量子力学的なゲージ変換

$$
R.Feynman:「Quantum Electrodynamics」の p.6 に次のような記述がある：

量子力学的なゲージ変換は古典的なゲージ変換を単純に拡張したものである ^[1]ファインマン原書のこの章にはだいぶ間違った式が見受けられる．ここの $\mathbf{E}$ の式も原書では … Continue reading　： もし,

$$\mathbf{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},\mathbf{B}=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{A}$$

そして$\chi$ を任意のスカラーとするならば, 次式を代入しても $\mathbf{E}$ と $\mathbf{B}$ は不変である：

$${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\mathrm{\nabla }\chi ,{\varphi }^{\prime }=\varphi +\frac{\partial \chi }{\partial t}$$

量子力学では, さらに次のような波動関数の変換が導入される：

$${\psi }^{\prime }=e^{-i\chi }\psi$$

このことを理解するために, I.J.R.エイチスン, A.J.G.ヘイ：「ゲージ理論入門」第2章の文章を補足や省略をして示しておこう．

2.3 Maxwell方程式とゲージ不変性

古典電磁気学のゲージ不変性の出発点は,与えられた物理的な場 $\mathbf{E}$ 及び $\mathbf{B}$ に対してポテンシャル $\mathbf{A}$ と $\varphi$ が唯一に決まらないという事実にある．$\mathbf{E},\varphi$ 従って Maxwell 方程式を変えないで $\mathbf{A},\varphi$ を変える変換を「ゲージ変換」と呼び, これに関連した Maxwell 方程式の不変性を「ゲージ不変性」という．

ではそれはどんな変換であろうか．明らかに任意関数 $\chi$ を用いて $\mathbf{A}$ を,

のように変更しても curl grad$=\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\equiv 0$ であるから $\mathbf{B}$ には何の変化も生じない：

$\mathbf{E}$ を元のようにしておくためには $\varphi$ が同時に,

のように変わらなければならない．なぜなら ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\frac{\partial \chi }{\partial t}=\frac{\partial \mathrm{\nabla }\chi }{\partial t}}$ に注意すれば,

変換 (2.11), (2.12) は, 4元ベクトルポテンシャル $A^{\mu }$ と 4元共変微分 ${\partial }^{\mu }$ を導入すれば一つの簡潔な方程式に書ける．

即ち, ゲージ変換 は次で表される：

Maxwell 方程式も 4元電流

を用いて相対論的不変性をあらわにした形に書くことが出来る．4元電流により「連続の方程式」は次となる：

最も重要な第4の方程式 (2.8) は, この連続の方程式で表現される局所的電荷保存の要求から Maxwell によって推論された．Maxwell 方程式 (2.1) と (2.8) は次となる：

ただし「電磁場テンソル」$F^{\mu \nu }$ は次で定義される ^[2]F.Mandl, G.Shaw : Quantum Field Theory, の § 5.1 に於ける場 … Continue reading ：

${\partial }^{\mu }{\partial }^{\nu }={\partial }^{\nu }{\partial }^{\mu }$ であることから, この$F^{\mu \nu }$ がゲージ変換

の下で不変なことは明らかである：
$$\begin{array}{rl}{F}^{\prime \mu \nu }& ={\partial }^{\mu }(A^{\nu }-{\partial }^{\nu }\chi )-{\partial }^{\nu }(A^{\mu }-{\partial }^{\mu }\chi )={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\mu }{\partial }^{\nu }\chi -{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }+{\partial }^{\nu }{\partial }^{\mu }\chi ={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }=F^{\mu \nu }\end{array}$$
従って, この形の Maxwell 方程式はあらわにゲージ不変である．

$A^{\mu }$ の満たす ”相対論的に共変な場の方程式” は, 式 (2.17) と式 (2.18) から導かれ次となる：

以下略す．

量子力学に於けるゲージ不変性

電場$\cdot$磁場の影響を受けて速度 $\mathbf{v}$ で運動する電荷 $q$ を持つ非相対論的粒子に働く Lorentz 力の法則は次である：

この力は Hamilton 方程式によって, 次の古典的ハミルトニアンから導かれる：

電磁場中に在る粒子に対するシュレディンガー方程式は次である：

従って, 自由な(電磁場のない)粒子のシュレディンガー方程式から電磁場中を運動する粒子に移行する場合は, 演算子 $\mathrm{\nabla }$, $\partial /\partial t$ の代わりに次の演算子の組み合わせが現れることに注意せよ：

$$\begin{array}{}\text{(2.23)}& D^0\equiv \frac{\partial }{\partial t}+i\frac{q}{\hslash }\varphi ,\mathbf{D}\equiv \mathrm{\nabla }-i\frac{q}{\hslash c}\mathbf{A}\end{array}$$

シュレディンガー方程式 (2.22) の解 $\psi (\mathbf{x},t)$ は, ポテンシャル $\varphi ,\mathbf{A}$ の影響の下に運動する粒子の状態を完全に記述する．しかし, すでに見たように これらのポテンシャルはただの一つには決まらない．次のゲージ変換,

でポテンシャルを変えても場 $\mathbf{E},\mathbf{B}$ に対する Maxwell 方程式は変わらない．それでは, シュレディンガー方程式 (2.22) の中でこのような変更を行うと, その後の方程式

の解 ${\psi }^{\prime }(\mathbf{x},t)$ は, 解 $\psi (\mathbf{x},t)$ と同じ物理を記述するのであろうか．もしそうなら Maxwell 理論が量子の世界でも成り立つと考えることが出来るであろうし, そうでないなら Maxwell 方程式の持つ「ゲージ対称性」が量子論では成り立たないことになるから, 何らの修正が必要であろう．

方程式 (2.22a) が方程式 (2.22) と両立するには ${\psi }^{\prime }$ が次の形であればよい：

これを証明するために次の量を計算する：

このように 時空間に依存する位相因子 $\exp (iq\chi /\hslash c)$ は, 微分演算子 $\mathrm{\nabla }$ の作用を受けるけれども,「複合演算子 ${\mathbf{D}}^{\prime }$ は位相因子をやり過ごして $\mathbf{D}$ に変化する」と見做せる：

同様にして $D^0$についても同様なことが言える：

以上の関係式 (2.26) と式 (2.27) を用いると,
$$\begin{array}{rl}i\hslash D^{\prime 0}{\psi }^{\prime }& =\exp \left(i\frac{q}{\hslash c}\chi \right)(i\hslash D^0)\psi ,\\ \frac{1}{2m}(-i\hslash {\mathbf{D}}^{\prime }{)}^2{\psi }^{\prime }& =\frac{(-i\hslash {)}^2}{2m}{\mathbf{D}}^{\prime 2}{\psi }^{\prime }=\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\mathbf{D}}^{\prime }({\mathbf{D}}^{\prime }{\psi }^{\prime })=\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\mathbf{D}}^{\prime }\exp \left(i\frac{q}{\hslash c}\chi \right)\mathbf{D}\psi \\ & =\frac{-{\hslash }^2}{2m}\exp \left(i\frac{q}{\hslash c}\chi \right)\mathbf{D}\mathbf{D}\psi =\exp \left(i\frac{q}{\hslash c}\chi \right)\frac{1}{2m}(-i\hslash \mathbf{D}{)}^2\psi ,\end{array}$$
従って,

両辺を位相因子 $\exp (iq\chi /\hslash c)$ で割り算すれば,

よって,「${\psi }^{\prime }$ と $\psi$ の関係式 (2.24) は, ゲージ変換を受けたシュレディンガー方程式 (2.22a) と受ける前のシュレディンガー方程式 (2.22) とが両立する関係である」ことが示された．

$\psi$ と ${\psi }^{\prime }$ は同じ物理を記述するであろうか？．答えは然りであるが決して自明ではない．確率振幅密度 $|\psi {|}^2$ と $|{\psi }^{\prime }{|}^2$ は明らかに等しい．事実, 方程式 (2.24) によって $\psi$ と ${\psi }^{\prime }$ は「位相変換」で結ばれているからである．しかし, 我々は微分演算子 $\mathrm{\nabla }$ や $\partial /\partial t$ を含む他の可測量(オブザーバブル), 例えば $\mathbf{j}=e\{{\psi }^{\ast }(\mathrm{\nabla }\psi )-(\mathrm{\nabla }\psi {)}^{\ast }\psi \}$ で表される電流密度にも関心がある．この電流密度の式は, 変換式 (2.24) の下で不変ではないことは容易に検算できる．位相 $\chi (\mathbf{x},t)$ が $\mathbf{x}$ に依存するからである．しかし式 (2.26) と式 (2.27) は, ゲージ不変な電流を作るのにどうすればよいかを教えてくれる．即ち $\mathrm{\nabla }$ を $\mathbf{D}$ で, そして一般には $\partial /\partial t$ を $D^0$ で置き換えればよい．そうすれば,

となるからである．従って ${\psi }^{\prime }$ と $\psi$ の記述する物理は同じであることが保証される．

この処方は相対論でも成り立つ．そしてゲージ変換式 (2.23) は次の「共変微分」にまとめて書き表される：

これによって, 式 (2.26) と式 (2.27) は次にまとめられる：

従って,「演算子 ${\partial }^{\mu }$ を含むどんな波動方程式も ${\partial }^{\mu }$ を共変微分 $D^{\mu }$ で置き換えたとき, 次の「ゲージ変換」

$$\begin{array}{}\text{(2.33)}& A^{\mu }\to A^{\prime \mu }=A^{\mu }-{\partial }^{\mu }\chi ,\psi \to {\psi }^{\prime }=\exp \left(i\frac{q}{\hslash c}\chi \right)\psi \end{array}$$

によって “ゲージ不変” にすることが出来る」．
そして「電磁場が存在するときの粒子の波動方程式は, 対応する自由粒子の波動方程式に於いて ${\partial }^{\mu }$ を共変微分 $D^{\mu }$ での置き換え

$$\begin{array}{}\text{(2.34)}& {\partial }^{\mu }\to D^{\mu }={\partial }^{\mu }+i\frac{q}{\hslash c}{A}^{\mu }\end{array}$$

をすれば得ることが出来る」と言える．これが謂わゆる「ゲージ原理」の基礎になっている．つまり相互作用の形が, 局所ゲージ不変性に固執することによって決まってしまうのである．