問題 9-8 の解答例

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Problem 9-8
For the state for which there is just one photon present in level $1\mathbf{k}$, all of the factors in the wave function are ${\varphi }_0$ except one, which is ${\varphi }_1$. But for an oscillator ${\displaystyle {\varphi }_1(x)=\sqrt{\frac{2m\omega }{\hslash }}x{\varphi }_0(x)}$. The wave function representing an excited running wave is a linear superposition of the state with the cosine mode excited and $i$ times the state with the sine wave excited, so show that the wave function for just one photon present in state $1\mathbf{k}$ is ${\Phi }_1=a_{1\mathbf{k}}^{\ast }{\Phi }_0$. This is not normalized. The normalization is $⟨{\Phi }_1|{\Phi }_1⟩=⟨{\mathrm{\Phi }}_0|a_{1\mathbf{k}}{a}_{1\mathbf{k}}^{\ast }|{\Phi }_0⟩$, or the expectation of $a_{1\mathbf{k}}{a}_{1\mathbf{k}}^{\ast }$ for a vacuum, which we have seen in the preceding problem is ${\displaystyle \frac{\hslash }{2kc}}$. Hence the normalized one-photon state is ${\displaystyle \sqrt{\frac{2kc}{\hslash }}{a}_{1\mathbf{k}}^{\ast }{\Phi }_0}$.

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( 解答 )　式 (8-17) と式 (8-19) および問題 8-4 の式 (5) から,

式 (1) の ${\varphi }_0(x)$ と式 (3) の ${\varphi }_{\alpha }$ との比較から, 次の対応関係になっていることが分かる：

ここでは問題に合わせて $x\to Q_{\alpha }^{\ast }$ とする．また式 (9-43) から「${\omega }_{\alpha }=kc$」である．すると, 振動子の ${\varphi }_1(x)$ に相当する基準座標の波動関数 ${\varphi }_1(Q_{\alpha })$ は, 同じ対応関係であるとして次に書けるであろう：

さて, 基底状態 ${\Phi }_0$ に於いてモード $\alpha$ の振動子だけが励起されて ${\varphi }_1(Q_{\alpha })$ となったときの系全体の状態を ${\Phi }_1$ としよう．式 (5) から ${\varphi }_1(Q_{\alpha })=A{Q}_{\alpha }^{\ast }{\varphi }_0(Q_{\alpha })$ なので, この励起状態 ${\Phi }_1$ は次のように表されるであろう：

この波動関数 ${\Phi }_1$ の規格化定数 $A$ を求めるには, 問題 8-5 の真空すなわち基底状態の遷移要素, つまり「期待値」： $⟨{\Phi }_0|Q_{\alpha }^{\ast }{Q}_{\alpha }|{\Phi }_0⟩$ を利用することが出来る：

または,

フォトンの場合,「基準座標 $Q_{\alpha }$ として $a_{1\mathbf{k}}$ を採用する」ことが出来るのであった．従って,「状態 $1\mathbf{k}$ にちょうど１個のフォトンが存在する規格化された$1$光子状態状態 ${\Phi }_1$」の規格化は, 「基底状態の波動関数 ${\Phi }_0$ は規格化されている」とするならば, 上式(7) や式 (8) より次のようにして求めることが出来る：

従って, 波動関数 ${\Phi }_1$ は, 式 (6) から次とすることが出来る：