問題 6-26 の解答例

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Problem 6-26
Suppose we have two discrete energy levels $E_1$ and $E_2$, neither of which is in the continuum. Let a transition be induced by a potential of the form $V(x,t)=V(x)f(t)$. Show that the probability of transition is

if $f(t)$ is representable by the Fourier transform

$$\begin{array}{}\text{(6-96)}& f(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\varphi (\omega )e^{-i\omega t}\frac{d\omega }{2\pi }\end{array}$$

and ${\omega }_0=(E_2-E_1)/\hslash$.

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(解答)　第1ボルン近似, すなわち, 始状態 $n$ から終状態 $m$ へ遷移する「1次の遷移振幅」は式 (6-77) で与えられた：

ただし $V_{mn}(t)$ は「ポテンシャル $V$ の行列要素」であり, 式 (6-71) で定義された：

$V(x,t)=V(x)f(t)$ 及び $\omega =(E_m-E_n)/\hslash$ とすると, 式 (1) から次式が得られる：

ただし $V_{mn}$ は「時間 $t$ に依存しない行列要素」である：

更に式 (6-96) の逆フーリエ変換は次となる (ただし, 原書では式 (6-96) の指数関数は $e^{i\omega t}$ となっている．しかしここでは, ランダウや小出の表し方に従って書き直してあるので注意する．) ：

従って, 式 (4) 及び式 (5) を用いると, 式 (3) の「1次の遷移振幅」は次のように表せることになる：

遷移確率 $P(n\to m)=|c_{mn}^{(1)}{|}^2=|{\lambda }_{mn}^{(1)}{|}^2$ を求めるには, 式 (6) の両辺の絶対値の2乗をとればよいから,

遷移確率 $P(1\to 2)$ は ${\omega }_0=(E_2-E_1)/\hslash$ の場合である．よって式 (6-95) となる：