問題 6-28 の解答例

Feynman-Hibbs cover

Problem 6-28
Show that when a transition is impossible either directly or through a single intermediate state, but requires the use of two intermediate states, it is determined by the matrix element given by

(6-100)Mnm=klVmkVklVln(EmEk)(EmEl)

This corresponds to the third-order term in the perturbation expansion.


(解答) 相互作用表示での時間発展演算子及び遷移振幅と係数について,それらの3次の項は次である:

UI(3)(T,0)=(i)30Tdt10t1dt20t2dt3VI(t1)VI(t2)VI(t3),(1)VI(t)=eiH0t/VeiH0t/,cm(3)(T)=m|UI(3)(T,0)|n,λmn(3)(T)=eiEmT/cm(3)(T)

そこで cm(3)(T) を具体的に計算して行こう:
cm(3)(T)=m|UI(3)(T,0)|n=m|(i)30Tdt10t1dt20t2dt3VI(t1)VI(t2)VI(t3)|n=(i)30Tdt10t1dt20t2dt3m|(eiH0t1/VeiH0t1/)(k|kk|)(eiH0t1/VeiH0t1/)×(l|ll|)(eiH0t1/VeiH0t1/)|n=(i)3kl0Tdt10t1dt20t2dt3eiEmt1/m|V|keiEkt1/eiEkt2/k|V|leiElt2/×eiElt3/l|V|neiEnt3/(2)=(i)3kl0Tdt10t1dt20t2dt3eiωmkt1Vmk(t1)eiωklt2Vkl(t2)eiωlnt3Vln(t3)

ただし, ei(EmEk)t1/=eiωmkt1 などである.
議論を簡単にするために, ポテンシャル V が一定値に保たれ, また, 時間に陽に依存しない場合を考えよう.すると Vmk などは全て積分の外へ出るので次となる:
cm(3)(T)=(i)3klVmkVklVln0Tdt10t1dt20t2dt3eiωmkt1eiωklt2eiωlnt3(3)=(i)3klVmkVklVln0Tdt1eiωmkt10t1dt2eiωklt20t2dt3eiωlnt3

ここでは次の積分を行なう必要がある:
(4)(i)0teiωtdt=(i)[eiωtiω]0t=i1iω(eiωt1)=1ω(eiωt1)

この式 (4) と ωln=ElEn を用いて, まず t3 についての積分を実行するならば次となる:
(5)0t2dt3eiωlnt3=1ωln(eiωlnt21)=1ElEn(eiωlnt21)

同様に t2 の積分に進むと, 問題 6-27 の式 (3) と同じく ωkl+ωln=ωkn が成り立つことを用いることで次となる:
(i)20t1dt2eiωklt20t2dt3eiωlnt3=1ElEn(i)0t1dt2eiωklt2(eiωlnt21)=1ElEn(i)0t1dt2(eiωknt2eiωklt2)=1ElEn{1ωkn(eiωknt11)1ωkl(eiωklt11)}(6)eiωknt11(ElEn)(EkEn)

ただし, 式 (6-98) での議論と同じ理由から, 最終段で第2項目は無視した.
さらに t1 積分を行なうならば, 同様な議論により次となる:
(i)30Tdt1eiωmkt10t1dt2eiωklt20t2dt3eiωlnt3=1(ElEn)(EkEn)(i)0Tdt1eiωmkt1(eiωknt11)=1(ElEn)(EkEn)(i)0Tdt1(eiωmnt1eiωmkt1)=1(ElEn)(EkEn){1ωmn(eiωmnT1)1ωmk(eiωmkT1)}

以上の結果から, 式 (3) の cm(3)(T) は近似的に次のような形になる:
(8)cm(3)(T)=klVmkVklVln(ElEn)(EkEn)(eiωmnT1EmEneiωmkT1EmEk)

すると式 (6-99) を求めたときと同じ議論から, このときの Mnm は次であると言える:
(9)Mnm=klVmkVklVln(ElEn)(EkEn)