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Problem 6-26
Suppose we have two discrete energy levels \(E_{1}\) and \(E_{2}\), neither of which is in the continuum. Let a transition be induced by a potential of the form \(V(x,t)=V(x)f(t)\). Show that the probability of transition is
\begin{equation}
P(1\to 2) = \frac{1}{\hbar^{2}}\big|V_{12}\big|^{2}\big|\phi(\omega_{0})\big|^{2}
\tag{6-95}
\end{equation}
P(1\to 2) = \frac{1}{\hbar^{2}}\big|V_{12}\big|^{2}\big|\phi(\omega_{0})\big|^{2}
\tag{6-95}
\end{equation}
if \(f(t)\) is representable by the Fourier transform
\begin{equation}
f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \phi(\omega)\,e^{-i\omega t}\,\frac{d\omega}{2\pi}
\tag{6-96}
\end{equation}
f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \phi(\omega)\,e^{-i\omega t}\,\frac{d\omega}{2\pi}
\tag{6-96}
\end{equation}
and \(\omega_{0}=(E_{2}-E_{1})/\hbar\).
(解答) 第1ボルン近似, すなわち, 始状態 \(n\) から終状態 \(m\) へ遷移する「1次の遷移振幅」は式 (6-77) で与えられた：
\begin{equation}
\lambda_{mn}^{(1)}
=-\frac{i}{\hbar}e^{-iE_{m}t_2/\hbar} e^{iE_{n}t_1/\hbar}\int_{t_1}^{t_2}dt_{3}\,V_{mn}(t_3)\,e^{i(E_m-E_n)t_3/\hbar}
\tag{1}
\end{equation}
\lambda_{mn}^{(1)}
=-\frac{i}{\hbar}e^{-iE_{m}t_2/\hbar} e^{iE_{n}t_1/\hbar}\int_{t_1}^{t_2}dt_{3}\,V_{mn}(t_3)\,e^{i(E_m-E_n)t_3/\hbar}
\tag{1}
\end{equation}
ただし \(V_{mn}(t)\) は「ポテンシャル \(V\) の行列要素」であり, 式 (6-71) で定義された：
\begin{equation}
V_{mn}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\phi^{*}_{m}(x)\,V(x,t)\,\phi_{n}(x)
\tag{2}
\end{equation}
V_{mn}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\phi^{*}_{m}(x)\,V(x,t)\,\phi_{n}(x)
\tag{2}
\end{equation}
\(V(x,t)=V(x)f(t)\) 及び \(\omega=(E_m-E_n)/\hbar\) とすると, 式 (1) から次式が得られる：
\begin{align}
c_{m}^{(1)}&\equiv e^{i(E_{m} t_2-E_{n} t_1)/\hbar} \lambda_{mn}^{(1)}
=-\frac{i}{\hbar}\int_{t_1}^{t_2} dt\,V_{mn}(t)\,e^{i(E_{m}-E_{n})t/\hbar}\\
&=-\frac{i}{\hbar}\int_{t_1}^{t_2} dt\,\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\phi^{*}_{m}(x)\,V(x,t)\,\phi_{n}(x)
\,e^{i(E_{m}-E_{n})t/\hbar}\\
&=-\frac{i}{\hbar}\int_{t_1}^{t_2} dt\,\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\phi^{*}_{m}(x)\,V(x)f(t)\,\phi_{n}(x)
\,e^{i(E_{m}-E_{n})t/\hbar}\\
&=-\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\phi^{*}_{m}(x)\,V(x)\,\phi_{n}(x)\int_{t_1}^{t_2} dt\,f(t)
\,e^{i(E_{m}-E_{n})t/\hbar}\\
&=-\frac{i}{\hbar}V_{mn}\int_{-\infty}^{\infty}dt\,f(t)\,e^{i\omega t}
\tag{3}
\end{align}
c_{m}^{(1)}&\equiv e^{i(E_{m} t_2-E_{n} t_1)/\hbar} \lambda_{mn}^{(1)}
=-\frac{i}{\hbar}\int_{t_1}^{t_2} dt\,V_{mn}(t)\,e^{i(E_{m}-E_{n})t/\hbar}\\
&=-\frac{i}{\hbar}\int_{t_1}^{t_2} dt\,\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\phi^{*}_{m}(x)\,V(x,t)\,\phi_{n}(x)
\,e^{i(E_{m}-E_{n})t/\hbar}\\
&=-\frac{i}{\hbar}\int_{t_1}^{t_2} dt\,\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\phi^{*}_{m}(x)\,V(x)f(t)\,\phi_{n}(x)
\,e^{i(E_{m}-E_{n})t/\hbar}\\
&=-\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\phi^{*}_{m}(x)\,V(x)\,\phi_{n}(x)\int_{t_1}^{t_2} dt\,f(t)
\,e^{i(E_{m}-E_{n})t/\hbar}\\
&=-\frac{i}{\hbar}V_{mn}\int_{-\infty}^{\infty}dt\,f(t)\,e^{i\omega t}
\tag{3}
\end{align}
ただし \(V_{mn}\) は「時間 \(t\) に依存しない行列要素」である：
\begin{equation}
V_{mn}=\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\phi^{*}_{m}(x)\,V(x)\,\phi_{n}(x)
\tag{4}
\end{equation}
V_{mn}=\int_{-\infty}^{\infty} dx\,\phi^{*}_{m}(x)\,V(x)\,\phi_{n}(x)
\tag{4}
\end{equation}
更に式 (6-96) の逆フーリエ変換は次となる (ただし, 原書では式 (6-96) の指数関数は \(e^{i\omega t}\) となっている．しかしここでは, ランダウや小出の表し方に従って書き直してあるので注意する．) ：
\begin{equation}
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}d\omega\,\phi(\omega)\,e^{-i\omega t}
\quad\longleftrightarrow\quad
\phi(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{i\omega t}\,dt
\tag{5}
\end{equation}
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}d\omega\,\phi(\omega)\,e^{-i\omega t}
\quad\longleftrightarrow\quad
\phi(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{i\omega t}\,dt
\tag{5}
\end{equation}
従って, 式 (4) 及び式 (5) を用いると, 式 (3) の「1次の遷移振幅」は次のように表せることになる：
\begin{equation}
c_{m}^{(1)}\equiv e^{i(E_{m} t_2-E_{n} t_1)/\hbar} \lambda_{mn}^{(1)}
=-\frac{i}{\hbar}V_{mn}\,\phi(\omega)
\tag{6}
\end{equation}
c_{m}^{(1)}\equiv e^{i(E_{m} t_2-E_{n} t_1)/\hbar} \lambda_{mn}^{(1)}
=-\frac{i}{\hbar}V_{mn}\,\phi(\omega)
\tag{6}
\end{equation}
遷移確率 \(P(n\to m)=|c_{mn}^{(1)}|^{2}=|\lambda_{mn}^{(1)}|^{2}\) を求めるには, 式 (6) の両辺の絶対値の2乗をとればよいから,
\begin{equation}
P(n\to m)=\bigl|c_{mn}^{(1)}\bigr|^{2}=\bigl|\lambda_{mn}^{(1)}\bigr|^{2}
=\bigl|-\frac{i}{\hbar}\,V_{mn}\,\phi(\omega)\bigr|^{2}
=\frac{1}{\hbar^{2}}\big|V_{mn}\big|^{2}\big|\phi(\omega)\big|^{2}
\tag{7}
\end{equation}
P(n\to m)=\bigl|c_{mn}^{(1)}\bigr|^{2}=\bigl|\lambda_{mn}^{(1)}\bigr|^{2}
=\bigl|-\frac{i}{\hbar}\,V_{mn}\,\phi(\omega)\bigr|^{2}
=\frac{1}{\hbar^{2}}\big|V_{mn}\big|^{2}\big|\phi(\omega)\big|^{2}
\tag{7}
\end{equation}
遷移確率 \(P(1 \to 2)\) は \(\omega_{0}=(E_{2}-E_{1})/\hbar\) の場合である．よって式 (6-95) となる：
\begin{equation}
P(1 \to 2)=\frac{1}{\hbar^{2}}\big|V_{21}\big|^{2}\big|\phi(\omega_0)\big|^{2}
\tag{6-95}
\end{equation}
P(1 \to 2)=\frac{1}{\hbar^{2}}\big|V_{21}\big|^{2}\big|\phi(\omega_0)\big|^{2}
\tag{6-95}
\end{equation}
