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Problem 8-3
Show that \(Q^{c}_{\alpha}\), \(Q^{s}_{\alpha}\) are normanl coordinates, representing, however, standing waves \(\cos(2\pi\alpha j/N)\) and \(\sin(2\pi\alpha j/N)\), respectively, i.e.,
\begin{equation}
q_j=\sqrt{\frac{2}{N}}\,\left[ \frac{1}{2}Q^{c}_0 + \sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)} Q^{c}_{\alpha}\cos\left(\frac{2\pi}{N}\alpha j\right)
+\sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)} Q^{s}_{\alpha}\sin\left(\frac{2\pi}{N}\alpha j\right) \right]
\tag{8-82}
\end{equation}
q_j=\sqrt{\frac{2}{N}}\,\left[ \frac{1}{2}Q^{c}_0 + \sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)} Q^{c}_{\alpha}\cos\left(\frac{2\pi}{N}\alpha j\right)
+\sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)} Q^{s}_{\alpha}\sin\left(\frac{2\pi}{N}\alpha j\right) \right]
\tag{8-82}
\end{equation}
for \(N\) odd.
( 注意 ) この式 (8-82) の表現は, 原書や校訂版から自己流に修正してあるので注意するべし．
( 解答 ) まず \(Q_\alpha^{\,C}\) 及び \(Q_\alpha^{\,S}\) が基準座標であることを示しておく．系のラグランジアンは, 基準座標 \(Q_{\alpha}\) を用いて式 (8-78′) のように表わすことが出来た：
\begin{equation}
\def\half{\frac{1}{2}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
L=\half \sum_{\alpha=-\half(N-1)}^{\half(N-1)}\Big(\dot{Q}_\alpha^{\,*}\dot{Q}_\alpha
-\omega_\alpha^{\,2}Q_\alpha^{\,*}Q_\alpha\Big)
=\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\Big(\dot{Q}_\alpha^{\,*}\dot{Q}_\alpha -\omega_\alpha^{\,2}Q_\alpha^{\,*}Q_\alpha\Big)
\tag{1}
\end{equation}
\def\half{\frac{1}{2}}
\def\reverse#1{\frac{1}{#1}}
L=\half \sum_{\alpha=-\half(N-1)}^{\half(N-1)}\Big(\dot{Q}_\alpha^{\,*}\dot{Q}_\alpha
-\omega_\alpha^{\,2}Q_\alpha^{\,*}Q_\alpha\Big)
=\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)}\Big(\dot{Q}_\alpha^{\,*}\dot{Q}_\alpha -\omega_\alpha^{\,2}Q_\alpha^{\,*}Q_\alpha\Big)
\tag{1}
\end{equation}
このとき \(Q_{\alpha}\) は, 式 (8-79) より \(Q_\alpha^{\,C}\) と \(Q_\alpha^{\,S}\) を用いて表せた：
\begin{align}
Q_{\alpha}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(Q_{\alpha}^{\,C}-iQ_{\alpha}^{\,S}\Big),\quad
Q_{\alpha}^{*}Q_{\alpha}=\half\left[\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}+\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right],\notag\\
\dot{Q}_{\alpha}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,C}-i\dot{Q}_{\alpha}^{\,S}\Big),\quad
\dot{Q}_{\alpha}^{*}\dot{Q}_{\alpha}=\half\left[\Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}
+\Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right]
\tag{2}
\end{align}
Q_{\alpha}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(Q_{\alpha}^{\,C}-iQ_{\alpha}^{\,S}\Big),\quad
Q_{\alpha}^{*}Q_{\alpha}=\half\left[\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}+\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right],\notag\\
\dot{Q}_{\alpha}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,C}-i\dot{Q}_{\alpha}^{\,S}\Big),\quad
\dot{Q}_{\alpha}^{*}\dot{Q}_{\alpha}=\half\left[\Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}
+\Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right]
\tag{2}
\end{align}
これを式 (1) に代入すると, 運動エネルギーは式 (8-81) となり, 位置エネルギーも同様に表わせて,
\begin{align}
L&=\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)} \left\{\half\left[\Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}+\Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right]-\omega^{2}_{\alpha} \half\left[\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}+\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right]\right\}\notag\\
&=\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)} \half\left\{(\dot{Q}_\alpha^{\,C})^{2}-\omega_\alpha^{\,2}(Q_\alpha^{\,C})^{2}\right\}
+\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)} \half\left\{(\dot{Q}_\alpha^{\,S})^{2}-\omega_\alpha^{\,2}(Q_\alpha^{\,S})^{2}\right\}
\tag{3}
\end{align}
L&=\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)} \left\{\half\left[\Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}+\Big(\dot{Q}_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right]-\omega^{2}_{\alpha} \half\left[\Big(Q_{\alpha}^{\,C}\Big)^{2}+\Big(Q_{\alpha}^{\,S}\Big)^{2}\right]\right\}\notag\\
&=\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)} \half\left\{(\dot{Q}_\alpha^{\,C})^{2}-\omega_\alpha^{\,2}(Q_\alpha^{\,C})^{2}\right\}
+\sum_{\alpha=0}^{\half(N-1)} \half\left\{(\dot{Q}_\alpha^{\,S})^{2}-\omega_\alpha^{\,2}(Q_\alpha^{\,S})^{2}\right\}
\tag{3}
\end{align}
この形のラグランジアンは, 式 (8-57) と同様に「相互作用しない独立な調和振動子の集まりを表わしている」．よって \(Q_\alpha^{\,C}\) と \(Q_\alpha^{\,S}\) は一緒になって \(N\) 個の基準座標になっていると言える．
変位 \(q_j\) を求めるには, 基準座標 \(Q_\alpha\) を表わす式 (8-77) の両辺に \(\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)\) を掛け合わせてから, \(\alpha\) について \(0\) から \(N-1\) まで足し合わせばよい：
\begin{align}
\sum_{\alpha=0}^{N-1}\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)\,Q_\alpha
&= \sum_{\alpha=0}^{N-1}\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)
\reverse{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1} q_j\,\exp\left(-i\frac{2\pi}{N}\alpha j\right)\notag\\
&=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}q_j\,\sum_{\alpha=0}^{N-1}\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)
\exp\left(-i\frac{2\pi}{N}\alpha j\right)
\tag{4}
\end{align}
\sum_{\alpha=0}^{N-1}\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)\,Q_\alpha
&= \sum_{\alpha=0}^{N-1}\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)
\reverse{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1} q_j\,\exp\left(-i\frac{2\pi}{N}\alpha j\right)\notag\\
&=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}q_j\,\sum_{\alpha=0}^{N-1}\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)
\exp\left(-i\frac{2\pi}{N}\alpha j\right)
\tag{4}
\end{align}
その際に, \(1\) の累乗根の直交性から言える次の関係を利用する (この証明は前のブログ記事を参照するべし)：
\begin{equation}
\frac{1}{N}\sum_{\alpha=0}^{N-1}\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)\exp\left(-i\frac{2\pi}{N}\alpha j\right)=\delta_{k\,j}
\tag{5}
\end{equation}
\frac{1}{N}\sum_{\alpha=0}^{N-1}\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)\exp\left(-i\frac{2\pi}{N}\alpha j\right)=\delta_{k\,j}
\tag{5}
\end{equation}
すると式 (4) は次のように展開される：
\begin{equation}
\sum_{\alpha=0}^{N-1}\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)\,Q_\alpha=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}q_j\,N\delta_{k\,j}=\sqrt{N}\,q_k
\tag{6}
\end{equation}
\sum_{\alpha=0}^{N-1}\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)\,Q_\alpha=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}q_j\,N\delta_{k\,j}=\sqrt{N}\,q_k
\tag{6}
\end{equation}
従って,
\begin{equation}
\sqrt{N}\,q_k=\sum_{\alpha=0}^{N-1}\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)\,Q_\alpha\quad
\Rightarrow \quad q_k=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha=0}^{N-1}Q_\alpha\,\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)
\tag{7}
\end{equation}
\sqrt{N}\,q_k=\sum_{\alpha=0}^{N-1}\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)\,Q_\alpha\quad
\Rightarrow \quad q_k=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha=0}^{N-1}Q_\alpha\,\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha k\right)
\tag{7}
\end{equation}
よって, この場合の式 (8-52) に相当するのは, \(a_{j\alpha}\) を \(a_{j\alpha}^{*}\) で置き換えた式となるので注意が必要である：
\[ q_j= \sum_{\alpha=1}^{N} a^{*}_{j\alpha}\,Q_{\alpha}(t) \tag{8}\]
また, 式 (8-42) に類似して, 変位 \(q_j\) は次のように表わすことが出来る：
\[ q_j= \sum_{\alpha=1}^{N} c_\alpha\,a^{*}_{j\alpha}\,e^{i\omega_\alpha t}=\sum_{\alpha=0}^{N} c_\alpha A e^{iK_\alpha j}\,e^{i\omega_\alpha t}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\alpha=0}^{N}c_\alpha\,e^{i(K_\alpha j-\omega_\alpha t)} \tag{9}\]
この \(q_j(t)\) は, 明らかに「進行波」である．
さらに \(N\) が奇数の場合を考慮して, 式 (7) の \(\alpha\) の範囲は \(-(N-1)/2\) から \((N-1)/2\) までに修正しておく：
\begin{equation}
q_j=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha=-\frac{1}{2}(N-1)}^{\frac{1}{2}(N-1)}Q_\alpha\,e^{iKj},\quad
\mathrm{where}\quad K\equiv \frac{2\pi}{N}\alpha
\tag{10}
\end{equation}
q_j=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha=-\frac{1}{2}(N-1)}^{\frac{1}{2}(N-1)}Q_\alpha\,e^{iKj},\quad
\mathrm{where}\quad K\equiv \frac{2\pi}{N}\alpha
\tag{10}
\end{equation}
上式の \(Q_{\alpha}\) に式 (8-77) の右辺を用いる．さらに式 (8-79) から次が言える：
\begin{equation}
Q_{\alpha}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big\{ Q_{\alpha}^{\,C}(t)-iQ_{\alpha}^{\,S}(t)\big\} ,\quad
Q_\alpha^{\,C}(t)=Q_{-\alpha}^{\,C}(t),\qquad Q_\alpha^{\,S}(t)=-Q_{-\alpha}^{\,S}(t)
\tag{11}
\end{equation}
Q_{\alpha}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\big\{ Q_{\alpha}^{\,C}(t)-iQ_{\alpha}^{\,S}(t)\big\} ,\quad
Q_\alpha^{\,C}(t)=Q_{-\alpha}^{\,C}(t),\qquad Q_\alpha^{\,S}(t)=-Q_{-\alpha}^{\,S}(t)
\tag{11}
\end{equation}
これらの式を利用して \(\alpha\) が負の部分を正のもので表わすことにすると,
\begin{align}
q_j&=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha=-\reverse{2}(N-1)}^{\reverse{2}(N-1)} Q_\alpha\,e^{iKj}
=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha=-\reverse{2}(N-1)}^{\reverse{2}(N-1)}\reverse{\sqrt{2}}\Bigl(Q_\alpha^{\,C}-iQ_\alpha^{\,S}\Bigr)\,e^{iKj}\notag\\
&=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha<0}\reverse{\sqrt{2}}\Bigl(Q_\alpha^{\,C} -iQ_\alpha^{\,S}\Bigr)\,e^{iKj}+\frac{1}{\sqrt{N}}Q_0 +\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha>0}\reverse{\sqrt{2}}\Bigl(Q_\alpha^{\,C}-iQ_\alpha^{\,S}\Bigr)\,e^{iKj}\notag\\
&=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha>0}\reverse{\sqrt{2}}\Bigl(Q_{-\alpha}^{\,C}-iQ_{-\alpha}^{\,S}\Bigr)\,e^{-iKj}
+\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha>0}\reverse{\sqrt{2}}\Bigl(Q_\alpha^{\,C}-iQ_\alpha^{\,S}\Bigr)\,e^{iKj}+\frac{Q_0}{\sqrt{N}}\notag\\
&=\reverse{\sqrt{2N}}\sum_{\alpha>0}\Bigl(Q_{\alpha}^{\,C}+iQ_{\alpha}^{\,S}\Bigr)\,e^{iKj}+\reverse{\sqrt{2N}}
\sum_{\alpha>0}\Bigl(Q_\alpha^{\,C}-iQ_\alpha^{\,S}\Bigr)\,e^{iKj}+\frac{Q_0}{\sqrt{N}}\notag\\
&=\reverse{\sqrt{2N}}\sum_{\alpha>0}Q_{\alpha}^{\,C}\left(e^{iKj}+e^{-iKj}\right)
-i \reverse{\sqrt{2N}}\sum_{\alpha>0}Q_{\alpha}^{\,S}\left(e^{iKj}-e^{-iKj}\right) +\frac{Q_0}{\sqrt{N}}
\tag{12}
\end{align}
q_j&=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha=-\reverse{2}(N-1)}^{\reverse{2}(N-1)} Q_\alpha\,e^{iKj}
=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha=-\reverse{2}(N-1)}^{\reverse{2}(N-1)}\reverse{\sqrt{2}}\Bigl(Q_\alpha^{\,C}-iQ_\alpha^{\,S}\Bigr)\,e^{iKj}\notag\\
&=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha<0}\reverse{\sqrt{2}}\Bigl(Q_\alpha^{\,C} -iQ_\alpha^{\,S}\Bigr)\,e^{iKj}+\frac{1}{\sqrt{N}}Q_0 +\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha>0}\reverse{\sqrt{2}}\Bigl(Q_\alpha^{\,C}-iQ_\alpha^{\,S}\Bigr)\,e^{iKj}\notag\\
&=\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha>0}\reverse{\sqrt{2}}\Bigl(Q_{-\alpha}^{\,C}-iQ_{-\alpha}^{\,S}\Bigr)\,e^{-iKj}
+\reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha>0}\reverse{\sqrt{2}}\Bigl(Q_\alpha^{\,C}-iQ_\alpha^{\,S}\Bigr)\,e^{iKj}+\frac{Q_0}{\sqrt{N}}\notag\\
&=\reverse{\sqrt{2N}}\sum_{\alpha>0}\Bigl(Q_{\alpha}^{\,C}+iQ_{\alpha}^{\,S}\Bigr)\,e^{iKj}+\reverse{\sqrt{2N}}
\sum_{\alpha>0}\Bigl(Q_\alpha^{\,C}-iQ_\alpha^{\,S}\Bigr)\,e^{iKj}+\frac{Q_0}{\sqrt{N}}\notag\\
&=\reverse{\sqrt{2N}}\sum_{\alpha>0}Q_{\alpha}^{\,C}\left(e^{iKj}+e^{-iKj}\right)
-i \reverse{\sqrt{2N}}\sum_{\alpha>0}Q_{\alpha}^{\,S}\left(e^{iKj}-e^{-iKj}\right) +\frac{Q_0}{\sqrt{N}}
\tag{12}
\end{align}
ここで \(e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta,\ e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta\) を利用すると,
\begin{align}
q_j&=\reverse{\sqrt{2N}}\sum_{\alpha>0} Q_{\alpha}^{\,C}2\cos(Kj)
-i \reverse{\sqrt{2N}}\sum_{\alpha>0} Q_{\alpha}^{\,S}2i\sin(Kj) +\frac{Q_0}{\sqrt{N}}\notag\\
&=\sqrt{\frac{2}{N}}\left[\sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)}Q_{\alpha}^{\,C}\cos(Kj)
+\sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)}Q_{\alpha}^{\,S}\sin(Kj)\right] +\frac{Q_0(t)}{\sqrt{N}}
\tag{13}
\end{align}
q_j&=\reverse{\sqrt{2N}}\sum_{\alpha>0} Q_{\alpha}^{\,C}2\cos(Kj)
-i \reverse{\sqrt{2N}}\sum_{\alpha>0} Q_{\alpha}^{\,S}2i\sin(Kj) +\frac{Q_0}{\sqrt{N}}\notag\\
&=\sqrt{\frac{2}{N}}\left[\sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)}Q_{\alpha}^{\,C}\cos(Kj)
+\sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)}Q_{\alpha}^{\,S}\sin(Kj)\right] +\frac{Q_0(t)}{\sqrt{N}}
\tag{13}
\end{align}
さらに \(\displaystyle{Q_0=\frac{1}{\sqrt{2}}Q_0^{C}}\) であるから, 最終的に次の結果となる：
\begin{align}
q_j&=\sqrt{\frac{2}{N}}\left[\frac{1}{2}Q_0^{C}+ \sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)}Q_{\alpha}^{\,C}\cos(Kj)
+\sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)}Q_{\alpha}^{\,S}\sin(Kj)\right],\quad K=\frac{2\pi}{N}\alpha\notag\\
&=\sqrt{\frac{2}{N}}\left[\, \frac{1}{2}Q_0^{C}+ \sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)} Q_{\alpha}^{\,C}\cos\left(\frac{2\pi}{N}\alpha j\right)
+\sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)} Q_{\alpha}^{\,S}\sin\left(\frac{2\pi}{N}\alpha j\right)\,\right]
\tag{14}
\end{align}
q_j&=\sqrt{\frac{2}{N}}\left[\frac{1}{2}Q_0^{C}+ \sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)}Q_{\alpha}^{\,C}\cos(Kj)
+\sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)}Q_{\alpha}^{\,S}\sin(Kj)\right],\quad K=\frac{2\pi}{N}\alpha\notag\\
&=\sqrt{\frac{2}{N}}\left[\, \frac{1}{2}Q_0^{C}+ \sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)} Q_{\alpha}^{\,C}\cos\left(\frac{2\pi}{N}\alpha j\right)
+\sum_{\alpha=1}^{\frac{1}{2}(N-1)} Q_{\alpha}^{\,S}\sin\left(\frac{2\pi}{N}\alpha j\right)\,\right]
\tag{14}
\end{align}
因みに, この問題文の式 (8.82) は, 区間 \([-l,l]\) で定義された関数 \(S(x)\) の「有限なフーリエ級数による近似式」に相当していると思われる：
\[ S(x)=\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{k}\Big( a_n\,\cos \frac{n\pi x}{l} + b_n\, \sin\frac{n\pi x}{l} \Big) \tag{15}\]
このときの \(Q_\alpha^{\,C}\) と \(Q_\alpha^{\,S}\) が「定在波」であることを, やはり テル・ハール を参考にして示しておく：
式 (8.42′) で, ある一つの \(\alpha\) だけがゼロでないとする．それを \(\beta\) とすると, そのときの \(q_j\) が \(Q_\beta\) である．これを式中で表現するには \(c_\alpha=\delta_{\alpha\,\beta}\) と置けばよいから,
\begin{equation}
q_j(t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\alpha}\delta_{\alpha\,\beta} \exp\Bigl[i\big(K_\alpha j-\omega_\alpha t\big)\Bigr]
=\frac{1}{\sqrt{N}}\,e^{iK_\beta j -\omega_\beta t}=Q_\beta
\tag{16}
\end{equation}
q_j(t)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\alpha}\delta_{\alpha\,\beta} \exp\Bigl[i\big(K_\alpha j-\omega_\alpha t\big)\Bigr]
=\frac{1}{\sqrt{N}}\,e^{iK_\beta j -\omega_\beta t}=Q_\beta
\tag{16}
\end{equation}
式 (8-73) から \(\omega_{-\alpha}=\omega_{\alpha}\) である．また, \(K_{-\alpha}=2\pi(-\alpha)/N=-K_\alpha\) に注意する．すると上式(15)から, \(Q_\alpha\) と \(Q_{-\alpha}\) は次のように書ける：
\begin{equation}
Q_\alpha =\frac{1}{\sqrt{N}}\exp\Big\{i(K_\alpha j -\omega_\alpha t)\Big\},\quad
Q_{-\alpha}=\frac{1}{\sqrt{N}}\exp\Big\{i(-K_\alpha j -\omega_\alpha t)\Big\}
\tag{17}
\end{equation}
Q_\alpha =\frac{1}{\sqrt{N}}\exp\Big\{i(K_\alpha j -\omega_\alpha t)\Big\},\quad
Q_{-\alpha}=\frac{1}{\sqrt{N}}\exp\Big\{i(-K_\alpha j -\omega_\alpha t)\Big\}
\tag{17}
\end{equation}
式 (8-80) を用いて, このときの \(Q_{\alpha}^{\ C}\) と \(Q_{\alpha}^{\ S}\) を書いてみると,
\begin{align}
Q_{\alpha}^{\ C}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(Q_\alpha + Q_{-\alpha}\Big)
=\frac{1}{\sqrt{2N}}\left[\exp\Big\{i(K_\alpha j -\omega_\alpha t)\Big\}
+\exp\Big\{i(-K_\alpha j -\omega_\alpha t)\Big\}\right]\notag\\
&=\frac{1}{\sqrt{2N}}e^{i\omega_\alpha t}\left(e^{iK_\alpha j}+e^{-iK_\alpha j}\right)
=\frac{1}{\sqrt{2N}}e^{i\omega_\alpha t}2\cos\big(K_\alpha j\big)\notag\\
&=\sqrt{\frac{2}{N}}\,e^{i\omega_\alpha t}\,\cos\big(K_\alpha j\big),\notag\\
Q_{\alpha}^{\ S}&=\frac{i}{\sqrt{2}}\Big(Q_\alpha – Q_{-\alpha}\Big)
=\frac{i}{\sqrt{2N}}\left[\exp\Big\{i(K_\alpha j -\omega_\alpha t)\Big\}
-\exp\Big\{i(-K_\alpha j -\omega_\alpha t)\Big\}\right]\notag\\
&=\frac{i}{\sqrt{2N}}e^{i\omega_\alpha t}\left(e^{iK_\alpha j} – e^{-iK_\alpha j}\right)
=\frac{i}{\sqrt{2N}}e^{i\omega_\alpha t}2i\sin\big(K_\alpha j\big)\notag\\
&=-\sqrt{\frac{2}{N}}\,e^{i\omega_\alpha t}\,\sin\big(K_\alpha j\big)
\tag{18}
\end{align}
Q_{\alpha}^{\ C}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(Q_\alpha + Q_{-\alpha}\Big)
=\frac{1}{\sqrt{2N}}\left[\exp\Big\{i(K_\alpha j -\omega_\alpha t)\Big\}
+\exp\Big\{i(-K_\alpha j -\omega_\alpha t)\Big\}\right]\notag\\
&=\frac{1}{\sqrt{2N}}e^{i\omega_\alpha t}\left(e^{iK_\alpha j}+e^{-iK_\alpha j}\right)
=\frac{1}{\sqrt{2N}}e^{i\omega_\alpha t}2\cos\big(K_\alpha j\big)\notag\\
&=\sqrt{\frac{2}{N}}\,e^{i\omega_\alpha t}\,\cos\big(K_\alpha j\big),\notag\\
Q_{\alpha}^{\ S}&=\frac{i}{\sqrt{2}}\Big(Q_\alpha – Q_{-\alpha}\Big)
=\frac{i}{\sqrt{2N}}\left[\exp\Big\{i(K_\alpha j -\omega_\alpha t)\Big\}
-\exp\Big\{i(-K_\alpha j -\omega_\alpha t)\Big\}\right]\notag\\
&=\frac{i}{\sqrt{2N}}e^{i\omega_\alpha t}\left(e^{iK_\alpha j} – e^{-iK_\alpha j}\right)
=\frac{i}{\sqrt{2N}}e^{i\omega_\alpha t}2i\sin\big(K_\alpha j\big)\notag\\
&=-\sqrt{\frac{2}{N}}\,e^{i\omega_\alpha t}\,\sin\big(K_\alpha j\big)
\tag{18}
\end{align}
このとき, \(Q_{\alpha}^{\ C}\) と \(Q_{\alpha}^{\ S}\) の形は, 時間 \(t\) 依存性と位置 \(j\) 依存性とが分離されており, これらの表わす波動が「定常波」であることは明らかである．
因みに, 式 (8-77) の \(Q_\alpha\) と式 (7) の \(q_j\) とは,「ディジタル信号処理」(DSP) の「離散フーリエ変換」(DFT) の式と全く同じ形をしている：
\begin{equation*}
Q_\alpha=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1} q_j\,\exp\left(-i\frac{2\pi}{N}\alpha j\right),\quad
q_j = \reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha=0}^{N-1}Q_\alpha\,\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha j\right)
\end{equation*}
Q_\alpha=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1} q_j\,\exp\left(-i\frac{2\pi}{N}\alpha j\right),\quad
q_j = \reverse{\sqrt{N}}\sum_{\alpha=0}^{N-1}Q_\alpha\,\exp\left(i\frac{2\pi}{N}\alpha j\right)
\end{equation*}
従って, 基準座標への変換はフーリエ変換と見做すことも出来るかも知れない．
参考のために, L.R.Rabiner：「音声のディジタル信号処理」の § 2.2.3 (p.18 \(\sim\) ) から,「離散フーリエ変換」に関係する部分を以下に抜粋しておく．
無限長の信号数列 \(x(n)\) が, 長さ \(N\) の周期数列 \(\tilde{x}(n)\) を用いて, 次式で定義されるとする：
\[ \tilde{x}(n)=\sum_{r=-\infty}^{\infty} x(n+rN)=x(\,n\ \text{modulo}\ N\,)=x(\,(n)\,)_N \]
このとき \(x(n)\) のフーリエ級数表示は周期数列 \(\tilde{x}(n)\) のフーリエ係数となる．そこで, 有限長 \(N\) の数列 \(x(n)\) は, 次のような「離散フーリエ変換」(discrete Fourier transform, DFT)として厳密に表現される：
\begin{equation}
\left\{\ \,
\begin{aligned}
X(k)&=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn},\quad ( k=0,1,\dotsb, N-1 )\\
x(n)&=\reverse{N}\sum_{k=0}^{N-1} X(k)\, e^{j\frac{2\pi}{N}kn},\quad ( n=0,1,\dotsb,N-1 )
\end{aligned}\right.
\end{equation}
