問題 9-5 の解答例

Problem 9-5
The momentum in the field is given by

\begin{matrix} (1) & P_{r a d} = \frac{1}{4 π c} \int E \times B d^{3} r \end{matrix}

In the absence of matter (so

ϕ_{k} = 0

), show this is

\begin{matrix} (2) & P_{r a d}^{'} = i \int k (a_{k}^{*} \cdot {\dot{a}}_{k}) \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \end{matrix}

( 解答 )　　 $E$ 及び $B$ の平面波展開 (フーリエ変換) は次となる：

\begin{matrix} (3) & E (r, t) = \int E_{k} (t) e^{i k \cdot r} \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}}, B (r, t) = \int B_{k} (t) e^{i k \cdot r} \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \end{matrix}

これを

E \times B

に用いると,

\begin{aligned} E \times B & = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} E_{k} e^{i k \cdot r} \times \int \frac{d^{3} k^{'}}{(2 π)^{3}} B_{k^{'}} e^{i k^{'} \cdot r} \\ (4) & = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \int \frac{d^{3} k^{'}}{(2 π)^{3}} E_{k} \times B_{k^{'}} e^{i (k + k^{'}) \cdot r} \end{aligned}

次に, 上式の展開係数の結果式を利用する．これは本文の式 (9-17) の前に記されており,

\begin{matrix} (5) & E_{k} = - i k ϕ_{k} - \sqrt{4 π} {\dot{a}}_{k}, B_{k^{'}} = \sqrt{4 π} c i (k^{'} \times a_{k^{'}}) \end{matrix}

ただし, この場合

ϕ_{k} = 0

である．すると, 上式 (4) 中の量

E_{k} \times B_{k^{'}}

は,

\begin{matrix} (6) & E_{k} \times B_{k^{'}} = (- \sqrt{4 π} {\dot{a}}_{k}) \times \sqrt{4 π} i c (k^{'} \times a_{k^{'}}) = - i 4 π c {\dot{a}}_{k} \times (k^{'} \times a_{k^{'}}), \end{matrix}

また, 次のデルタ関数の関係式も利用する：

\begin{matrix} (7) & \int_{- \infty}^{\infty} e^{i k \cdot (x - a)} d^{3} k = (2 π)^{3} δ^{3} (x - a) \end{matrix}

これらの式 (6) と式 (7) を用いると, 式 (1) は

\begin{aligned} P_{r a d} & = \frac{1}{4 π c} \int (E \times B) d^{3} r \\ = \frac{1}{4 π c} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \int \frac{d^{3} k^{'}}{(2 π)^{3}} (E_{k} \times B_{k^{'}}) \int e^{i (k + k^{'}) \cdot r} d^{3} r \\ = \frac{- i 4 π c}{4 π c} \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} \int \frac{d^{3} k^{'}}{(2 π)^{3}} {\dot{a}}_{k} \times (k^{'} \times a_{k^{'}}) \times (2 π)^{3} δ^{3} (k + k^{'}) \\ (8) & = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} (- i) {\dot{a}}_{k} \times {(- k) \times a_{- k}} = i \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} {\dot{a}}_{k} \times (k \times a_{- k}) \end{aligned}

さらに, ベクトル解析の公式

\begin{matrix} (9) & a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c \end{matrix}

を利用する．また, 式 (9-13) の時間微分により

k \cdot {\dot{a}}_{k} = 0

である．以上から, 式 (8) 中の被積分量

{\dot{a}}_{k} \times (k \times a_{- k})

は,

\begin{matrix} (10) & {\dot{a}}_{k} \times (k \times a_{- k}) = ({\dot{a}}_{k} \cdot a_{- k}) k - ({\dot{a}}_{k} \cdot k) a_{- k} = ({\dot{a}}_{k} \cdot a_{- k}) k \end{matrix}

すると式 (8) すなわち式 (1) は,

\begin{matrix} (11) & P_{r a d} = \frac{1}{4 π c} \int (E \times B) d^{3} r = i \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} {\dot{a}}_{k} \times (k \times a_{- k}) = i \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} ({\dot{a}}_{k} \cdot a_{- k}) k \end{matrix}

さらに,

a_{k}^{*} = a_{- k}

は明らかである．よって, 最終的に式 (2) が言える：

\begin{matrix} (12) & P_{r a d} = \frac{1}{4 π c} \int (E \times B) d^{3} r = i \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} ({\dot{a}}_{k} \cdot a_{k}^{*}) k \end{matrix}

References[+]

References
↑1	ベクトルポテンシャルを式 (9-14) のように平面波で展開すると $\begin{matrix} (13) & A = \sqrt{4 π} c \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} a_{k} (t) e^{i k \cdot r} \end{matrix}$ この複素共役は, $\begin{matrix} (14) & A^{} = \sqrt{4 π} c \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d^{3} k^{'}}{(2 π)^{3}} a_{k^{'}}^{} (t) e^{- i k^{'} \cdot r} \end{matrix}$ ベクトルポテンシャルは実数量であるから, このとき $A^{} = A$ となるべきである．そうなるのは $k^{'} = - k$ の場合である．なぜなら, 式(14) に於いて変数変換 $k^{'} = - k$ を行うと, $\begin{matrix} (15) & A^{} = \sqrt{4 π} c \int_{\infty}^{- \infty} \frac{- d^{3} k}{(2 π)^{3}} a_{- k}^{} (t) e^{- i (- k) \cdot r} = \sqrt{4 π} c \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3}} a_{- k}^{} (t) e^{i k \cdot r} \end{matrix}$ これが式 (13) の $A$ と一致するには $a_{- k}^{} (t) = a_{k} (t)$ が成り立つとき, すなわち $a_{k}^{} = a_{- k}$ のときである．