m\hbar}\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}^{3}}
\left[(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
+(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}\right]\right|^{2}\\
&=\left(\frac{r_0}{m\hbar}\right)^{2}\omega^{4}\left|
\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}^{3}}
\bigl[(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
+(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}\bigr]\right|^{2}\notag\\
&=\left(\frac{r_0 m}{\hbar}\right)^{2}\omega^{4}\left|\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}}
\bigl[(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
+(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}\bigr]\right|^{2}
\tag{2.167}
\end{align}
\frac{d\sigma}{d\Omega}&=r_0^{2}\left|-\frac{\omega^{2}}{m\hbar}\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}^{3}}
\left[(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
+(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}\right]\right|^{2}\\
&=\left(\frac{r_0}{m\hbar}\right)^{2}\omega^{4}\left|
\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}^{3}}
\bigl[(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
+(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}\bigr]\right|^{2}\notag\\
&=\left(\frac{r_0 m}{\hbar}\right)^{2}\omega^{4}\left|\sum_I \frac{1}{\omega_{IA}}
\bigl[(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{AI}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{IA}
+(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)})_{AI}(\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)})_{IA}\bigr]\right|^{2}
\tag{2.167}
\end{align}
従って,「長波長での散乱断面積は波長 \(\lambda\ (=2\pi c/\omega)\) の4乗に反比例して変化する」(Rayleighの法則)ことが分かる．通常の無色ガス中の原子の場合, 典型的な \(\omega_{IA}\) に相当する光波は紫外線領域に在る．従って \(\omega\ll \omega_{IA}\) という近似式は, 可視光領域における \(\omega\) に対して有効である．この理論は「空が青く夕日が赤い理由」を説明するものとなっている．
References
| ↑1 | 単位ベクトルである「偏極ベクトル\(\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\)」は, 光波の伝搬方向を波数ベクトル \(\mb{k}\) の方向とすると \((\mb{\epsilon}^{(1)},\mb{\epsilon}^{(2)},\mb{k}/|\mb{k}|)\) が右手系を構成する基底ベクトルの組になるように \(\mb{\epsilon}^{(1)}\) と \(\mb{\epsilon}^{(2)}\) を選ぶのであった．従って \(\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}=\delta_{\alpha,\alpha’}\) が成り立つ．また, 位置演算子 \(\mb{x}\) と運動量演算子 \(\mb{p}\) の交換関係は \([\mb{x}_i,\mb{p}_j]=i\hbar\,\delta_{ij}\) と書くことが出来た．従って \(\mb{\epsilon}^{(1)}=\mb{i}\), \(\mb{\epsilon}^{(2)}=\mb{j}\) とすると, 例えば \(x\) と \(p_x\) との交換関係は \([\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(1)},\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(1)}]=i\hbar\) と書くことが出来るし, 一般的には \([\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)},\,\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}]=i\hbar\delta_{\alpha,\alpha’}\) または \([\mb{x}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha)},\,\mb{p}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}]=i\hbar\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\) と書くことが出来る． |
|---|---|
| ↑2 | 砂川重信：「量子力学」の第 8 章 § 4 には,「Rayleigh 散乱の微分断面積」と「Thomson 散乱の微分断面積」との関係も示されている： \begin{equation*} \frac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\frac{81}{64}\right)\frac{\omega^{4}}{\omega_B^{4}}\cdot r_0^{2}\bigl|\mb{\epsilon}^{(\alpha)}\cdot\mb{\epsilon}^{(\alpha’)}\bigr|^{2}=\left(\frac{81}{64}\right)\frac{\omega^{4}}{\omega_B^{4}}\cdot\frac{d\sigma_T}{d\Omega} \end{equation*} ただし \(\displaystyle \frac{d\sigma_T}{d\Omega}\) は「Thomson 散乱の微分断面積」である．また \(E_{\mathrm{Ryd}}\) を「Rydberg エネルギー」すなわち「定常状態に於ける原子内電子エネルギーで \(n=1\)の場合」としたとき, \(\omega_B\) は次式で定義される量である： \begin{equation*} E_{\mathrm{Ryd}}=\hbar\omega_B,\quad \mathrm{where}\quad E_{\mathrm{Ryd}}=\frac{mc^{2}}{2}\alpha^{2}=\frac{\hbar^{2}}{2m a_0^{2}}=13.61\,\mathrm{eV} \end{equation*} ただし \(\alpha=1/137.036\) は「微細構造定数」,また \(a_0\) は「Bohr 半径」である． |
