問題 6-27 の解答例

Problem 6-27
Derive the perturbation expansion up through the terms of the second order for potentials periodic in time.

(解答) 2次の遷移振幅 $λ_{m n}^{(2)}$ の式 (6-74) に相当する2次の係数 $c_{m}^{(2)} (t)$ の式は次である：

\begin{aligned} c_{m}^{(2)} (t) & = e^{i (E_{m} t_{2} - E_{n} t_{1}) / ℏ} λ_{m n}^{(2)} \\ (1) & = {(- \frac{i}{ℏ})}^{2} \sum_{k} \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t_{4} \int_{t_{1}}^{t_{4}} d t_{3} e^{i ω_{m k} t_{4}} V_{m k} (t_{4}) e^{i ω_{k n} t_{3}} V_{k n} (t_{3}) \end{aligned}

ただし

ω_{m k}

と

ω_{k n}

は次で定義された：

\begin{matrix} (2) & E_{m} - E_{k} = ℏ ω_{m k}, E_{k} - E_{n} = ℏ ω_{k n} \end{matrix}

また次式が成り立つことに注意する：

\begin{matrix} (3) & ω_{m k} + ω_{k n} = \frac{E_{m} - E_{k}}{ℏ} + \frac{E_{k} - E_{n}}{ℏ} = \frac{E_{m} - E_{n}}{ℏ} = ω_{m n} \end{matrix}

題意より摂動ポテンシャル

V (t)

は, 問題 (6-24) と同じ「調和摂動」を用いよう：

\begin{matrix} (4) & V (t) = V e^{i ω t} + V^{†} e^{- i ω t} \end{matrix}

t_{1} = 0, t_{2} = T

とした式 (1) の積分に於いて, ポテンシャル

V (t)

の行列要素にこの式(4)を適用すると,

\begin{aligned} c_{m}^{(2)} (T) = {(- \frac{i}{ℏ})}^{2} \sum_{k} \int_{0}^{T} d t_{4} \int_{0}^{t_{4}} d t_{3} e^{i ω_{m k} t_{4}} V_{m k} (t_{4}) e^{i ω_{k n} t_{3}} V_{k n} (t_{3}) \\ = {(- \frac{i}{ℏ})}^{2} \sum_{k} \int_{0}^{T} d t_{4} e^{i ω_{m k} t_{4}} V_{m k} (t_{4}) \int_{0}^{t_{4}} d t_{3} e^{i ω_{k n} t_{3}} V_{k n} (t_{3}) \\ = \sum_{k} (- \frac{i}{ℏ}) \int_{0}^{T} d t_{4} e^{i ω_{m k} t_{4}} (V_{m k} e^{i ω t_{4}} + V_{m k}^{†} e^{- i ω t_{4}}) \times (- \frac{i}{ℏ}) \int_{0}^{t_{4}} d t_{3} e^{i ω_{k n} t_{3}} (V_{k n} e^{i ω t_{3}} + V_{k n}^{†} e^{- i ω t_{3}}) \\ = \sum_{k} (- \frac{i}{ℏ}) \int_{0}^{T} d t_{4} (V_{m k} e^{i (ω_{m k} + ω) t_{4}} + V_{m k}^{†} e^{i (ω_{m k} - ω) t_{4}}) \times [\frac{1 - e^{i (ω_{k n} + ω) t_{4}}}{ℏ ω_{k n} + ℏ ω} V_{k n} + \frac{1 - e^{i (ω_{k n} - ω) t_{4}}}{ℏ ω_{k n} - ℏ ω} V_{k n}^{†}] \\ = \sum_{k} (- \frac{i}{ℏ}) \int_{0}^{T} d t_{4} [\frac{V_{m k} V_{k n}}{ℏ ω_{k n} + ℏ ω} {e^{i (ω_{m k} + ω) t_{4}} - e^{i (ω_{m n} + 2 ω) t_{4}}} + \frac{V_{m k} V_{k n}^{†}}{ℏ ω_{k n} - ℏ ω} {e^{i (ω_{m k} + ω) t_{4}} - e^{i ω_{m n} t_{4}}} \\ (5) & + \frac{V_{m k}^{†} V_{k n}}{ℏ ω_{k n} + ℏ ω} {e^{i (ω_{m k} - ω) t_{4}} - e^{i ω_{m n} t_{4}}} + \frac{V_{m k}^{†} V_{k n}^{†}}{ℏ ω_{k n} - ℏ ω} {e^{i (ω_{m k} - ω) t_{4}} - e^{i (ω_{m n} - 2 ω) t_{4}}}] \end{aligned}

d t_{4}

積分を, 本文の式 (6-98) と同様な仕方で実行するならば次となる：

\begin{aligned} c_{m}^{(2)} (T) = \sum_{k} & [(\frac{- V_{m k} V_{k n}}{E_{k} - E_{n} + ℏ ω}) {\frac{1 - e^{i (ω_{m n} + 2 ω) T}}{E_{m} - E_{n} + 2 ℏ ω} - \frac{1 - e^{i (ω_{m k} + ω) T}}{E_{m} - E_{k} + ℏ ω}} \\ + (\frac{- V_{m k}^{†} V_{k n}}{E_{k} - E_{n} + ℏ ω}) {\frac{1 - e^{i ω_{m n} T}}{E_{m} - E_{n}} - \frac{1 - e^{i (ω_{m k} - ω) T}}{E_{m} - E_{k} - ℏ ω}} \\ + (\frac{- V_{m k} V_{k n}^{†}}{E_{k} - E_{n} - ℏ ω}) {\frac{1 - e^{i ω_{m n} T}}{E_{m} - E_{n}} - \frac{1 - e^{i (ω_{m k} + ω) T}}{E_{m} - E_{k} + ℏ ω}} \\ (6) & + (\frac{- V_{m k}^{†} V_{k n}^{†}}{E_{k} - E_{n} - ℏ ω}) {\frac{1 - e^{i (ω_{m n} - 2 ω) T}}{E_{m} - E_{n} - 2 ℏ ω} - \frac{1 - e^{i (ω_{m k} - ω) T}}{E_{m} - E_{k} - ℏ ω}}] \end{aligned}

さらに問題 6-24 と同様に,

V = V^{†} = V (x)

の場合を考えるならば,

\begin{aligned} c_{m}^{(2)} (T) = \sum_{k} & [(\frac{- V_{m k} V_{k n}}{E_{k} - E_{n} + ℏ ω}) {\frac{1 - e^{i (ω_{m n} + 2 ω) T}}{E_{m} - E_{n} + 2 ℏ ω} - \frac{1 - e^{i (ω_{m k} + ω) T}}{E_{m} - E_{k} + ℏ ω}} \\ + (\frac{- V_{m k} V_{k n}}{E_{k} - E_{n} + ℏ ω}) {\frac{1 - e^{i ω_{m n} T}}{E_{m} - E_{n}} - \frac{1 - e^{i (ω_{m k} - ω) T}}{E_{m} - E_{k} - ℏ ω}} \\ + (\frac{- V_{m k} V_{k n}}{E_{k} - E_{n} - ℏ ω}) {\frac{1 - e^{i ω_{m n} T}}{E_{m} - E_{n}} - \frac{1 - e^{i (ω_{m k} + ω) T}}{E_{m} - E_{k} + ℏ ω}} \\ (7) & + (\frac{- V_{m k} V_{k n}}{E_{k} - E_{n} - ℏ ω}) {\frac{1 - e^{i (ω_{m n} - 2 ω) T}}{E_{m} - E_{n} - 2 ℏ ω} - \frac{1 - e^{i (ω_{m k} - ω) T}}{E_{m} - E_{k} - ℏ ω}}] \end{aligned}

従って, この場合の2次までの摂動展開は, 問題 6-24 の結果も用いることで次となる：

\begin{aligned} c_{m}^{(0)} (T) & = δ_{m n}, \\ c_{m}^{(1)} (T) & = V_{m n} \frac{1 - e^{i (ω_{m n} + ω) T}}{E_{m} - E_{n} + ℏ ω} + V_{m n} \frac{1 - e^{i (ω_{m n} - ω) T}}{E_{m} - E_{n} - ℏ ω}, \\ c_{m}^{(2)} (T) & = \sum_{k} [(\frac{- V_{m k} V_{k n}}{E_{k} - E_{n} + ℏ ω}) {\frac{1 - e^{i (ω_{m n} + 2 ω) T}}{E_{m} - E_{n} + 2 ℏ ω} - \frac{1 - e^{i (ω_{m k} + ω) T}}{E_{m} - E_{k} + ℏ ω}} \\ + (\frac{- V_{m k} V_{k n}}{E_{k} - E_{n} + ℏ ω}) {\frac{1 - e^{i ω_{m n} T}}{E_{m} - E_{n}} - \frac{1 - e^{i (ω_{m k} - ω) T}}{E_{m} - E_{k} - ℏ ω}} \\ + (\frac{- V_{m k} V_{k n}}{E_{k} - E_{n} - ℏ ω}) {\frac{1 - e^{i ω_{m n} T}}{E_{m} - E_{n}} - \frac{1 - e^{i (ω_{m k} + ω) T}}{E_{m} - E_{k} + ℏ ω}} \\ (8) & + (\frac{- V_{m k} V_{k n}}{E_{k} - E_{n} - ℏ ω}) {\frac{1 - e^{i (ω_{m n} - 2 ω) T}}{E_{m} - E_{n} - 2 ℏ ω} - \frac{1 - e^{i (ω_{m k} - ω) T}}{E_{m} - E_{k} - ℏ ω}}] \end{aligned}

【参考】参考のために, 「遷移率」も考えてみよう．ここでは注目している特定の状態 $n$ と $m$ に対して $V_{m n} = 0$ であるような問題を考える．すると1次の項まではゼロであり, 遷移振幅の計算に入って来る最低次の項は 2次である．上式 (6) の鍵カッコ内の各項は式 (6-98) の各項に似た形をしている．よって同様な議論が出来るであろう．よって, このときの遷移率 $w_{n \to m}^{(2)}$ は次のようになると推量される(?)：

\begin{aligned} w_{n \to m}^{(2)} & = \frac{2 π}{ℏ} {| M_{n \to m}^{(1)} |}^{2} [δ (E_{m} - E_{n}) + δ (E_{m} - E_{n} + 2 ℏ ω)] \\ (9) & + \frac{2 π}{ℏ} \sum_{k} {| M_{n \to m}^{(2)} |}^{2} [δ (E_{m} - E_{n}) + δ (E_{m} - E_{n} - 2 ℏ ω)] \end{aligned}

ただし各々の遷移の行列要素は次とした：

\begin{matrix} (10) & M_{n \to m}^{(1)} = \sum_{k} \frac{- V_{m k} V_{k n}}{E_{k} - E_{n} + ℏ ω - i ε}, M_{n \to m}^{(2)} = \frac{- V_{m k} V_{k n}}{E_{k} - E_{n} - ℏ ω - i ε} \end{matrix}

[ 式 (9) と式 (10) はあくまでも類推したに過ぎないので非常に怪しい!．後で検討を要するものである．]

月	火	水	木	金	土	日
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31