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Problem 8-6
Show that the constants \(a_{j\alpha}\) are the same even if the coupling is not just to the nearest neighbors but extends with strengths \(\lambda_k\) to atoms \(k\) spaces away. Assuming \(\lambda_k\) falls rapidly enough for large \(k\), find the values of the frequency \(\omega_\alpha\) when such a coupling is present, i.e., when the potential energy, instead of being given by Eq. (8-66), is given by a similar equation, but one which contains the relative displacements of all pairs of atoms, each one multiplied by the appropriate \(\lambda_k\), that is,
\begin{equation}
V=\frac{\nu^{2}}{2}\sum_{j}\sum_{k} \lambda_k \big(q_{k+j}-q_j\big)^{2}
\end{equation}
V=\frac{\nu^{2}}{2}\sum_{j}\sum_{k} \lambda_k \big(q_{k+j}-q_j\big)^{2}
\end{equation}
( 解答 ) この問題に類似したものが, アシュクロフト・マーミン：「個体物理の基礎」第22章の演習問題１ に存在し, そこに示されている「分散関係」は次のようになっている：
\begin{equation}
\omega=2\sqrt{\sum_{m>0} \frac{K_m}{M}\sin^{2}\frac{mka}{2}}
\tag{1}
\end{equation}
\omega=2\sqrt{\sum_{m>0} \frac{K_m}{M}\sin^{2}\frac{mka}{2}}
\tag{1}
\end{equation}
まず, この場合の式 (8-67) に相当するラグランジアンは次となる：
\begin{equation}
L=T-V=\sum_{j=1}^{N}\frac{1}{2}\dot{q}_j^{2}-\frac{\nu^{2}}{2}\sum_{j=1}^{N}\sum_{k=1}^{M}
\lambda_k(q_{j+k}-q_j)^{2}
\tag{2}
\end{equation}
L=T-V=\sum_{j=1}^{N}\frac{1}{2}\dot{q}_j^{2}-\frac{\nu^{2}}{2}\sum_{j=1}^{N}\sum_{k=1}^{M}
\lambda_k(q_{j+k}-q_j)^{2}
\tag{2}
\end{equation}
このとき, \( k \) の範囲は \( M \) 個までとしよう．ただし \( M < N/2 \) である．すると,
\begin{equation}
\def\pdiff#1{\frac{\partial}{\partial #1}}
\def\ppdiff#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
p_l=\ppdiff{L}{\dot{q}_l}=\pdiff{\dot{q}_l}\left(\sum_{j=1}^{N}\frac{1}{2}\dot{q}_j^{2}\right)=\dot{q}_l
\tag{3}
\end{equation}
また, ラグランジュの運動方程式から,
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\ppdiff{L}{\dot{q}_l}-\ppdiff{L}{q_l}=0\quad \rightarrow\quad
\dot{p}_l=\frac{d}{dt}\left(\ppdiff{L}{\dot{q}_l}\right)=\ppdiff{L}{q_l}
\tag{4}
\end{equation}
式 (3) と式 (4) とから,
\begin{align}
\dot{p}_l &=\ddot{q}_l=\ppdiff{L}{q_l}
=\pdiff{q_l}\left\{-\frac{\nu^{2}}{2}\sum_j\sum_k \lambda_k(q_{j+k}-q_j)^{2}\right\}\notag\\
&=-\frac{\nu^{2}}{2}\sum_j\sum_k \lambda_k\pdiff{q_l}\left(q_{j+k}^{\,2}-2q_{j+k}q_j+q_j^{\,2}\right)\notag\\
&=-\frac{\nu^{2}}{2}\sum_{j=1}^{N}\sum_{k=1}^{M} \lambda_k\left\{2q_{j+k}\,\delta_{j+k,\,l}
-2q_j\,\delta_{j+k,\,l}-2q_{j+k}\,\delta_{j,\,l}+2q_j\,\delta_{j,\,l}\right\}
\tag{5}
\end{align}
従って, 式 (8-68) に相当する式として次が得られる：
\begin{align}
\dot{p}_l=\ddot{q}_l&=-\nu^{2}\sum_k\lambda_k\,q_l+\nu^{2}\sum_k\lambda_k\,q_{l-k}+\nu^{2}
\sum_k\lambda_k\,q_{l+k} -\nu^{2}\sum_k\lambda_k\,q_l\notag\\
&=\nu^{2}\sum_k\lambda_k\,(q_{l-k}-q_l)+\nu^{2}\sum_k\lambda_k\,(q_{l+k}-q_l)\notag\\
\rightarrow\quad \ddot{q}_l&=\nu^{2}\sum_k\lambda_k\,\left[(q_{l+k}-q_l)-(q_l-q_{l-k})\right]
=\nu^{2}\sum_{k=1}^{M}\lambda_k\,\left(q_{l+k}-2q_l+q_{l-k}\right)
\tag{6}
\end{align}
すると, 式 (8-70) に相当する式は次となる：
\begin{equation}
\ddot{q}_j=-\omega^{2}q_j=\nu^{2}\sum_{k=1}^{M}\lambda_k\,\left(q_{j+k}-2q_j+q_{j-k}\right)
\tag{7}
\end{equation}
この方程式 (7) の解は, 静止しているときの原子間隔を \( b \) として式 (8-71) を多少修正したものとしよう．
すると, \( j \) 番目原子の平衡位置からの変位 \(q_j\) は次となる：
\begin{align}
q_j&=A\,e^{i(Kbj-\omega t)}=A\,e^{iKbj}\,e^{-i\omega t}\equiv a_j\,e^{-i\omega t}
\tag{8}\\
\rightarrow\quad q_{j+k}&=A\,e^{i(Kbj+Kbk-\omega t)}=e^{iKbk}q_j,\quad q_{j-k}=A\,e^{i(Kbj-Kbk-\omega t)}=e^{-iKbk}q_j
\end{align}
式 (8) を式 (7) に代入すると,
\begin{align*}
-\omega^{2}q_j&=\nu^{2}\sum_{k=1}^{M}\lambda_l\,\left(q_{j+k}-2q_j+q_{j-k}\right)
=\nu^{2}\sum_k \lambda_k\,\left(e^{iKbk}q_j-2q_j+e^{-iKbk}q_j\right)\\
&=\nu^{2}q_j\sum_k \lambda_k\,\left(e^{iKbk}-2+e^{-iKbk}\right)
\end{align*}
従って, \(\omega\) が満たすべき式として次が得られる：
\begin{align}
\omega^{2}&=-\nu^{2}\sum_k \lambda_k\,\left(e^{iKbk}-2+e^{-iKbk}\right)
=4\nu^{2}\sum_{k=1}^{M} \lambda_k \sin^{2}\left(\frac{Kbk}{2}\right),
\tag{9}\\
\rightarrow\quad \omega&=2\nu\left| \sum_{k=1}^{M} \lambda_k \sin^{2}\left(\frac{Kbk}{2}\right)\right|^{1/2}
\tag{10}
\end{align}
この分散関係の概略 (ただし\(\lambda_1=1, \lambda_2=1/2, \lambda_3=1/4\) とした場合) を図示すると次の図 1 のようになる．また, アシュクロフト・マーミンの第２４章に「中性子散乱によって測定したアルミニウムのフォノン分散関係」の図 24.2 があったので参考のために示しておく(図 2)：
図 1. \(M\) 番目まで隣接相互作用がある 1 次元鎖の分散関係．ただし\(\lambda_1=1, \lambda_2=0.5, \lambda_3=0.25\) ．
図 2. 中性子散乱によって測定したアルミニウムのフォノン分散関係 (アシュクロフト・マーミン：「個体物理の基礎」による)．
この式 (10) は, 以下のように置き換えるならば, アシュクロフト・マーミンに与えられている式 (1) に相当したものになっている!：
\begin{equation*}
k\to m,\quad K\to k,\quad b\to a, \quad \nu^{2}\lambda_k\to \frac{K_m}{M}
\end{equation*}
k\to m,\quad K\to k,\quad b\to a, \quad \nu^{2}\lambda_k\to \frac{K_m}{M}
\end{equation*}
更に, ここでは周期的境界条件： \(q_{j+N}=q_j\) から, 式 (9) の \(K\) の値は \(K=2\pi\alpha/Nb\) だけが許される．従って, \(\omega_\alpha\) についての式は,
\begin{equation}
\omega_\alpha^{\,2}=4\nu^{2}\sum_{k=1}^{M} \lambda_k\sin^{2}\left(\frac{bk}{2}\cdot\frac{2\pi\alpha}{Nb}\right)
=4\nu^{2}\sum_{k=1}^{M} \lambda_k\sin^{2}\left(\frac{\pi k}{N}\alpha\right)
\tag{11}
\end{equation}
\omega_\alpha^{\,2}=4\nu^{2}\sum_{k=1}^{M} \lambda_k\sin^{2}\left(\frac{bk}{2}\cdot\frac{2\pi\alpha}{Nb}\right)
=4\nu^{2}\sum_{k=1}^{M} \lambda_k\sin^{2}\left(\frac{\pi k}{N}\alpha\right)
\tag{11}
\end{equation}
よって, 式 (10) は次のように書くことが出来る：
\begin{equation}
\omega_\alpha =2\nu\left|\,\sum_{k=1}^{M}\lambda_k\sin^{2}\left(\frac{\pi k}{N}\,\alpha\right)\,\right|^{1/2},
\quad \text{where}\quad \alpha=0,1,2,\dotsb,(N-1)
\tag{12}
\end{equation}
\omega_\alpha =2\nu\left|\,\sum_{k=1}^{M}\lambda_k\sin^{2}\left(\frac{\pi k}{N}\,\alpha\right)\,\right|^{1/2},
\quad \text{where}\quad \alpha=0,1,2,\dotsb,(N-1)
\tag{12}
\end{equation}
更に, このときの振動数 \(\omega_\alpha\) に対する \(j\) 番目座標の振幅 \(a_{j\alpha}\) は, 式 (8-74) と同じ形で書けることに注意する：
\begin{equation}
a_{j\alpha}=A\,e^{iKbj}=A\,\exp\left(i\frac{2\pi\alpha}{Nb}bj\right)=A\,\exp\left(i\frac{2\pi}{N}j\alpha\right)
\tag{13}
\end{equation}
a_{j\alpha}=A\,e^{iKbj}=A\,\exp\left(i\frac{2\pi\alpha}{Nb}bj\right)=A\,\exp\left(i\frac{2\pi}{N}j\alpha\right)
\tag{13}
\end{equation}
