「遷移要素」は「”遷移” 行列の”要素”」の一般化だ ! ?

第７章は, その表題が示す通り,「遷移要素」について述べている章である．しかし, この「遷移要素」は一般の量子力学の教科書にはあまり書かれていない量で, 少し分かりづらいと感じるものであった．そこで, 遷移振幅を第４章の§ 4-2 の説明に従ってもう一度考えて見る．また,「遷移要素」は第６章の式 (6-71) で定義される「行列要素」, または L. Schiff の§ 37 に書かれている「遷移行列」或いは「T-行列」の要素に相当することを見て行こう．

【 A 】第４章の §4-2 時間に依存しないハミルトニアンの説明に従って, この遷移振幅を考えて見る．
波動関数 $f (x)$ を定常状態関数の1次結合として表わす：

\begin{matrix} (4-48) & f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ϕ_{n} (x) \end{matrix}

この係数

a_{n}

は一般に「確率振幅」と呼ばれる．それは, 次のようにして容易に求めることが出来る：

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} d x ϕ_{m}^{*} (x) f (x) & = \int_{- \infty}^{\infty} d x ϕ_{m}^{*} (x) \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ϕ_{n} (x) \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \int_{- \infty}^{\infty} d x ϕ_{m}^{*} (x) ϕ_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} δ_{m, n} = a_{m}, \\ (4-50) & therefore a_{n} & = \int_{- \infty}^{\infty} d x ϕ_{n}^{*} (x) f (x) \end{aligned}

f (x)

が時刻

t_{1}

に於いて知られている波動関数である場合に, 時刻

t_{2}

に於ける波動関数はどうなるかを考えてみる．任意の時刻

t

に於ける波動関数は, シュレディンガー方程式の任意解として

\begin{matrix} (4-53) & ψ (x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} e^{- i E_{n} t / ℏ} ϕ_{n} (x) \end{matrix}

と表される．従って, 時刻

t_{1}

に於ける波動関数は次となる：

\begin{matrix} (4-54) & f (x) = ψ (x, t_{1}) = \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} e^{- i E_{n} t_{1} / ℏ} ϕ_{n} (x) \equiv \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ϕ_{n} (x) \end{matrix}

このとき

c_{n}

は

\begin{matrix} (4-55) & c_{n} = a_{n} e^{i E_{n} t_{1} / ℏ} \end{matrix}

従って, 時刻

t_{2}

に於ける波動関数

ψ (x, t_{2})

は次となる：

\begin{aligned} ψ (x, t_{2}) & = \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} e^{- i E_{n} t_{2} / ℏ} ϕ_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} e^{i E_{n} t_{1} / ℏ} e^{- i E_{n} t_{2} / ℏ} ϕ_{n} (x) \\ (4-56) & = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} e^{- i E_{n} (t_{2} - t_{1}) / ℏ} ϕ_{n} (x) \end{aligned}

更に,

a_{n}

として式 (4-50) を用いるならば次となる：

\begin{aligned} ψ (x, t_{2}) & = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} e^{i E_{n} t_{1} / ℏ} e^{- i E_{n} t_{2} / ℏ} ϕ_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} (\int_{- \infty}^{\infty} d y ϕ_{n}^{*} (y) f (y)) e^{- i E_{n} (t_{2} - t_{1}) / ℏ} ϕ_{n} (x) \\ = \int_{- \infty}^{\infty} d y {\sum_{n = 1}^{\infty} ϕ_{n} (x) ϕ_{n}^{*} (y) e^{- i E_{n} (t_{2} - t_{1}) / ℏ}} f (y) \\ (4-58) & \equiv \int_{- \infty}^{\infty} d y K (x, t_{2}; y, t_{1}) f (y) \end{aligned}

ただし核

K (x, t_{2}; y, t_{1})

は次である：

\begin{aligned} (4-59) & K (x, t_{2}; y, t_{1}) & = \sum_{n = 1}^{\infty} ϕ_{n} (x) ϕ_{n}^{*} (y) e^{- i E_{n} (t_{2} - t_{1}) / ℏ}, where t_{2} > t_{1} \\ = 0, otherwise \end{aligned}

以上を元に,「始状態

ψ

および終状態

χ

が, 次式のような “エネルギー固有関数を重ね合わせた一般的な状態” とした場合に, 遷移振幅

⟨ χ | 1 | ψ ⟩

がどう表されるか」を調べてみる：

\begin{aligned} ψ (x_{1}, t_{1}) & = \sum_{n} a_{n} ϕ_{n} (x_{1}) = \sum_{n} c_{n} e^{- i E_{n} t_{1} / ℏ} ϕ_{n} (x_{1}), c_{n} = a_{n} e^{i E_{n} t_{1} / ℏ} \\ (1) & χ (x_{2}, t_{2}) & = \sum_{m} b_{m} ϕ_{m} (x_{2}) = \sum_{m} d_{m} e^{- i E_{m} t_{2} / ℏ} ϕ_{m} (x_{2}), d_{m}^{*} = b_{m}^{*} e^{- i E_{m} t_{2} / ℏ} \end{aligned}

核

K (2, 1)

として上式 (4-59) を用いると,

\begin{aligned} ⟨ χ | 1 | ψ ⟩ & = \int_{- \infty}^{\infty} d x_{2} χ^{*} (x_{2}, t_{2}) ψ (x_{2}, t_{2}) \\ = \int_{- \infty}^{\infty} d x_{2} \int_{- \infty}^{\infty} d x_{1} χ^{*} (x_{2}, t_{2}) K (2, 1) ψ (x_{1}, t_{1}) \\ = \int_{- \infty}^{\infty} d x_{2} \int_{- \infty}^{\infty} d x_{1} (\sum_{m} d_{m}^{*} e^{i E_{m} t_{2} / ℏ} ϕ_{m}^{*} (x_{2})) (\sum_{k = 1}^{\infty} ϕ_{k} (x_{2}) ϕ_{k}^{*} (x_{1}) e^{- i E_{k} (t_{2} - t_{1}) / ℏ}) \\ \times (\sum_{n} c_{n} e^{- i E_{n} t_{1} / ℏ} ϕ_{n} (x_{1})) \\ = \sum_{m} \sum_{n} \sum_{k} d_{m}^{*} c_{n} e^{i E_{m} t_{2} / ℏ} e^{- i E_{k} (t_{2} - t_{1}) / ℏ} e^{- i E_{n} t_{1} / ℏ} \\ \times \int d x_{2} ϕ_{m}^{*} (x_{2}) ϕ_{k} (x_{2}) \int d x_{1} ϕ_{k}^{*} ϕ_{n} (x_{1}) \\ = \sum_{m} \sum_{n} \sum_{k} d_{m}^{*} c_{n} e^{i E_{m} t_{2} / ℏ} e^{- i E_{k} (t_{2} - t_{1}) / ℏ} e^{- i E_{n} t_{1} / ℏ} δ_{m k} δ_{k n} \\ (2) & = \sum_{k} d_{k}^{*} c_{k} = \sum_{k} b_{k}^{*} a_{k} e^{- i E_{k} (t_{2} - t_{1}) / ℏ} \end{aligned}

この結果は, 遷移振幅を数学的に表現するならば,「状態ベクトル

| ψ ⟩

と特性関数または状態ベクトル

| χ ⟩

との内積である」ことを示している：

\begin{aligned} ⟨ χ | ψ ⟩ & = ⟨ χ | 1 | ψ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} d x_{2} χ^{*} (x_{2}) ψ (x_{2}) = \sum_{k} d_{k}^{*} c_{k} = \sum_{k} b_{k}^{*} a_{k} e^{- i E_{k} (t_{2} - t_{1}) / ℏ} \\ = d_{1}^{*} c_{1} + d_{2}^{*} c_{2} + \dots + d_{n} c_{n} + \dots \\ (3) & = b_{1}^{*} a_{1} e^{- i E_{1} (t_{2} - t_{1}) / ℏ} + b_{2}^{*} a_{2} e^{- i E_{2} (t_{2} - t_{1}) / ℏ} + \dots + b_{n}^{*} a_{n} e^{- i E_{n} (t_{2} - t_{1}) / ℏ} + \dots \end{aligned}

また, 特別な場合として問題 6-15 の「始状態と終状態が共に特定なエネルギー固有状態

ϕ_{m} (x)

と

ϕ_{n} (x)

である場合」の遷移振幅

λ_{m n}

は, 上式で

a_{n} = 1, b_{m} = 1

とすればよく, その結果はゼロ次の

λ_{m n}

となる：

⟨ ϕ_{m} | 1 | ϕ_{n} ⟩ = δ_{m n} e^{- i E_{n} (t_{2} - t_{1}) / ℏ} = λ_{m n}^{(0)}

【 B 】ある物理量 $\hat{F}$ の行列要素は次で表わすことが出来た：

\begin{matrix} (a) & F_{i j} = ⟨ ψ_{i} | F | ψ_{j} ⟩ \equiv \int d q ψ_{i}^{*} (q) \hat{F} ψ_{j} (q) \end{matrix}

また, 状態

| a^{‘} ⟩

から状態

| b^{‘} ⟩

へ移行する「遷移振幅」, すなわち, ある物理系が始状態 1 で観測量

A

の固有値

a^{‘}

の固有状態にあり, 終状態 2 で観測量

B

の固有値

b^{‘}

の固有状態にある確率振幅は, 時間発展演算子を

U

として次で表された：

\begin{matrix} (b) & ⟨ b^{'} | U (t_{2}, t_{1}) | a^{'} ⟩ = {\begin{cases} ⟨ b^{'} | a^{'}, t_{2} ⟩ = \underset{basic bra}{\underset{⏟}{⟨ b^{'} |}} \cdot \underset{state ket}{\underset{⏟}{U (t_{2}, t_{1}) | a^{'} ⟩}} & ： Schrödinger 表示 \\ ⟨ b^{'}, t_{2} | a^{'} ⟩ = \underset{basic bra}{\underset{⏟}{⟨ b^{'} | U (t_{2}, t_{1})}} \cdot \underset{state ket}{\underset{⏟}{| a^{'} ⟩}} & ： Heisenberg 表示 \end{cases} \end{matrix}

ただし, ハイゼンベルク表示のブラ

⟨ b^{'}, t_{2} |

は, 時間を “逆向きに” 動いて行って, 時刻

t_{1}

に戻ったときに

| b^{'}, t_{1} ⟩

となるケット

| b^{'}, t_{2} ⟩

に対応するブラである：

| b^{'}, t_{1} ⟩ = U (t_{1}, t_{2}) | b^{'}, t_{2} ⟩ = U^{- 1} (t_{2}, t_{1}) | b^{'}, t_{2} ⟩ = U^{†} (t_{2}, t_{1}) \cdot U (t_{2}, t_{1}) | b^{'}, t_{1} ⟩

さらに終状態の波動関数

ψ (x_{2}, t_{2})

は, プロパゲーター

K (2, 1)

を用いて次で表せた：

\begin{matrix} (c) & ψ (x_{2}, t_{2}) = \int d x_{1} K (x_{2}, t_{2}; x_{1}, t_{1}) ψ (x_{1}, t_{1}) \end{matrix}

従って, 始状態で

ψ

にある系が, 時刻

t_{2}

で状態

χ (x_{2})

に存在する「遷移振幅」は,

\begin{aligned} ⟨ χ (x_{2}) | ψ (x_{2}) ⟩ & = ⟨ χ (x_{2}) | U (2, 1) | ψ (x_{1}) ⟩ = ⟨ χ | U (2, 1) | ψ ⟩ \\ = ⟨ χ | 1 | ψ ⟩ = \iint d x_{2} d x_{1} χ^{*} (x_{2}) K (2, 1) ψ (x_{1}) \\ (d) & = \iint d x_{2} d x_{1} χ^{*} (x_{2}) \int_{1}^{2} D x (t) e^{i S [2, 1] / ℏ} ψ (x_{1}) \end{aligned}

このとき, プロパゲーター

K (2, 1)

は作用積分

S

を伴う経路積分で表わすことを考えるのであった．そこで, 以上の式 (a) と式 (d) を踏まえて「物理量

F

の遷移行列要素」は次で表わすとしたのであろう：

\begin{matrix} (e) & ⟨ F ⟩_{S} \equiv ⟨ χ | F | ψ ⟩_{S} = \int d x_{2} \int d x_{1} χ^{*} (x_{2}) \int_{x_{1}}^{x_{2}} D x (t) F [x (t)] e^{i S / ℏ} ψ (x_{1}) \end{matrix}

これを「ディラック流の表現」で言うならば, 次のようになるであろう．

$⟨ χ |$ 及び $| ψ ⟩$ が「基礎ブラ」及び「基礎ケット」である場合には, この遷移要素 $⟨ F ⟩$ は「1次演算子または力学変数 $F$ の”代表 (representative)”」すなわち「1次演算子 $F$ の行列要素」と言える：

$\begin{aligned} ⟨ F ⟩_{S} = ⟨ χ | F | ψ ⟩ & = ⟨ χ | \int d x_{2} | x_{2} ⟩ ⟨ x_{2} | F \int d x_{1} | x_{1} ⟩ ⟨ x_{1} | ψ ⟩ \\ = \int d x_{2} \int d x_{1} ⟨ χ | x_{2} ⟩ ⟨ x_{2} | F | x_{1} ⟩ ⟨ x_{1} | ψ ⟩ \\ (f) & = \int d x_{2} \int d x_{1} χ^{*} (x_{2}) ⟨ x_{2} | F | x_{1} ⟩ ψ (x_{1}) \end{aligned}$

式 (e) と式 (f) との比較から, 力学変数 $F$ の「位置ケットによる代表」を経路積分で表わすと, 次のようになると言えるだろう：

\begin{matrix} (g) & ⟨ x_{2} | F | x_{1} ⟩ = \int_{x_{1}}^{x_{2}} D x (t) F [x (t)] e^{i S / ℏ} \end{matrix}

【 C 】「遷移要素 $⟨ χ | F | ψ ⟩$ は $F$ の行列要素である」ことは, 後の本文中にある式 (7-13) からも言えることである：

\begin{aligned} (7-13) & ⟨ χ | \int d t V [x (t), t] | ψ ⟩_{S_{0}} = \int d x_{3} \int d t_{3} χ^{*} (3) V (3) ψ (3) \\ \to ⟨ χ | V [x (t), t] | ψ ⟩_{S_{0}} = \int d x_{3} χ^{*} (3) V (3) ψ (3) \end{aligned}

従って, 遷移要素

⟨ χ | F | ψ ⟩

は, 式 (6-71) で定義される「状態

χ = ϕ_{m}

と状態

ψ = ϕ_{n}

の間の

F

の行列要素

F_{m n}

」であると言える：

\begin{aligned} ⟨ χ | F | ψ ⟩ & = F_{χ ψ} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} d x χ^{*} (x) F [x (t), t] ψ (x) \\ = F_{m n} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} d x ϕ_{m}^{*} (x) F (x, t) ϕ_{n} (x) \end{aligned}

ファインマンは, 1948年の論文：「Space-time Approach to Non-relativistic Quantum Mechanics」の中で次のように述べている：

ここでは２つの状態間の「遷移要素」と呼ばれる量を定義する．これは本質的には行列要素である．しかし, 行列要素では状態 $ψ$ と「同じ時間」の別の状態 $χ$ を考えるが, 遷移要素の２つの状態は「異なる時間」に属するものとする．

$\cdot \cdot \cdot$

$F$ を $t^{'} < t_{i} < t^{″}$ に於ける座標 $x_{i}$ の任意関数とすると, 作用 $S$ で $x^{″} \equiv x_{j}, x^{'} \equiv x_{0}$ としたとき, $t^{'}$ に於ける状態 $ψ$ と $t^{″}$ に於ける状態 $χ$ の間の「遷移要素」 $F$ を次式で定義する：
$\begin{aligned} ⟨ χ_{t^{″}} | F | ψ_{t^{'}} ⟩ & = lim_{ε \to 0} \int \dots \int χ^{*} (x^{″}, t^{″}) F (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{i}) \\ (39) & \times \exp [\frac{i}{ℏ} \sum_{i = 0}^{j - 1} S (x_{i + 1}, x_{i})] ψ (x^{'}, t^{'}) \frac{d x_{0}}{A} \dots \frac{d x_{j - 1}}{A} d x_{j} . \end{aligned}$
極限 $ε \to 0$ をとったとき, $F$ は経路 $x (t)$ の汎関数となる．なぜこのような量が重要なのか, をこれから確かめて行く．ちょっと立ち止まって, その量が従来の表記法では何に相当するのかを知ると, より理解しやすくなるだろう． $F$ が単に $x_{k}$ であるとしよう．ただし $k$ はある時間 $t = t_{k}$ に相当している．すると式 (39) の右辺で $x_{0}$ から $x_{k - 1}$ までの積分を実行すると $ψ (x_{k}, t)$ または $\exp [- i (t - t^{'}) H / ℏ] ψ_{t^{'}}$ が得られる．同様にして, $j \geq i > k$ の $x_{i}$ 上の積分は $χ^{*} (x_{k}, t)$ または
${\exp [- i (t ” - t) H / ℏ] χ_{t ”}}^{*}$ を与える．従って $x_{k}$ の遷移要素は,

$\begin{aligned} ⟨ χ_{t ”} | F | ψ_{t^{'}} ⟩_{S} & = \int χ^{*} e^{i H (t ” - t) / ℏ} x e^{- i H (t - t^{'}) / ℏ} ψ_{t^{'}} d x \\ (40) & = \int χ^{*} (x, t) x ψ (x, t) d x \end{aligned}$

であり, これは時刻 $t^{'}$ で $ψ_{t^{'}}$ の状態から発展した時刻 $t$ での状態と, 時刻 $t ”$ で $χ_{t ”}$ の状態から発展した時刻 $t$ での状態との間の, 時刻 $t = t_{k}$ に於ける $x$ の行列要素である．従って, これはそれらの状態間の $x (t)$ の行列要素である．
同様にして, $F = x_{k + 1}$ とした式 (39) によれば, $x_{k + 1}$ の遷移要素は $x (t + ε)$ の行列要素となる． $F = (x_{k + 1} - x_{k}) / ε$ の遷移要素は, 式 (40) から容易に示されるように, $(x (t + ε) - x (t)) / ε$ または $i (H x - x H) / ℏ$ の行列要素である．これは「速度 $\dot{x} (t)$ の行列要素」と呼ぶことが出来る．
例えば, ポテンシャルが少量の $U (x, t)$ によって増強されるなど, 最初の問題とは異なる第2の問題を考えるとしよう．すると, 新しい問題では $S$ は $S^{'} = S + \sum_{i} ε U (x_{i}, t_{i})$ に置き換えられる．式 (38) に代入すると, すぐに次式が得られる：

$\begin{aligned} ⟨ χ_{t ”} | 1 | ψ_{t^{'}} ⟩_{S^{'}} & = {⟨ χ_{t ”} | \exp (\frac{i}{ℏ} \sum_{i} ε U (x_{i}, t_{i})) | ψ_{t^{'}} ⟩}_{S} \\ (41) & = {⟨ χ_{t ”} | \exp (\frac{i ε}{ℏ} \sum_{i = 1}^{j} U (x_{i}, t_{i})) | ψ_{t^{'}} ⟩}_{S} \end{aligned}$

従って $F$ が作用表現の変化 $δ S$ から何らかの形で生じる可能性がある限り, 式 (39) のような遷移要素は重要である．

【 D 】或いは, L. Schiff § 37 の「遷移行列」( transition matrix ) あるいは「T-行列」( T-matrix ) の要素であるとも言えよう．まず「散乱行列」あるいは「S行列」の行列要素が, 「遅延グリーン関数」または「プロパゲーター」を $G^{+}$ として, 次式で定義される：