問題 7-14 の解答例

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Problem 7-14
Show that the transition element of ${\displaystyle m\left(\frac{x_{k+1}-x_k}{\epsilon }\right)f(x_{k+1})}$ is equivalent to that of $(f\cdot p)$.
( 注意 )　原書の問題文では「transition amplitude」となっている．しかし,ここは「transition element」であろうと思うので修正した．

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( 解答 )　 $(m/\epsilon )(x_{k+1}-x_k)$ は, 式 (7-72) より時刻 $t_k$ に於ける運動量 $p_k$ である．また $f(x_{k+1})$ は, 時刻 $t_{k+1}$ に於けるオブザーバブルと考えられる．すると $(m/\epsilon )(x_{k+1}-x_k)f(x_{k+1})$ は時間が連続した一連の量 $p_{k}f(x_{k+1})$ と見做せる．従って, 問題文の前に書かれている本文の規則から,「この量の遷移要素の積分的な定義は, それに相当する演算子 $\hat{p}$ 及び $\hat{f}$ を時間順序に従って右から左へ書いて行けば良い」．よって $⟨\hat{f}\hat{p}⟩$ となる：

この結論の式 (1) を, 式 (7-96) を導いた本文の記述と同じ手順でも求めて見よう．
式 (7-91) の $F$ の代わりに $F=(m/\epsilon )(x_{k+1}-x_k)f(x_{k+1})$ を用いる．この $F$ の遷移要素は,

ただし $x_{k+1}$ と $f(x_{k+1})$ は交換可能, また, $x_k$ と $f(x_{k+1})$ も交換可能であると見做せることを利用して,「時間順に並び替えておく」ことに注意する．
式 (1) の右辺の各項を展開して行く．まず第 1 項は, $x=x_{k+1}$ , $y=x_k$ , $t=t_k$ とすると,

ここで, 式 (3-42) を利用すると,

また,

と出来る．従って, 式 (2) は次となる：

次に第 2 項を展開すると,

このとき $g(y,t)\equiv y\psi (y,t)$ とすると, 式 (3-42) を利用して次とすることが肝要である：

$$\begin{array}{rl}\int dyK(x,t+\epsilon ;y,t)y\psi (y,t)& =\int dyK(x,t+\epsilon ;y,t)g(y,t)=g(x,t+\epsilon )\\ \text{(7)}& & =(1-\frac{i\epsilon }{\hslash }H)x\psi (x,t)\end{array}$$

もしこれを次のように考えてしまうと, うまく結果を導くことが出来ないようなので注意する：

$$\begin{array}{rl}\int dyK(x,t+\epsilon ;y,t)y\psi (y,t)& =\int dyK(x,t+\epsilon ;y,t)g(y,t)=g(x,t+\epsilon )\\ & =x\psi (x,t+\epsilon )=x(1-\frac{i\epsilon }{\hslash }H)\psi (x,t)\end{array}$$

式 (7) を式 (6) に用いると,

$\psi (x)=\psi (x,t)$ 及び ${\chi }^{\ast }(x,t)={\chi }^{\ast }(x)$ と略記する．すると, 式 (1) は式 (5) と式 (8) から次となる：

ここで, 式 (4-23) より ${\displaystyle Hx-xH=-\frac{{\hslash }^2}{m}\frac{\partial }{\partial x}}$, また, ${\displaystyle \frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}}$ は運動量演算子 $\hat{p}$ であった．よって, 式 (9) は

すなわち $(m/\epsilon )(x_{k+1}-x_k)f(x_{k+1})$ の遷移要素は $\hat{f}(x)\hat{p}$ の遷移要素に等価であることが示された．